Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Châm -Trường THPT Xuân Huy

Chõm Tổ Toán -Trường THPT Xuân Huy chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng Phần I :Nguyên hàm A .Các kiến thức cần nhớ : 1 .Định nghĩa : Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) Trên Khoảng (a;b) nếu mọi x thuộc (a;b) ta có : F’(x) = f(x) . Nếu thay khoảng (a;b ) bằng Đoạn [a ;b] thì ta phải có thêm : F(a) = f(a) và F(b) = f(b) 2 . Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì : a , Với mọi hằng số C , F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó b , Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x) +C với C là hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là .Do đó viết = F(x) +C *Bổ đề : Nếu F’(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó 3 .Các tính chất của nguyên hàm : . ()’ = f(x) . = a (a0) . =+ . = F(t) +C = +C = F(u) + C (u=u(x)) 4 . Bảng các nguyên hàm : Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số Hợp (u=u(x)) = x+C = u+C (-1) (-1) = ln +C (x0) = ln +C (u=u(x)0) B. các cách xác định nguyên hàm : Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa : *Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x thuộc R ta có : 1) 2) 3) (a0) CM : 1, Thật vậy tacó :( )=cos(ax+b) Chứng minh tương tự cho ý 2,và3, .Có thể coi kết quả của ví dụ 1 là các công thức bổ xung để tính nguyên hàm * Bài 2 : CMR hàm số F(x)= ln (x+ ) với a>0 là một nguyên hàm của f(x)=trên R Giải :Ta có F’(x)= [ln (x+ )]’==( x+)== =f(x) * Bài 3 : Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) Biết : a , f(x) = e2x+1 Biết F(-)= b, f(x) = Biết F(8) = 2 c, f(x)= Biết F(0) = 8 Giải : a , Ta có F(x) = = e2x+1 +C Vì F(-)= e2(-)+1 +C = +C = C =1 Vậy một nguyên hàm của hàm số f(x) là: F(x) =e2x+1 +1 ý b, c Giải tương tự Cách 2 : Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm số sơ cấp Ví dụ : Tìm nguyênhàm của hàm số f(x)= Ta có dx= = ln+ Bài tập tương tư. tìm nguyênhàm của các hàm số a, f(x)=3x2-4x+5 Hướng dẫn : Viết lại f(x)= b,f(x)=(x3-2)2 Hướng dẫn : Viết lại f(x)= x6 –4x+4 c,f(x)= Hướng dẫn : Viết lại f(x)= Cách 3 :Xác định nguyên hàm bằng việc sử dụng bảng nguyên hàm của hàm hợp : Ví dụ : Tìm I= Ta có = -4sin x dx sin xdx= - Vậy I =-= -ln +C Bài tập tương tư: Tính a, J= Hướng dẫn : Ta có J= d (3x+5) b, k= Hướng dẫn : Ta có k= c, m= Hướng dẫn : Ta có m= d , n = Hướng dẫn : Ta có n= f , p = Hướng dẫn : Ta có p=2 g , q = Hướng dẫn : Ta có q= Phần II Tích phân A . Các kiến thức cần nhớ : Định nghĩa tích phân : Ta có công thức Nưu tơn –laipnit = F(b) –F(a) 2 .Các tính chất của tích phân B Các phương pháp tính tích phân : 1, Phương pháp đổi biến số : Dạng 1: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc lẻ Ví dụ a, I= b, J = *Phương pháp chung: Ta tách một sin x (hoặc cosx) ra chuyển phân mũ chẵn còn lại về cos x (hoặc sin x) nhờ công thức sin2x +cos2x =1 Giải : a, ta có I == Đặt t= cos x dt =- sin x dx với x= 0 t=1 với x= t=0 Vậy I= - = =(t- = b, J = = Đặt t= sin x giải tương tự ta được : J= Dạng 2: Nếu hàm số trong dấu tích phân là sin x (hoặc cosx) bậc chẵn Ví dụ a, I= b, J = *Phương pháp chung : Ta dùng công thức hạ bậc Giải : a, Ta có : I= = = = b, Giải tương tự ta có J= Dạng 3 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai có thể đưa được về dạng f(u) du Ví dụ 1 : Tính tích phân a, I= c, (đềTN 2006) b, J= Phương pháp chung : Đặt t bằng biểu thức trong căn (hoặc bằng cả căn) Giải : a, Đặt t= x3+2 dt =3x2dx x2dx = Với x=1 t = 3 x=2 t = 10 I== = = b, J= = Đặt t= x2+2 x2= t-2 dt =2xdx xdx = Với x=0 t = 2 Với x= t = 4 Vậy J= Tính toán ta có J = c, K= HD : Viết K= Dạng 4 : Nếu hàm số trong dấu tích phân chứa căn bậc hai mà biểu thức trong căn là 1- x2 hoặc a2-x2 (a>0) Phương pháp chung : Đặt x= sin t hoặc x= a sin t (Với t ) Ví dụ : Tính I = Đặt x= sin t dx = cos t dt Với x=0 t = 0 Với x= t = Ta có == ==sin2t Vậy I==== áp dụng phương pháp trên ta có thể giải được các tích phân sau : a, b , Dạng 5 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức có mẫu chứa biểu thức a2+x2 hoặc căn của a2+x2 (a>0) Phương pháp chung : Đặt x= a tg t (Với t ) Ví dụ : Tính tích phân: I= Giải : Đặt x= 2 tg t Với t Đổi cận : x= 0 t = 0 x=2 t = Vậy ta Đặt x= 2 tg t Với t I== = = Dạng 6 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử bằng hoặc cao hơn bậc của mẫu *Phương pháp chung : Ta phân tích nó bằng cách chia tử cho mẫu Ví dụ : Tính các tích phân sau : a, I= b, J= Giải : a, I= = = = b, J= Giải tương tự Dạng 7 : Nếu hàm số trong dấu tích phân là phân thức hữu tỷ có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu mà mẫu có nghiệm *Phương pháp chung : Ta phân tích mẫu thức Thành tích các nhân tử bậc nhất rồi đồng nhất hóa tử thức Ví dụ : Tính I== Ta có = Ta tìm A và B sao cho =+= = = Đồng hóa tử thức ta có hệ Vậy=- I==== ln-ln2 =ln Bài tập tương tự :Tính tích phân : a, b, Dạng 8 : Nếu hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số lượng giác *Phương pháp chung : Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng Ví dụ : Tính tích phân I= Giải : Ta có: I===(sin4x-sin8x)= Bài tập tương tự :Tính tích phân : a, b, 2 .Phương pháp tính tích phân từng phần Dạng 1:Biểu thức trong dấu tích phân có dạng P(x)lnxdx *Phương pháp chung: Đặt VD:Tính a, I= b, J= Giải: a, I= Đặt Vậy = - = = = b,J= . Giải tương tự ta có J=18ln3-8 Dạng2:Biểu thức trong dấu tích phân là tích của 1 đa thức với sinx hoặc cosx dạng hoặc *Phương pháp chung: Đặt VD:Tính a,I= b, J= Giải a,Đặt Vậy I= xsinx - = xsinx + cosx =(xsinx+cosx) == b, J=. Giải tương tự J= Dạng 3:Biểu thức trong dấu tích phân có dạng *Phương pháp chung: Đặt VD: a,I= b, J= Giải: a, Đặt Vậy I= -= (xex-ex) = ex(x-1) = e(1-1)-e0(0-1) = 1 b, J= . Giải tương tự J= Phần: IIIMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN I - BÀI TOÁN 1: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng Dạng 1: Hỡnh phẳng giới hạn bởi 4 đường: y = f(x), y = g(x), x = a, x = b Diện tớch ùf(x) - g(x) ùdx Đặc biệt nếu g(x)= 0 thỡ ùf(x) ùdx Để tớnh S ta phải phỏ ùf(x) - g(x) ù bằng cỏch: - GPT f(x) = g(x) nếu trờn [a;b] PT f(x) = g(x) cú nghiệm a, b (a b )thỡ ùf(x) - g(x) ùdx = ù f(x) - g(x) ùdx + ù f(x) - g(x) ùdx + ù f(x) - g(x) ùdx = ù[ f(x) - g(x) ] dxù + ù [f(x) - g(x) ] dxù + ù[ f(x) - g(x) ] dxù Vớ dụ: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng được giới hạn bởi cỏc đường sau: a) y = sinx, y = 0, x = 0, x = b) y = x2, y = x, x = -1, x = 2 H ướng dẫn giải: a) ùsinx ùdx = sinx dx (vỡ trờn [0; ] sinx 0 ) KQ: S=(đvdt) b) GPT S = ù(x2 - x ) dxù + ù (x2- x ) dxù + ù( x2 - x) dxù KQ: S=(đvdt) Bài tập tương tự: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: 1) y = 5x4 +3x2 +1, y = 0, x = 0, x = -1 2) y = x2 -4x, y = -x-2, x = 0, x = 2 3) y = cosx, y = 0, x = , x = Dạng 2: Hỡnh phẳng giới hạn bởi 2 đường y = f(x) và y = g(x) hoặc hỡnh phẳng giới hạn bởi 3 đường y = f(x) , y = g(x) và x = a Dạng này khuyết cận,giỏo viờn cần hướng dẫn học sinh xỏc định cận bằng cỏch GPT f(x) = g(x) Vớ dụ : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi: a) y = x3- 3x2; y = 2x b) y = 1; x = y3 ; x = 8 Hướng dẫn giải: a) Xột PT x3 -3x2 = -2x S= ù(x3- 3x2 +2x) dxù + ù (x3- 3x2 +2x) dx ù KQ S=(đvdt) b) Ta cú x =y3 GPT x = 1 V ậy S= ùùdx = ()dx KQ S = (đvdt) Bài tập Tương tự: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau: 1) y = , y = 0 2) y = x2 - 2x+4, x - y + 4 = 0 3) y = , y = , x = 1 4) y = lnx, y = 1, x = 1 Dạng 3: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: y = f(x), y = g(x), y = h(x) Trong trường hợp này ta phải phỏc hoạ hỡnh vẽ, giải cỏc phương trỡnh: f(x) = g(x), g(x) = h(x), f(x) = h(x) để chia khoảng,xỏc định cận của tớch phõn y y= Vớ dụ: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: y =, y =, y = 2x - 6 2 Ta GPT: = x = 1 = 2x - 6 x = x 4 0 = 2x - 6 x = 4 y= S= y=2x-6 KQ: S = (đvdt) Bài tõp tương tự: Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau: 1) y = x, y = 0 , y = 4 - x 2) y = x2 + 3x + 2 và 2 tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của nú với trục hoành. BÀI TOÁN 2: Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay Dạng 1: Giả sử vật thể trũn xoay sinh ra bởi cỏc đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b khi quay xung quanh trục 0x V = Vớ dụ: Tớnh diện tớch vật thể trũn xoay sinh ra bởi hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau khi quay xung quanh trục 0x 1) , y= 0, x = 1, x = 4 2) y = -3x2+3x+6, y = 0 3) y2= 4x, y = x Hướng dẫn giải: 1) V = KQ: (đvtt) 2) Xột PT: -3x2+3x+6 = 0 V = y KQ: V = (đvtt 4 3) Ta cú y2= 4x y = x 4 0 GPT x = y= y=x -4 V = V1-V2= KQ V = (đvtt) Bài tập tương tự: 1) y = x3 +1, y = 0, x = 0, x = 1 2) y = 5x-x2, y = 0 3) y = 2x2, y = x3 Dạng 2: Vật thể trũn xoay sinh bởi hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: x = g(y), x = 0, y = a, y = b khi nú quay xung quanh trục 0y V= V ớ d ụ: Tớnh thể tớch vật thể trũn xoay sinh bởi hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: y2 = x3, y = 0, x = 0 khi nú quay xung quanh trục 0y Hướng dẫn giải: Từ y2 = x3 Giải PT: V = KQ: V =