Chuyên đề Nâng cao Toán 7

Bài toán số 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, các điểm E, D thuộc các cạnh AB, AC sao cho AE = AB và AD = AC. Chứng minh rằng AM, BD và CE đồng quy. Phân tích bài toán: MB = MC GT AE = AB AD = AC KL AM, BD, CE đồng quy Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để chứng minh được AM, BD và CE đồng quy, chẳng hạn như gọi O là giao điểm của OM và BD, khi đó ta dễ dàng nhận ra O là trung điểm của AM. Ta chỉ cần chứng minh CE phải đi qua O bằng cách nhận xét MK là đường trung bình của tam giác EBC và EO là đường trung bình của tam giác AKM . Lời giải (tóm tắt): Trên AB xác định E và K sao cho AE = EK = KB. Trên AC xác định D và Q sao cho AD = DQ = QC. Gọi O là giao điểm của AM và BD, ta có : MQ // BD Xét tam giác AMQ có: OA = OM vậy O là trung điểm của AM Chứng minh tương tự ta có CE qua trung điểm O của AM. Vậy AM, BD và CE đồng quy tại O 3. Khai thác bài toán Nhận xét 1: Với giả thiết của bài toán 1 ta đã chứng minh được O là trung điểm của trung tuyến AM, vấn đề đặt ra là nếu có O là trung điểm của trung tuyến AM và AM, BD,CE đồng quy tại O,ta có thể chứng minh được và không? từ đó ta có bài toán khác. Bài toán số 2: Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng Ax song song với BC, qua C vẽ đường thẳng song song với AB ; Ax cắt By tại D. nối BD, BD cắt AC tại B’ qua B’ kẻ đường thẳng song song vói AD cắt AB tại C’ gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ cùng đi qua 1 điểm. : Hướng dẫn giải:  ABC, A’ là trung điểm BC AD // BC, DC // AB GT B’C’ // AD KL AA’, BB’, CC’; cùng đi qua một điểm Xét B’AD và B’CB có (AD// BC) AD = BC ( tính chất đoạn chắn ) ( AD// BC) Vậy B’AD = B’CB ( g. c . g) Suy ra AB’ = B’C C’B’// AD ( gt) và AD//BC(gt) Suy ra C’B’//BC ABC có C’B’ // BC và AB’ // B’C Su ra AC’ = C’B ABC có AA’, BB’ , CC’ là trung tuyến nên AA’, BB’ ,CC’ cùng đi qua một điểm. Bài toán 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nữa mặt phẳng chứa điểm A bờ là đường thẳng BC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA , CE = CA. chứng minh rằng các đường thẳng AH, BE, CD cùng đi qua 1 điểm. Hướng dẫn giải: GT KL AH, BE, CD đồng quy. Trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Gọi M là giao điểm của IB và DC Xét ABI và BDC có BA = BD (gt); ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) AI = BC (gt) Vậy ABI = DBC ( c. g .c) Suy ra Mà Suy ra DBM có nên Vậy IBDC Chứng minh tương tự ta cũng có BE IC BIC có IH, CD, BE là ba đường cao nên IH,CD, BE đồng quy. Bài toán số 4: Cho hai đường thẳng cắt nhau tại O. trên đường thẳng thứ nhất lấy ba điểm A,B,C saôch : OA = AB = BC. Trên đường thẳng thứ hai lấy ba điểm D,E,F sao cho : OD OE = EF Chứng minh rằng AD, BF,CE cắt nhau tại một điểm. Hướng dẫn giải: GT a cắt b, OA = AB = BC OD= OE = EF KL AD, BF, CE đồng quy. Gọi I là giao điểm của BF và CE ; AE là đường trung bình của OBF nên AE // BF ACE ; AE//BI; AB= BC Suy ra CI= IE DCE có CO là trung tuyến, CA =(OA=AB=BC) nên A là trọng tam của DCE. DCE có A là trọng tâm , I là trung điểm CE nên DA đi qua điểm I . Vậy AD,BF,CE cắt nhau tại một điểm. Bài toá số 5 Cho ABC cân tại A , trung tuyến AM, đường caoBE.Trên tia BA lấy điểm F sao cho BF = CE. Chứng minh rằng ba đường thẳng BE,CF và AM cùng đi qua một điểm. Hướng dẫn giải: ABC cân tại A GT MB = MC, AHBC BF = CE KL BE,CF, AM đồng quy Xét BFC và CEB có: BF = CE (gt) (gt) BFC = CEB (c. g .c) MB = MC (gt) Suy ra do đó CFAB. AM là trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân nên AM BC. Suy ra AM, BE, CF là ba đường cao của ABC nên chúng đồng quy. Bài toán số 6 Cho tam giác ABC. Gọi O là điểm bất kì trong tam giác , L,M, N là trung điểm của AO, BO,CO và D,E,F là chân các đường trung tuyến thuộc các đỉnh A,B, C của tam giác ABC. Chứng minh rằngDL, EM, và FN đồng quy tại một điểm. Hướng dẫn giải: