Chuyên đề Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Am-Gm (cauchy)

Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 1 KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CAUCHY)  Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm.  Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn  Baát ñaúng thöùc Cauchy Cho n soá thöïc khoâng aâm 1 2 , ,..., ( 2)na a a n ta luoân coù 1 2 1 2 ... n n n a a a a a a n  . Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi 1 2 na a a .  Moät vaøi heä quaû quan troïng: 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) vôùi 0, 1,n i n a a a n a i n a a a   2 1 2 1 2 1 1 1 vôùi 0, 1,i n n n a i n a a a a a a   Cho 2n soá döông ( , 2n Z n ): 1 2 1 2 , ,..., , , ,...,n na a a b b b ta coù: 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( )...( ) ... ...n n nn n n na b a b a b a a a b b b Bài toán mở đầu: VD1. Cho . Ta có . Khi đó ta có hệ quả với thì Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy. Nếu thay điều kiện bởi hay hay … thì lời giải bài toán như nào?? Bài 1: Cho 3a . Tìm Min của a aS 1 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 2 Bình luận và lời giải : +Sai lầm : +Nguyên nhân : điều này mâu thuẫn với giả thiết 3a +Xác định điểm rơi : Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 3 3 10 min aS . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa tham số sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số a và 1 phải bằng nhau. Với a=3 cho cặp số +Lời giải đúng : Đẳng thức xãy ra 3a Bài 2: Cho 2a .Tìm Min của 2 1 a aS +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số 2min2 1 .2 1 S a a a aS 1 1 2min a aS 9 3 13 3 11 3 a a 3 10 3 10 9 3.81 . 9 2 9 81 9 1 MinS a aa a a a aS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 3 +Sai lầm : Với a=2 thì 4 9 min S +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu 2a thì 4 2 8 2 a là đánh giá sai “ Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số +Lời giải đúng : Đẳng thức xãy ra 2a Bài 3: Cho 1 0, ba ba .Tìm min của ab abS 1 +Sai lầm : 8 4 12 4 11 2 2a a 4 9 8 2.7 2.8 2 8 7 8 2 8 71 . 8 2 8 71 8 1 222 a a a a aa a a a aS 4 9 Smin 4 9 8 2.61 . 8 . 8 3 8 61 88 1 3 222 a aaa a aa a aS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 4 +Nguyên nhân : (vô lí ) +Lời giải đúng : Đặt điều này dẫn đến một bài toán mới Cho 4t .Tìm min của t tS 1 Với Ta có : Với 4t hay 2 1 ba thì 4 17 min S Lời giải bài 3: Do 2Smin2 1 ab abS 2 1 1 2 1 2 1 1 2min ba ab ab abS 4 2 111 2 baab t ab t 16 4 14 4 11 4 4 t t t 4 17 16 4.151 . 16 2 16 151 16 1 t tt t t t tS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 5 nên Đẳng thức xãy ra 2 1 ba Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn 2 3 cba .Tìm min +Sai lầm : +Nguyên nhân : trái với giả thiết . +Xác định điểm rơi : 2 1 4 bat 4 17 min 4 17 2 16 15 16 1 .2 16 15 16 11 2 S baab ab abab ab ab abS 2 2 2 2 2 2 111 a c c b b aS 23min238.3 1 .2 1 .2 1 .23 1 . 1 . 1 3 66 2 2 2 2 2 23 2 2 2 2 2 2 S a c c b b a a c c b b aS 2 3 31 111 23min cba cba cbaS Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 6 +Lời giải đúng : Với 2 1 cba thì 2 173 min S . Bài 5: Cho a,b,c>0 và 2032 cba .Tìm min của 16 4 4 1 4111 4 1 2 1 222 222 cba cba cba 2 173 3 222 2 173 )2.2.2(2 173 16 1 .173 161616 17 16 .17 16 .17 16 .17 16 1 ... 16 1 16 1 ... 16 1 16 1 ... 16 1 17 1517 5 17 5558 17 168 17 168 17 168 17 3216 2 17 3216 2 17 3216 2 16 22 2 16 22 2 16 22 2 cbacbacba a c c b b a b a b a b a aa c cc b bb aS        cba cbaS 4 2 93 Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 7 Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có : (1) Mà (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế được Đẳng thức xãy ra 4,3,2 cba * Baøi taäp töông töï: Bài 6: Cho Chứng minh rằng: Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của 8 4 2 93 424 3 2 16 4 1 3 9 2 1 3 4 4 3 8 16 .2 16 6 9 .2 9 4 4 .2 4 cba cba c c b b a a c c c c b b b b a a a a 5 4 3 24 2032 cba cba 13min13 SS 8;12 0,, bcab cba 2 1218111 2)( abccabcab cbaS 3 1312 a c c b b a S Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 8 Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của Baøi 10. Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z . Tìm GTLN cuûa 1 1 1 2 2 2 P x y z x y z x y z . Lời giải Sai lầm 1: Ta coù 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10 9 2 9 2 9 2 18 9 P x y z x y z x y z x y z 10 9 MaxP Sai lầm 2: 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 3 3 2 3 3 2 3 3 2 93 2 3 .2 3 2 P x y z x y z x y zxyz x yz xy z Nguyeân nhaân sai laàm: Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm rôi. 2 2 10 ( )2 9 1 1 1 4 x y z y x z MaxP vnz x y x y z , töùc laø khoâng toàn taïi 10 ( , , ) : 9 x y z D P Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi 4 3 x y z neân taùch caùc soá 2x x x ra cho daáu baèng xaåy ra. CBA CBAT sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin A C C B B AT 2 2 2 2 2 2 cos 1 sin cos 1 sin cos 1 sin Trường THPT chuyên Quang Trung GV: Nguyễn Việt Hải Chuyên đề BĐT cauchy 9 Caùch 1: Ta coù 1 1 1 1 1 1 1 2 16x y z x x y z x x y z , töông töï vaø ta coù: 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 16 P x y z x y z x y z , vaäy 1MaxP khi 4 3 x y z . Caùch 2: Ta coù 4 24 1 1 2 4 . . . 2 4 x y z x x y z x x y z x y z x yz , maët khaùc: 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 . . . 4 2 16x x y z x x y z x y z x y z , töông töï ta coù: 1 1 1 1 .4 1 16 P x y z . Daáu “=” xaûy ra khi 1 4 x y z , suy ra: 1MaxP khi 1 4 x y z . Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau. Cho , , 0 1 1 1 4 x y z x y z . Tìm GTLN cuûa 1 1 1 P x y z x y z x y z . Vôùi , , N