Chuyên đề Một số bài toán cực trị liên quan giữa tam giác và đường tròn

Chuyên đề: “Một số bài toán cực trị liên quan giữa tam giác và đường tròn” Lý thuyết: Xét tam giác ABC có đường cao ứng với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là hc, ha, hb, đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính là r. Gọi độ dài các cạnh AB, AC, BC lần lượt là c, b, a; diện tích tam giác ABC là S. Ta có: S = và a = , b = , c = 2AD = 2AE = AB + AC – BC 2BD = 2BE = AB + BC – AC 2CE = 2CF = CA + CB – AB Hệ quả: Nếu tam giác ABC có Bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-côp-xki Với a, b không âm ta có: dấu ‘=’ xảy ra khi a = b Với hai bộ số ( a1,a2) và (b1, b2) ta có (a1b1+a2b2)2 dấu ‘=’ xảy ra khi Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy đó bằng h, tam giác nào có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất ? Giải: Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r, diện tích của tam giác ABC là S. Ta có: Nhận thấy r lớn nhất khi AB + BC + a nhỏ nhất. AB + AC + a nhỏ nhất khi AB + AC nhỏ nhất. Suy ra A là giao của đường trung trực đoạn BC với d ( d // BC và cách BC một khoảng bằng h ) Vậy trong các tam giác có đáy bằng a, chiều cao ứng với cạnh đáy đó bằng h, tam giác cân tại đỉnh đối diện với cạnh a có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Ví dụ 2: Trong các tam giác ngoại tiếp một đường tròn tâm O bán kính r cho trước. Tìm tam giác có tổng độ dài ba đường cao đạt GTNN. Giải: Gọi độ dài các cạnh AB, BC, AC là: c, a, b đường cao tương ứng với các cạnh AB, BC, AC là ha, hb, hc. Cách 1 Ta có: dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b = c hay ABC đều Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho hai bộ số và ta có . Dấu bằng xảy ra khi đều Cách 3: Ta có (1) (2) (3) Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có: (4) Mặt khác ta có (5) Từ (4) và (5) ta có . Dấu bằng xảy ra khi ha = hb = hc hay đều Ví dụ 3: Cho ( ), kẻ các trung tuyến AE, BF. Đặt AE = m, AF = n, gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tìm GTLN của Giải: ( 1) Mặt khác 2r = AC + BC – AB Do ( AC + BC )2 2(AC2 + BC2 ) = 2AB2 (2) Từ (1) và (2), ta có Vậy MAX A = AC = BC hay vuông cân tại C Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm M chuyển động trên đường tròn ( M khác A và B ). Gọi H là chân đường cao hạ từ M xuống cạnh AB của tam giác AMB, gọi r1, r2, r3 là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác AMB, AMH, BMH. Xác định vị trí của M để tổng r1+ r2+ r3 có giá trị lớn nhất. Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r, kẻ các tiếp tuyến của đường tròn tâm O song song với các cạnh của tam giác ABC; ba tam giác nhỏ có diện tích lần lượt là S1 S2 , S3. gọi S là diện tích của tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 3: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1, lấy D bất kì trên BC. Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD, ADC. Xác định vị trí của D để tích r1r2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy. Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính r nội tiếp tam giác ABC, kẻ đường thẳng qua O cắt hai cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự tại M và N. đường thẳng MN ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác. Các trung tuyến rừ các đỉnh A, B , C lần lượt cắt (O) tại A1, B1, C1 Hãy xác định hình dạng của tam giác ABC để là lớn nhất. Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) có ba cạnh a, b, c và ba trung tuyến ma, mb, mc lần lượt tương ứng với ba đỉnh A, B, C ; các trung tuyến của tam giác (theo thứ tự trên ) cắt đường tròn tại A1, B1, C1. Tìm GTLN của Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm bất kỳ thuôch cung BC không chứa A và không trùng với B, C. gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng Bc, AC, AB. Đặt BC = a, AC = b, AB = c , DH = x, DI = y, DK = z CMR: Tìm vị trí điểm D để tổng nhỏ nhất. Bài 8: Cho r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC; ha, hb là độ dài đường cao ứng với các cạnh có đọ dài a, b. Hãy chứng minh Tài liệu ham khảo: Các bài toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học phẳng của các tác giả Vũ Hữu Bình – Hồ Thu Hằng – Kiều Thu Hằng – Trịnh Thuý Hằng Các chuyên đề hình học của Trần Văn Tấn Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi của Nguyễn Hữu Thanh Toán nâng cao và phát triển 8, 9 của Vũ Hữu Bình 23 chuyên đề Toán sơ cấp – Nguyễn Văn Vĩnh chủ biên