Chuyên đề Một số bài toán về hơi nước

Chuyên đề Một số bài toán về hơi nước Các bài toán liên quan hơi nước chủ yếu gặp trong hai loại. Trong loại thứ nhất, cùng với các chất khí khác, hơi nước tham gia vào các quá trình khí khác nhau, trong các quá trình đó các chất khí được xem là khí lý tưởng. Phương trình trạng thái của khí lý tưởng, kể cả của hỗn hợp khí, có thể viết dưới dạng p = nkT, ở đây p là áp suất, T là nhiệt độ tuyệt đối, k là hằng số Boltzmann, n là mật độ các hạt (số nguyên tử hay phân tử trong một đơn vị thể tích). Trong phương trình này không có mặt các tính chất riêng của khí như khối lượng nguyên tử hay phân tử, kích thước của chúng .v.v. áp suất riêng phần của hơi nước ph trong hỗn hợp khí được xác định bởi công thức ph = nhkT, nh là mật độ các phân tử hơi nước. p 2 3 1 V Tuy nhiên hơi nước còn có đặc tính riêng, không giống với các khí khác. Đặc tính này thể hiện rất rõ rệt nếu như ta khảo sát quá trình biến đổi đẳng nhiệt của một lượng hơi nước nào đó. ở một nhiệt độ T khi giảm thể tích thì mật độ tăng lên, nhưng đến một mật độ xác định (ứng với trạng thái 2 ởtrên giản đồ) nếu tiếp tục giảm thể tích thì mật độ khí không tăng lên và do đó áp suất cũng không tăng. Đó là trạng thái bão hoà của hơi nước. Tương tác của các phần tử hơi nước trong trạng thái này lớn đến mức mà nếu giảm thể tích của khối hơi nước thì dẫn đến các phân tử sẽ kết lại với nhau, hơi nước bắt đầu chuyển sang trạng thái lỏng hay nói cách khác là bắt đầu quá trình ngưng tụ. Quá trình ngưng tụ này xảy ra ở một nhiệt độ không đổi mà cũng có nghĩa là với áp suất không đổi - áp suất hơi bão hoà. Chúng ta nhận thấy rằng khi giảm thể tích từ V2 đến V3 (xem giản đồ) lượng hơi nước mn ngưng tụ thành nước sẽ thoả mãn phương trình sau: , ở đây M là khối lượng của một mol hơi nước. Phương trình này sẽ được sử dụng trong một số bài toán dưới đây. Chúng ta cũng cần nhớ rằng áp suất hơi bão hoà phụ thuộc rất mạnh vào nhiệt độ. Thí dụ ở 00C (T = 273K) áp suất này bằng 4mmHg, ở 200C (293K) nó lớn gấp 5 lần tức bằng 20mmHg, còn ở 1000C (373K) nó đạt đến 760mmHg (1at). Như vậy khi nhiệt độ thay đổi từ 273K đến 373K áp suất hơi bão hoà tăng 190 lần. Trong các bài toán dưới đây, giá trị của áp suất hơi bão hoà ở 373K (1000C) bằng 1at hay 760mmHg coi như đã biết. Loại bài toán thứ hai liên quan đến sự tham gia của hơi nước trong các quá trình toả nhiệt hoặc thu nhiệt. Khi chưa bão hoà hơi nước tham gia vào các quá trình này như là khí lý tưởng 3 nguyên tử. Khi đó nội năng của x mol hơi nước bằng , còn nhiệt dung phân tử đẳng tích bằng Cv = 3R. Còn nếu hơi nước đã trở nên bão hoà và xảy ra quá trình ngưng tụ hay quá trình nước bay hơi thì bài toán sẽ phức tạp hơn. Đặc biệt nhiệt lượng cần cung cấp để làm nước hoá hơi hay nhiệt lượng toả ra khi hơi nước ngưng tụ phụ thuộc vào các điều kiện xảy ra các quá trình này. Theo nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học, nhiệt hoá hơi riêng , ở đây DU là độ biến thiên nội năng của hệ nước - hơi nước, A là công hơi nước chống lại các ngoại lực. Thường trong quá trình toả nhiệt khi ngưng tụ hay thu nhiệt khi hoá hơi thì nhiệt độ và áp suất được giữ không đổi (các bảng số liệu về nhiệt hoá hơi được cho trong điều kiện như thế). Độ biến thiên nội năng chủ yếu liên quan đến sự thay đổi thế năng tương tác của các phân tử vật chất trong trạng thái lỏng và khí. Công A có thể tính nhờ phương trình trạng thái. Thí dụ để làm bay hơi m = 1g nước ở nhiệt độ T = 373K và áp suất hơi bão hoà bằng pbh = 105Pa cần cung cấp một nhiệt lượng r = 2260J/g. Công của hơi nước chống lại ngoại lực, để duy trì áp suất không đổi, bằng , ở đây V0 là thể tích ban đầu mà 1g nước ở nhiệt độ 1000C chiếm (tức là 1cm3), Vc là thể tích cuối mà thể tích 1g hơi nước ở 1000C chiếm. Dựa vào phương trình trạng thái ta thấy khối lượng riêng của hơi nước ở nhiệt độ phòng (khoảng 300K) nhỏ hơn hàng ngàn lần khối lượng riêng của nước (1g/cm3), vì vậy: Như vậy phần đóng góp của công chống lại áp suất bên ngoài vào nhiệt lượng hoá hơi là không đáng kể (~8%). Tuy nhiên cũng có những bài toán phải tính đến công đó. Dưới đây là một số ví dụ về hai loại bài toán trên. Bài toán 1. Về mùa hè, trước khi có giông, khối lượng riêng của không khí ẩm (khối lượng của cả hơi nước và không khí trong 1cm3) bằng r = 1140g/m3, ở áp suất p=100kPa và nhiệt độ t = 300C. Hãy tìm tỉ số giữa áp suất riêng phần của hơi nước trong không khí và áp suất riêng phần của không khí khô. Cho khối lượng một mol không khí là Mk = 29g/mol và của hơi nước là 18 g/mol. Hằng số khí lý tưởng R=8,31J/(mol.K). Giải : áp suất của không khí ẩm bằng tổng áp suất riêng phần của không khí khô và của hơi nước: (1) Khối lượng riêng của không khí ẩm bằng , (2) ở đây là khối lượng riêng của không khí khô, là khối lượng riêng của hơi nước. Theo phương trình trạng thái: (3) và (4) Thay (3) và (4) vào (1) và (2) rồi giải ra sẽ được: , Từ các phương trình trạng thái (3) và (4) tìm được: Nếu dùng bảng tra cứu chúng ta sẽ thấy rằng hơi nước trong điều kiện của bài toán ở trạng thái gần bão hoà. Bài toán 2. Trong một buồng tắm hơi, ở nhiệt độ t1 = 1000C độ ẩm tương đối của không khí là a1 = 50%. Sau khi nhiệt độ không khí giảm đến t2 = 970C và hơi đã ngưng tụ thì độ ẩm tương đối của không khí là a2 = 45%. Hỏi một lượng nước bằng bao nhiêu đã tách ra khỏi không khí ẩm nếu thể tích của buồng hơi V = 30m3?. Biết rằng áp suất hơi bão hoà ở nhiệt độ t2 nhỏ hơn ở nhiệt độ t1 là 80mmHg. Giải: áp suất hơi bão hoà ở t1 = 1000C là p1h = 105Pa =760 mmHg, còn ở t2 = 970C là p2h = 680 mmHg. Từ phương trình trạng thái suy ra khối lượng hơi nước trong buồng hơi ở hai nhiệt độ và tương ứng bằng: và ở đây Mh = 18g/mol. Như vậy lượng nước tạo thành do hơi nước ngưng tụ là: Bài toán 3. Xét thí nghiệm sau. Trong một xilanh có một ít nước và hơi được giữ ở phía dưới pittông gắn với một lò xo. Khối lượng của nước bằng M = 1g. Nhiệt độ trong xilanh được duy trì không đổi và bằng 1000C. Khi cho một phần hơi khối lượng m = 7g thoát ra khỏi xilanh thì pittông bắt đầu chuyển động. Sau khi trạng thái cân bằng đã được xác lập thì thể tích dưới pittông bằng một nửa lúc đầu. Hỏi lúc bắt đầu thí nghiệm thì khối lượng và thể tích của hơi nước trong xilanh bằng bao nhiêu? Biết pittông sẽ nằm cân bằng ở đáy của xilanh khi lò xo không bị biến dạng. Giải: Lúc đầu nước chiếm thể tích 1cm3, trong khi đó thì từ phương trình trạng thái dễ thấy hơi chiếm thể tích không nhỏ hơn 12lít, vì vậy có thể bỏ qua thể tích của nước. Vì trong xilanh có nước nên hơi lúc đầu là bão hoà và áp suất của nó bằng p1h= 105Pa. ở cuối thí nghiệm áp suất của hơi bằng p2 = 0,5p1h = 0,5.105Pa, khi đó lực tác dụng của lò xo lên pittông cũng giảm đi một nửa. Toàn bộ nước khi đó đã bay hơi vì pittông ngừng chuyển động và hơi không còn bão hoà. Giả sử lúc đầu khối lượng hơi nước bằng mh. Khi đó, lúc bắt đầu thí nghiệm: ở đây Mh là khối lượng một mol hơi nước. Lúc cuối thí nghiệm: Từ hai phương trình này chúng ta nhận được: Thể tích của hơi sẽ là lít Bài toán 4. Trong một bình thể tích V1 = 20lít có một ít nước, hơi bão hoà và không khí. Tăng chậm dần thể tích của bình ở nhiệt độ không đổi đến thể tích V2 = 40lit, khi đó áp suất trong bình sẽ giảm từ p1 = 3 at đến p2 = 2 at. Hãy xác định khối lượng nước trong bình cuối thí nghiệm nếu như khối lượng tổng cộng của nước và hơi là m = 36g. Bỏ qua thể tích của nước trong cả quá trình thí nghiệm. Giải: Phân tích đường đẳng nhiệt của hơi nước (xem giản đồ ở trên) chứng tỏ rằng trong suốt thời gian thí nghiệm áp suất riêng phần của hơi nước không thay đổi (vì lúc đầu và cuối thí nghiệm trong bình đều có nước do đó hơi ở trạng thái bão hoà). Như vậy áp suất trong bình thay đổi chỉ là do sự thay đổi của áp suất không khí. Vì thể tích của khí tăng lên 2 lần ở nhiệt độ không đổi, nên áp suất của nó ở cuối quá trình thí nghiệm cũng phải giảm đi 2 lần. Giả sử cuối thí nghiệm khối lượng hơi còn lại trong bình là mh2. Vì hơi bão hoà ở áp suất và nhiệt độ không đổi mà thể tích của nó tăng lên gấp đôi nên lúc bắt đầu thí nghiệm khối lượng của nó là mh1 = mh2/2. Sau khi phân tích sơ bộ như vậy bây giờ chúng ta tìm áp suất hơi ph trong bình. Lúc bắt đầu thí nghiệm: , ở đây pk là áp suất không khí lúc đầu. Lúc cuối thí nghiệm: . vì vậy = 1 at. Vì hơi nước bão hoà nên nhiệt độ của nó vẫn là 1000C. Theo phương trình trạng thái bây giờ ta có thể tìm được khối lượng của hơi trong bình: = , ở đây Mh = 18g/mol, từ đó: Như vậy khối lượng nước còn lại trong bình là: =12g. Bài toán 5. Trong một xilanh, ở dưới pittông có một ít chất lỏng và hơi bão hoà của nó ở nhiệt độ nào đó. Khi nung đẳng áp chậm nhiệt độ của hệ tăng lên đến 1000C còn thể tích tăng thêm 54%. Nhiệt độ trong xilanh đã tăng lên bao nhiêu độ nếu lúc đầu khối lượng của hơi bằng 2/3 khối lượng toàn bộ của hỗn hợp? Bỏ qua thể tích ban đầu của chất lỏng so với thể tích của hệ. Giải: Giả sử khối lượng của hơi và chất lỏng lúc đầu là mh và ml, còn nhiệt độ trong bình là Tđ . Khi nung nóng đẳng áp nhiệt độ của hỗn hợp không thay đổi chừng nào mà chất lỏng còn bay hơi. Theo giả thiết nhiệt độ được tăng đến Tc = 373K thì có nghĩa là toàn bộ chất lỏng đã bay hơi (trạng thái 2 ở giản đồ trên) và hơi bây giờ có khối lượng mh + ml đã được nung nóng thêm DT=Tc-Tđ. Chúng ta viết phương trình trạng thái cho trạng thái đầu và cuối của hệ: , ở đây Mh khối lượng một mol hơi nước. Theo giả thiết và . Từ các phương trình trên chúng ta tìm được: và cuối cùng ta có: Bài toán 6. Trong một bình có chứa chất lỏng và hơi bão hoà của nó. Trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt thể tích của hơi chiếm tăng lên b = 3 lần, còn áp suất của hơi giảm đi a = 2 lần. Hãy tìm tỉ số giữa khối lượng của chất lỏng ml và khối lượng hơi của nó mh lúc đầu trong bình. Bỏ qua thể tích chất lỏng. Giải: Trong quá trình đẳng nhiệt áp suất giảm 2 lần còn thể tích tăng lên 3 lần. Vì vây hệ chất lỏng - hơi với khối lượng ml +mh từ trạng thái ban đầu ứng với điểm 3 trên giản đồ chuyển sang trạng thái cuối ứng với điểm 1 trên giản đồ. Đến trạng thái trung gian 2, toàn bộ chất lỏng đã bay hơi hết dưới áp suất không đổi p = phd và chiếm thể tích V2: ở đây Mh là khối lượng một mol hơi nước. ở trạng thái cuối, cũng khối lượng hơi đó dưới áp suất và cũng ở nhiệt độ đó chiếm thể tích V1: Theo điều kiện của bài toán ở trạng thái đầu hơi nước có khối lượng mh chiếm thể tích : Từ các phương trình này chúng ta tìm được: V1 = aV2, Suy ra: Bài toán 7. Trong một xilanh, ở dưới pittông có một hỗn hợp chứa ql mol chất lỏng và qh mol hơi bão hoà của nó ở nhiệt độ T. Trong một quá trình đẳng áp chậm hỗn hợp trong xilanh được cung cấp một nhiệt lượng Q và nhiệt độ tăng lên DT. Hãy tìm sự biến đổi nội năng của hỗn hợp trong xilanh. Bỏ qua thể tích của chất lỏng. Giải: Trong quá trình đẳng áp khi nhiệt lượng được cung cấp một cách chậm thì nhiệt độ sẽ không thay đổi chừng nào mà chất lỏng chưa bay hơi hết. Sau đó lượng hơi sẽ bằng và nhiệt độ tăng lên DT. Theo định luật bảo toàn năng lượng: , ở đây là công của hơi chống lại áp suất bên ngoài. Theo phương trình trạng thái: Cuối cùng ta nhận được : . Bài toán 8 Trong một xilanh, dưới pittông có một mol hơi chưa bão hoà ở nhiệt độ T. Nén đẳng nhiệt hơi sao cho đến trạng thái cuối cùng thì một nửa khối lượng của nó đã ngưng tụ thành chất lỏng còn thể tích hơi giảm đi k = 4 lần. Hãy tìm nhiệt ngưng tụ phân tử (nhiệt lượng toả ra khi một mol hơi ngưng tụ hoàn toàn thành chất lỏng), nếu như trong quá trình trên hệ đã toả ra một nhiệt lượng Q (Q>0). Coi hơi nước là khi lý tưởng. Giải: Công do y mol hơi thực hiện được trong quá trình giãn nở đẳng nhiệt từ thể tích V1 đến thể tích V2 bằng: A = yRTln(V2/V1). Hơi nước bắt đầu ngưng tụ ở trạng thái 2 (xem giản đồ trên) và tiếp tục cho đến trạng thái cuối cùng 3, áp suất không thay đổi. Lượng chất lỏng tạo thành bằng một nửa lượng hơi ban đầu, tức là yl = yh/2. Lượng nhiệt toả ra trong giai đoạn 1 - 3 bằng . Trong đoạn 1–2 hơi vẫn chưa bão hoà, nội năng của nó trong quá trình đẳng nhiệt không thay đổi, vì thế nhiệt lượng toả ra về trị số bằng công của ngoại lực nén: Q12 = yhRTln(V1/V2). Trong đoạn 2 - 3, hơi ngưng tụ và sự toả nhiệt xảy ra ở áp suất và nhiệt độ không đổi và Q23 = ylL, ở đây L nhiệt ngưng tụ phân tử của hơi. Ngoài ra, đối với đoạn này, từ phương trình trạng thái ta tìm được: . Phương trình trên cùng phương trình trạng thái và điều kiện V1 = kV3 cho phép tìm được tỉ số các thể tích V1/ V2: Như vậy, cuối cùng ta được: từ đó: L = 2Q-2RTln2. Bài tập Sau một cơn mưa mùa hè độ ẩm tương đối của không khí đạt 100%. Khi đó khối lượng riêng của không khí ẩm (khối lượng của hơi nước và không khí trong một cm3) , áp suất của nó bằng p = 100kPa và nhiệt độ t = 220C. Hãy tìm áp suất hơi bão hoà ở nhiệt độ t = 220C. Cho biết khối lượng một mol không khí bằng Mk = 29g/mol và của hơi nước Mh = 18g/mol, hằng số khí lý tưởng R = 8,31J/(mol.K). ĐS : Một lượng hơi nước thể tích V1= 4lít được giữ trong một xilanh dưới pittông gắn với một lò xo. Nhiệt độ trong xilanh được duy trì không đổi và bằng 1000C. Một lượng nước khối lượng m = 4g được bơm vào xilanh và pittông bắt đầu chuyển động. Sau khi cân bằng thì một phần nước đã bay hơi, còn thể tích dưới pittông tăng lên 2 lần. Lúc đầu khối lượng hơi nước trong xilanh bằng bao nhiêu? Đến cuối quá trình thí nghiệm có bao nhiêu nước đã bay hơi? ĐS: ; Một hỗn hợp nước và hơi bão hoà có thể tích nào đó ở nhiệt độ 900C. Nếu nung nóng đẳng tích hỗn hợp thì toàn bộ nước sẽ bay hơi khi nhiệt độ tăng thêm 100C. áp suất hơi bão hoà ở nhiệt độ 900C bằng bao nhiêu nếu lúc đầu khối lượng nước chiếm 29% khối lượng của toàn bộ hỗn hợp? Cho biết thể tích của nước nhỏ không đáng kể so với thể tích toàn bộ hỗn hợp. ĐS: , ở đây Trong một xilanh, dưới pittông, có chứa hơi nước bão hoà ở nhiệt độ t = 1200C. Khi nén chậm đẳng nhiệt, hơi bắt đầu ngưng tụ. Đến khi m = 5g hơi nước đã được ngưng tụ, thì thể tích của hơi giảm đi = 4,5lít. Tính công mà ngoại lực đã thực hiện được trong quá trình này. Lúc đầu trong xilanh có bao nhiêu hơi nước nếu cuối thí nghiệm nước chiếm 0,5% thể tích của hỗn hợp? ĐS: ; Phạm Tô (Sưu tầm và giới thiệu)