Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số Ngày soạn : 22/08/11 Ngày dạy : 26/08/11 Chủ đề 1 phân tích đa thức thành nhân tử Buổi 1 các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh nhớ lại và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm các hạng tử - Học sinh hiểu và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử.  Kĩ năng - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử - Nâng cao khả năng t− duy, quan sát, tìm h−ớng giải, trình bày  Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: Ôn lại các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức - sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (5 phút) - HS: Nêu các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà em đã đ−ợc học trên lớp ? - GV: Nhắc lại, bổ sung III. Bài mới (170 phút) Ph−ơng pháp 1: Đặt nhân tử chung 1. Lí thuyết: a) Ph−ơng pháp đặt nhân tử chung đ−ợc dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D) b) Các b−ớc tiến hành: B−ớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu B−ớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = 2x2 + x => A = x(2x + 1) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ⇒ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) C = 16x2(x - y) -10y(y - x) ⇒ C = (x - y)(16x2 + 10y) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) => D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by). Bài 2: Phân tích A và B thành nhân tử: = − + ≥A 10a b 5a 5 a (a 0) = − ≥ ≥B x y y x (x 0;y 0) Ph−ơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức 1. Lí thuyết: a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức đ−ợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 + + = + ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 − + = − ≥2a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 3) a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) − = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 + + + = + ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 − + − = − ≥3 3 3a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 7) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) + = + = + − + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) với n lẻ (n 3≥ , nguyên) 8) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) − = − = − + + ≥3 3a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1)với n lẻ (n 3≥ , nguyên) 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 + + + + + = + + ≥2a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0) 2 2 2 2 2a b c d 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)+ + + + + + + + + = + + + 10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số 0 1 2 2 2 (a b) 1 (a b) 1a 1b (a b) 1a 2ab 1b + = + = + + = + + 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (a b) 1a 3a b 3ab 1b (a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b (a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b + = + + + + = + + + + + = + + + + + ………………………………………………………… Viết tam giác Pa – xcan để khai triển n(a b)+ nh− sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ……………………………………….. Cách viết: + Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 + Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x2 - 4 = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). b) x2 + 2xy + y2 - 25 = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P =(a2+ 4)2- 16a2 =(a2+ 4)2- (4a)2 = [(a2 + 4) - 4a][(a2 + 4) + 4a] = (a - 2)2(a + 2)2 Q = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 = ( x + y - 1)2 R = a3+ 6a2 + 12a + 8 = (a + 2)3 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x - y)2 - (y - z)2. b) 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3. c) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2. Bài 4: Phân tích M, N, P thành nhân tử : M = −2a 2 N = − ≥9a 1 (a 0) P = + + ≥x 1 2 x (x 0) Ph−ơng pháp 3: Nhóm các hạng tử 1. Lí thuyết Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử ch−a có nhân tử chung hoặc ch−a áp dụng ngay đ−ợc hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu B−ớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. B−ớc 2: Nhóm để áp dụng ph−ơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. B−ớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) xy - xz - y + z = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 5x2 - 5xy - 10x + 10y. b) x3 - x2y - x2z - xyz. c) 2x2 + 2y2 - x2z + z - y2z - 2. d) (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab. Bài 3: Phân tích D, E thành nhân tử : D = − + − ≥ ≥a 2 a 1 b (a 0;b 0) E = − + − − ≥ ≥a b a 2 ab b b a (a 0,b 0) Ph−ơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử 1. Lí thuyết *) Lí thuyết chung: Ph−ơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) Các tr−ờng hợp: a, Tr−ờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) Tính : ∆ = b2 - 4ac: - Nếu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đ−ợc. - Nếu ∆ = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình ph−ơng của một nhị thức bậc nhất - Nếu ∆ = b2 - 4ac > 0 +) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) đa thức phân tích đ−ợc trong tr−ờng Q. +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích đ−ợc trong tr−ờng số thực R. b, Tr−ờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: - Nhẩm nghiệm của đa thức: +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ⇒ đa thức có nghiệm bằng 1. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức có nghiệm bằng - 1. - L−u ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là −ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p q thì p là −ớc của hạng tử tự do, q là −ớc d−ơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2. Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y). Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta có : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4 Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = ... = (x - 1)(x + 2)2 Cách 3: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 ... = (x - 1)(x + 2)2 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 b) B = x4 + 4 c) C = x2 - 6x + 8 Giải: a) Nhẩm đ−ợc nghiệm x = 1 3 A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - 1 = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x2 + x + 1) b) B = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) c) C = x2 - 6x + 8 = x2- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)2- 1 = (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) Hoặc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + 2 = x3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + x - 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = ( x2 + 8)2 - (4x)2 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu = (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x) Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 = (2x2 + 9)2- (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) b) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3n+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m, n. Chứng minh: Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1) Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1 Vậy x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 4 3x 5x 10x 4+ + − b) 3 3 3x y z 3xyz+ + − c) 8x x 1+ + d) 5 4x x 1+ + e) 10 5x x 1+ + H−ớng dẫn: a) Thêm bớt 2x2, đáp số: 2 2(x 5x 2)(x 2)+ − + Hoặc nhóm: 4 3 4 3 2 2 2x 5x 10x 4 (x 4) (5x 10x) (x 2)(x 2) 5x(x 2) ...+ + − = − + + = + − + + = b) Thêm bớt 3xy(x + y), ta đ−ợc: ( ) ( )3 3 3 3 3 2 2 2 x y + 3xy x y z -3xy x y 3xyz (x y) z 3xy(x y z) (x y z)(x y z xy yz zx) + + + + − = + + − + + = + + + + − − − c) Thêm bớt x2, ta có kết quả: 2 6 5 3 2(x x 1)(x x x x 1)+ + − + − + d) Thêm bớt x3, ta có kết quả: 2 3(x x 1)(x x 1)+ + − + e) Thêm bớt 2x x+ Ta có: ( ) ( ) ( ) 10 5 10 5 2 2 33 2 3 2 3 6 3 2 3 2 2 6 3 2 2 8 7 5 4 3 x x 1 (x x) (x x ) (x x 1) x x 1 x x 1 (x x 1) x(x 1)(x x 1) x x 1 (x x 1) (x x 1) x(x 1)(x x 1) x (x 1) 1 (x x 1)(x x x x x x 1) + + = − + − + + +   = − + − + + +    = − + + + − + + +   = + + − + + + − +   = + + − + − + − + Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số Bài 8: Cho x Z∈ , chứng minh rằng: 200 100 4 2x x 1 x x 1+ + + +
H−ớng dẫn: Thêm bớt 4 2x x+ ( ) ( ) 200 100 200 2 100 4 4 2 2 198 4 96 4 2 33 162 6 4 6 4 2 A x x 1 (x x ) (x x ) (x x 1) x (x 1) x (x 1) (x x 1) x x 1 x x 1 (x x 1) = + + = − + − + + + = − + − + + +     = − + − + + +        2 6 4 6 4 2 6 2 4 4 2 x (x 1).B(x) x (x 1).C(x) (x x 1) (x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) = − + − + + +   = − + + + +   3 3 2 4 4 2(x 1)(x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) = − + + + + +   ( ) 4 2 2 4 4 2 4 2 (x 1)(x 1)(x x 1) x .B(x) x .C(x) (x x 1) A x x 1   = − + + + + + + +   => + +
Bài 9: Phân tích Q, K thành nhân tử : Q = − + ≥a 3 a 2 (a 0) K = − + ≥x 7 x 12 (x 0) IV. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập đã chữa - Giải tiếp các bài tập sau: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt nhân tử chung a) −a 5 b 5 b) x(y + z) + 3(y + z) c) m(n - p) - n + p d) a(b - a)(a + b) - (a + b)(a2 - ab + b2) e) xm + 2 - xm Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng hằng đẳng thức a) 25a2 + 10a + 1 b) 9x2 – xy + 1 36 y2 c) x4 – y4 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp nhóm các hạng tử a) 5a2 – 5ax – 9a + 9x b) ma – mb + na – nb – pa + pb c) ax2 + 5y – bx2 + ay + 5x2 – by Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử a) P = ab(a - b) + bc(b - c) + ac(a - c). b) Q = x3 + 3x2 - 4. Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử a) 9x2 + 6x – 8 b) 4x2 – 3x – 1 Ngày soạn : 25/08/11 Ngày dạy : 30/08/11 Chủ đề 1 phân tích đa thức thành nhân tử Buổi 2 các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đ−ợc :  Kiến thức - Học sinh hiểu và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Ph−ơng pháp dùng phép chia đa thức; ph−ơng pháp đặt ẩn phụ. - Học sinh hiểu và vận dụng đ−ợc các ph−ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Ph−ơng pháp hệ số bất định; Ph−ơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai; thấy đ−ợc sự quan trọng của việc phân phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số bài toán th−ờng gặp  Kĩ năng - Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử - Nâng cao khả năng t− duy, quan sát, tìm h−ớng giải, trình bày  Thái độ - Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, tích cực, chủ động B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức – sĩ số II. Kiểm tra bài cũ (15 phút) - HS1: Giải bài tập 1d đã cho tiết tr−ớc - HS2: Giải bài tập 2b đã cho tiết tr−ớc - HS3: Giải bài tập 4a đã cho tiết tr−ớc III. Bài mới (160 phút) Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số Ph−ơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) 1. Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là th−ơng của phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a f(a) = 0 2. Bài tập: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4. Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là −ớc của 4. Ư(4) = { }1; 2; 4± ± ± Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4). Mà g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 có x = 2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2). Với đa thức : x2 – x + 2 có ∆ = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không phân tích đ−ợc trên R. Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2). Ph−ơng pháp 6: Ph−ơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) 1. Lí thuyết: - Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đ−a vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Ph−ơng pháp này th−ờng đ−ợc sử dụng để đ−a một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đ−ợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 . - Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12 Đặt (x2 + x)2 = X. Ta có: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + 4 - 16 = (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x2 + x. Ta có: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + 6. Đặt : 2x2 + 3x + 5 = t ta có f(t) = t2 + 5t + 6. Dễ dàng phân tích đ−ợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có : f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9. Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Suy ra f(t) = t2 -16 - 9 = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vậy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16). Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + 2 Đặt x2 + x = y ta có: P = y2 + 3 y + 2 = y2 + y + 2y + 2 P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x2 + x = y ta có: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10 Đặt x - y = t ta có: Q = t2 + 3t - 10 = t2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 H−ớng dẫn: a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y => Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2 Đặt y = 3x – 1 => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2 Vậy B = (x2 + 3x - 1)2 Luyện tập chung Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp dùng phép chia đa thức a) 2x3 - 5x2 + 8x - 3. b) 2x3 + 5x2 + 5x + 2. c) 1 + 6x - 6x2 - x3. Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24. Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp đặt ẩn phụ: A = 2 2 2(x 3x 1) 12(x 3x 1) 27− − − − − + Kết quả: A = (x 1)(x 4)(x 2)(x 5)+ − + − Bài 9: a) Chứng minh rằng: 3 3 3 3(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x )+ + − − − = + + + b) Phân tích đa thức thành nhân tử A = 3 3 3 3(a b c) (a b c) ( b c a) (c a b)+ + + − − + − − + − − Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số H−ớng dẫn: [ ]33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 a)(x y z) x y z (x y) z x y z (x y) z 3z(x y)(x y z) x y z x y 3xy(x y) z 3z(x y)(x y z) x y z 3(x y)(xy xz yz z ) 3(x y)(y z)(z x) + + − − − = + + − − − = + + + + + + − − − = + + + + + + + + − − − = + + + + = + + + b) Đặt x = b + c – a; y c a b;z b a c x y z a b c= + − = + − => + + = + + Do đó A = 3 3 3 3(x y z) x y z 3(x y)(y z)(z x)+ + − − − = + + + = 24abc Bài 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = 2 2(x 2x)(x 2x 1) 6− − − − b) B = 2 2 2 2(x 4x 3) 5x(x 4x 3) 6x+ − − + − + c) C = 2 2 2 2(x x 4) 8x(x x 4) 15x+ + + + + + H−ớng dẫn: a) Đặt a = 2x 2x− => A = 2(x 1)(x 3)(x 2x 2)+ − − + b) Đặt b = 2x 4x 3+ − => B = 2(x 3)(x 1)(x x 3)+ − + − c) Đặt c = 2x x 4+ + => C = 2 2(x 2) (x 6x 4)+ + + Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử A = 2 2 2 2 2 22(x 6x 1) 5(x 6x 1)(x 1) 2(x 1)− + + − + + + + H−ớng dẫn: Đặt a = 2x 6x 1− + và b = 2x 1+ => A = 2 2(2a b)(a 2b) 9(x 1) (x 4x 1)+ + = − − + Bài 12: Cho M = 24(x 2)(x 1)(x 4)(x 8) 25x− − + + + . Chứng minh M không có giá trị âm H−ớng dẫn: M = 2 2 24(x 2x 8)(x 7x 8) 25x+ − + − + Đặt: a = 2x 2x 8+ − => M = 2 2 2(2a 5x) (2x 9x 16) 0+ = + − ≥ Ph−ơng pháp 7: Ph−ơng pháp hệ số bất định 1. Lí thuyết: Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử . B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 (1) Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng B = (ax + b )(cx2 + dx + m) B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau: Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 2 5 8 3 Lấy 3 = + = − + = ⇒ = − = ac ad bc am bd bm m        = = −= = 2 1 1 2 d c b a Vậy B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp hệ số bất định a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3. Giải: a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. (1) Nếu đa thức P phân tích đ−ợc thì: P = (3x + ay + b)( x + cy + d) P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có: 3c a 22 a 13d b 4 b 1ad bc 8 c 7ac 7 d 1db 1 + = − = −+ = −  = −+ = ⇒  = − =  = −= ⇒ P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1) b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 (3) Nếu đa thức Q phân tích đ−ợc thì: Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - 3 (4) Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có:         −= =− =− −=+ = 12 123 53 10 12 bd bd ac bcad ac ⇒        = = −= = 2 3 6 4 d c b a ⇒ Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng ph−ơng pháp hệ số bất định x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Thử: x = ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đ−ợc thành thừa số thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 -14x + 3 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3 bd = 3 mà b,d ∈ Z => b ∈ {±1; ±3} Với b = 3 => d = 1 => a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -14 => a = - 2; c = - 4 Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số Vậy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1 => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức A thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên: A = 4 3 2x 3x 6x 5x 3− + − + H−ớng dẫn: A có dạng 2 2(x ax 1)(x bx 3)+ + + + hoặc 2 2(x ax 1)(x bx 3)+ − + − Xét tr−ờng hợp : A = 2 2 4 3 2(x ax 1)(x bx 3) x (a b)x (ab 4)x (3a b)x 3+ + + + = + + + + + + + Đồng nhất hệ số ta đ−ợc a = - 1 ; b = - 2 Vậy A = (x2 - x + 1)(x2 - 2x + 3) Chú ý: Nếu tr−ờng hợp hai hệ số tự do là 1 và 3 không thỏa mãn thì ta xét tr−ờng hợp còn lại và làm t−ơng tự nh− trên Ph−ơng pháp 8: Ph−ơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai 1. Lí thuyết: - áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 thì : P = a(x - x1)(x - x2) 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . P = 2a2 - b2 + ab - 5a + b + 2 P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2) P là tam thức bậc hai biến a ∆= (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2) = b2 -10b + 25 + 8b2 – 8b – 16 = 9b2 – 18b + 9 = (3b - 3)2 Tam thức bậc hai P có nghiệm ba b a −= + = 2; 2 1 21 ⇒ P = 2(a - a1)(a - a2) = 2 )2)(12()2(2 1 −+−−=+−      + − babababa Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - 3 P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - 3 P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3) ∆'= b'2 - ac =[- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = 4 ⇒ Tam thức có hai nghiệm x1 = y + 1 , x2 = y - 3 ⇒ P = (x - y - 1)(x - y + 3) IV. Luyện tập - Giải đề thi Bài 1: Đề thi vào THPT tỉnh Quảng Ninh năm học 2010 - 2011 Cho biểu thức : P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36. Chứng minh P luôn d−ơng với mọi x; y thuộc R . Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu H−ớng dẫn: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x2 - 24x + 3y2 + 18y + 36. = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36 = x(x - 2). ( ) ( )6 12 3 6 12y y y y+ + + + +       = ( )( )2 26 12 2 3y y x x+ + − + . Mà ( )22 6 12 3 3 0y y y+ + = + + > ; ( )22 2 3 1 2 0x x x− + = − + > Vậy P > 0 với mọi x; y thuộc R Bài 2: Đề thi khảo sát chọn HSG đợt I huyện Gia Lộc năm học 2009 - 2010 Câu 1: Phân tích thành nhân tử M = ( ) ( ) ( )3 3 3a b c b c a c a b− + − + − H−ớng dẫn: Cách 1: M = ( ) ( ) ( )3 3 3a b c b a a c a c a b− + − + − + − M = 3 3 3 3 2 2 2 2(a b)(c a ) (c a)(b a ) (a b)(c a)(c a ac b a ab)− − + − − = − − + + − − − M = (a b)(c a)(c b)(a b c)− − − + + Cách 2: H−ớng dẫn HS nhân phá ngoặc và phân tích thành nhân tử Bài 3: Đề thi chính thức chọn HSG huyện Gia Lộc năm học 2007 - 2008 Chứng minh rằng với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì biểu thức căn bậc hai sau luôn có nghĩa: 2 2 2a (b c) b (c a ) c (a b)− + − + − H−ớng dẫn: 2 2 2 2 2 2 2 2a (b c) b (c a) c (a b) a b a c b c b a c (a b)− + − + − = − + − + − 2 2 2 2 2(a b b a) (a c b c) c (a b) ... (a b)( b c)(a c)= − − − + − = = − − − Mà a > b > c => (a b)(b c)(a c)− − − > 0 Vậy với mọi số a, b, c thỏa mãn điều kiện a > b > c thì biểu thức trên luôn có nghĩa. Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 1: Bài 1: Bài 1: V. H−ớng dẫn về nhà (5 phút) - Giải tiếp các bài tập sau Bài 1: Giải các ph−ơng trình sau a) (x2 + 2x + 3)2 - 9(x2 + 2x + 3) + 18 = 0. b) (x - 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5) = 9. Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x3 - 5x2 + 3x + 9 , kết quả: (x + 1)(x - 3 )2 b) 4x3 - 13x2 + 9x - 18 , kết quả: (x - 3)(4x2 – x + 6) Bài 3: Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng 3 3 3x y z 3xyz+ + = Tr−ờng THCS Hồng H−ng Năm học 2011 - 2012 Giáo án Bồi d−ỡng HSG Phần Đại số H−ớng dẫn: Nghĩ đến x + y + z = 0 => x + y = - z Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = 3 3 3(a b) (b c) (c a )− + − + − b) B = 3 3 3(a b 2c) (b c 2a) (c a 2b)+ − + + − + + − H−ớng dẫn: áp dụng kết quả bài tập 3 để phân tích Kết quả: a) A = 3(a b)(b c)(c a)− − − ; b) B = 3(a b 2c)( b c 2a)(c a 2b)+ − + − + − Ngày soạn : 15/09/10 Ngày dạy : 06/09/11 Chủ đề 1 phân tích đa thức thành nhân tử Tr−ờng THCS Hồng H−ng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Buổi 3 các bài toán áp dụn