Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử

Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) ! 1. Định nghĩa: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đú thành một tớch của những đa thức. VD: a) 2x2 + 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3) b) x - 2y +5 - 10y = [()2 – 2 y ] + (5 - 10y) = (- 2y) + 5(- 2y) = (- 2y)( + 5) 2. Cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử Phương pháp 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Lí thuyết: Nếu tất cả cỏc hạng tử của đa thức cú một nhõn tử chung thỡ đa thức đú được biểu diễn thành một tớch của nhõn tử chung với một đa thức khỏc. a) Phương pháp đặt nhân tử chung được dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A( B + C + D) b) Các bước tiến hành: -Bước 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. -Bước 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung. VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 ị B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) ị D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by). BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = 2x2 + x b) B = 16x2(x - y) -10y(y - x) c) C = 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 d) D = 2(x + 3) – x(x + 3) VD2: Giải phương trỡnh: x +x - 3 = 0 Giải: Ta cú: x +x -3 = 0 (1+) x -3 = 0 (1+) x = 3 x= Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm là : S = BÀI TẬP: Giải phương trỡnh: a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = 0 Phương phỏp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Lí thuyết: Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đỏng nhớ nào đú thỡ cú thể dựng hằng đẳng thức đú để biểu diễn đa thức này thành tớch cỏc đa thức. a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức được dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 a2 - b2 = (a + b).(a - b) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 6. an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1). 7. an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 VD1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : A = x2 - 4 b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 Giải: a) A = x2 - 4 A = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2). b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5). C = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 C = [( x + y) - 1)] 2 = ( x + y - 1)2 BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = a3+ 6a2 + 12a + 8 b) B = x2 – 4x + 4 c) C = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 d) D = x2 + 4x – y2 + 4 VD2: Giải phương trỡnh: Giải: Ta cú: Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm là: S={} BÀI TẬP: Giải phương trỡnh: a) (x2 + 2x + 1) - 9 = 0 b) x3 - 1 = x(x - 1) Phương phỏp 3: NHểM CÁC HẠNG TỬ Lí thuyết: Nhúm một số hạng tử của một đa thức một cỏch thớch hợp để cú thể đặt được nhõn tử chung hoặc dựng hằng đẳng thức đỏng nhớ. Phương pháp này thường được dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay được hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể: Bước 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. Bước 2: Nhóm để áp dụng phương pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Bước 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức. VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = xy - xz - y + z b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 Giải: a) A = xy - xz - y + z A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - 1 = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1). BÀI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y. b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo) Phương phỏp 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG VD: Phân tích B thành nhân tử : Giải: Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : b) Q = 3x + 12y c) d) E = 10( - y) – 8y(y - ) e) F = 5( - 2010) - + 2010 = 0 Phương phỏp 2 : DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC VD: Phân tích M thành nhân tử : M = Giải: M = Bài tập: Phân tích N, P thành nhân tử : () b) Phương phỏp 3: NHểM CÁC HẠNG TỬ VD: Phân tích D thành nhân tử : Giải: Bài tập: Phân tích cỏc đa thức sau thành nhân tử : G = x - 3 + y – 3y Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử II- Phương phỏp tỏch hạng tử: ẹa thửực daùng P(x) =ax2+ bx + c Phửụng phaựp: Nhaồm tỡm 2 soỏ m,n sao cho : m. n = vaứ m + n = Khi đú: P(X) = (x-m)(x-n) VD:Phõn tớch đa thức thành nhõn tử: x3 – 7x – 6 Caựch 1: Taựch soỏ haùng -7x thaứnh – x – 6x, ta coự: x3 – 7x – 6 = x3 – x – 6x – 6 = x()-6(x+1) = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) ( Do ) = (x + 1)(x -3)(x +2) Caựch 2: Taựch soỏ haùng – 6 = 8 – 14 ,ta coự: x3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14 = ()-7(x+2) =(x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 4-7) =(x + 2)(x2 – 2x -3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) 1. Lí thuyết *) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ẻ Z; a, b, c ạ 0) Tính : = b2 - 4ac: - Nếu = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc. - Nếu = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất - Nếu = b2 - 4ac > 0 +) = b2 - 4ac = k2 ( k ẻ Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q. +) = b2 - 4ac ạ k2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R. b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên: - Nhẩm nghiệm của đa thức: +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ị đa thức có nghiệm bằng 1. +) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ị đa thức có nghiệm bằng - 1. - Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất". - Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức. 2. Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2. Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy có: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y). Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 rồi bớt 4x2 ta có : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y). Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - 4 Cách 1: x3 + 3x2 - 4 = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 Cách 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 – 4 = ... = (x - 1)(x + 2)2 Cách 3: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 – 3 ... = (x - 1)(x + 2)2 Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 b) B = x4 + 4 c) C = x2 - 6x + 8 Giải: a) Nhẩm đợc nghiệm x = A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - 1 = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x2 + x + 1) b) B = x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) c) C = x2 - 6x + 8 = x2- 6x + 8 + 1 - 1= (x - 3)2- 1 = (x - 3 - 1)( x - 3 + 1) = (x - 4)(x - 2) Hoặc C = x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x( x - 2) - 4 ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + 2 = x3 - 1 - 3x + 3 = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + x - 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = ( x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 + 8 - 4x)(x2 + 8 + 4x) Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 = (2x2 + 9)2- (6x)2 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x) b) x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + 1 đều chứa thừa số x2 + x + 1 Bài 7: Phân tích Q, K thành nhân tử : Q = K = d. Phương phỏp tỏch một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 cú nghiệm) Tam thức bậc hai cú dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu Vớ dụ: a) 2x2 - 3x + 1 = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) e. Phương phỏp thờm, bớt cựng một hạng tử: Vớ dụ: a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y) b) x2 + 4 = x2 + 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 - = g. Phương phỏp phối hợp nhiều phương phỏp: Vớ dụ: a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) b) x2 + 5x - 6 = x2 + 6x - x - 6 = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - (a)2 = (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a) Bài 2: Thực hiện phộp chia đa thức sau đõy bằng cỏch phõn tớch đa thức bị chia thành nhõn tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vỡ x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + 1 = (x2 + 1)(x3 + 1) nờn (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) Vỡ x2 - 5x + 6 = x2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nờn (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rỳt gọn cỏc phõn thức sau: Bài 2: Phõn tớch thành nhõn tử (với a, b, x, y là cỏc số khụng õm) Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) 1. Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a f(a) = 0 2. Bài tập: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - 4. Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4. Ư(4) = Thấy x = - 1 là nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4). Mà g(x) = x3 - 3x2 + 4x - 4 có x = 2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2). Với đa thức : x2 – x + 2 có D = 1- 8 = - 7 < 0 nên đa thức này không phân tích đợc trên R. Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - 4 = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2). ) 2/ PHệễNG PHAÙP THEÂM BễÙT HAẽNG TệÛ : Baứi 4 : PT ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ: a/ x4 + 4. b/ x4y4 + 4 c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) Phửụng phaựp giaỷi: a/ x4 + 4 b/ x4y4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = x4y4 + 4 +4x2y2– 4x2y2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2y2 + 2)2 –(2xy)2 = (x2 + 2x +2). (x2 – 2x +2) = (x2y2 + 2xy +2). (x2y2 – 2xy +2) c/ Caựch 1: Trong 3 haùng tửỷ : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta bieồu dieón 1 haùng tửỷ thoõng qua 2 haùng tửỷ coứn laùi baống caựch theõm bụựt haùng tửỷ: Chaỳng haùn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a ) sau ủoự nhoựm tửứng caởp coự nhaõn tửỷ chung laứ ra keỏt quaỷ: c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = a2[– (a– b) – ( c – a )] + b2(c – a)+ c2(a – b) = - a2(a– b) – a2( c – a ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = c2(a – b) – a2(a– b) +b2(c – a)– a2( c – a ) = (a – b) ( c2 – a2) + (c – a)( b2– a2) = (a – b) (c – a)(c + a – a – b) =(a – b) (c – a)(c– b) Caựch 2 : Nhaõn 2 haùng tửỷ baỏt kỡ, bieỏn ủoồi ủeồ xuaỏt hieọn NTC vụựi haùng tửỷ coứn laùi a2(b – c ) + b2(c – a = a2b – a2c + b2c – b2 a + c2(a – b) = (a2b – b2 a) – (a2c – b2c) + c2(a – b) = ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c2(a – b) = (a – b)( ab – ca – cb +c2) = (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)] =(a – b) (b – c) (a – c) Baứi 5. Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ.. A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Caựch 1: Khai trieồn hai trong ba soỏ haùng, chaỳng haùn khai trieồn hai soỏ haùng ủaàu roài nhoựm caực soỏ haùng laứm xuaỏt hieọn thửứa soỏ chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) ] = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Caựch 2: ẹeồ yự raống: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vaọy ta coự: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Baứi 6 : Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ ( BTVN) a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) . b/ x – y – x3(1 – y) + y3 ( 1 – x) ( aựp duùng ủửụùc caỷ 2 caựch nhử baứi treõn ) Baứi 7. Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ a3 + b3 + c3 -3abc (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lụứi giaỷi: a) Caực haùng tửỷ cuỷa ủa thửực ủa thửực ủaừ cho khoõng chửựa thửứa soỏ chung, khoõng coự daùng moọt haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự naứo, cuừng khoõng theồ nhoựm caực soỏ haùng. Do vaọy ta phaỷi bieỏn ủoồi ủa thửực baống caựch theõm bụựt cuứng moọt haùng tửỷ ủeồ coự theồ vaọn duùng ủửụùc caực phửụng phaựp phaõn tớch ủaừ bieỏt. a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Caựch 1 Bieồu dieón 1 haùng tửỷ thoõng qua 2 haùng tửỷ coứn laùi Ta coự (y – z) = (y – x) + (x – z) neõn (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)3 = 3(y – x)(x – z)(y– z) Caựch 2: Nhoựm 2 haùng tửỷ , bieỏn ủoồi xuaỏt hieọn NTC vụựi haùng tửỷ coứn laùi : Caựch 3:ẹaởt x – y = a , y – z = b, z – x = c thỡ a + b + c = 0. Khi ủoự theo caõu a ta coự: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaọy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 3. PHệễNG PHAÙP ẹAậT AÅN PHUẽ ( ẹOÅI BIEÁN SOÁ) Œ Daùng 1 : (Daùng truứng phửụng) P(x) = ax4+ bx2+ c Phửụng phaựp: ẹaởt y = x2 ủửa veà daùng :P(y) = ay2+ by + c roài aựp duùng phửụng phaựp taựch haùng tửỷ. Baứi 8: Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ. a/ P(x) = x4 + 7x2 +6 b/ Q(x) = 2x4 + 5 x2 – 7 Giaỷi : a/ ẹaởt y = x2 khi ủoự P(x) trụỷ thaứnh: b/ ẹaởt y = x2 khi ủoự Q(x)trụỷ thaứnh: P(y) = y2 + 7y + 6 Q(y) = 2y2 + 5y – 7 = y2 + 6y + y + 6 = 2y2 + 7y – 2y – 7 = y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7) =(y+6)(y+1) = ( 2y + 7) (y 1) Vaọy P(x) = (x2 +6)( x2 +1) Vaọy P(x) = (x2 +7)( x2– 1) = (x2 +7)( x– 1)(x+1)  Daùng 2 : ẹa thửực daùng P(x) = (ax2 + bx + c)(ax2 +bx + d)+ e Phửụng phaựp : ẹaởt y = ax2 + bx + c hoaởc y = ax2 +bx + d , bieỏn ủoồi ủửa veà daùng : a’y2 + b’y + c’ aựp duùng phửụng phaựp taựch haùng tửỷ : Baứi 9: Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ. a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaỷi: a) ẹaởt x2 + x + 1 = y ta coự x2 + x + 2 =y +1 Ta coự: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) Do ủoự: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 ẹaởt: x2 + xy + xz = m, ta coự 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta ủửụùc: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Baứi 10: ŽDaùng 3 : ẹa thửực daùng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e vụựi a + b = c + d Phửụng phaựp : ẹaởt bieỏn phuù y = (x + a)(x + b) coự theồ y = (x + c)(x + d) hoaởc y2 = x2 + (a + b) x Baứi 10: Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ. P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 Giaỷi: Vụựi a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thỡ a + b = 5 =c + d. Bieỏn ủoồi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 ẹaởt y = x2 + 5x + 4 thỡ P(x) trụỷ thaứnh Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Do doự . P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Toồng quaựt: Neỏu ủa thuc daùng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoaỷ maừn a1b1 = c1d1 vaứ a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thỡ ủaởt y =(a1x + a2)(b1x + b2) roài bieỏn ủoồi nhử treõn.  ẹa thửực daùng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) vụựi a1b1 = c1d1 vaứ a2b2 = c2d2 Baứi 11 : Phaõn tớch P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thaứnh nhaõn tửỷ. Giaỷi: Deó thaỏy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaứ a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + x – 10) + 24x2 ẹaởt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thỡ P(x) trụỷ thaứnh: Q(y) = y(y + 10x) –24x2 Tỡm m.n = 24x2 vaứ m + n = 10x ta choùn ủửụùc m = 6x , n = 4x Ta ủửụùc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doự P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).  ẹa thửực daùng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a vụựi k = 1 hoaởc k = -1 Caựch giaỷi: ẹaởt y = x2 + k vaứ bieỏn ủoồi P(x) veà daùng a’y2 + b’xy +c’ roài aựp duùng taựch haùng tửỷ Baứi 12: Phaõn tớch P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + 2 thaứnh nhaõn tửỷ. Giaỷi: ẹaởt y = x2 – 1 suy ra y2 = x4 – 2x2 + 1 Bieỏn ủoồi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Tửứ ủoự Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tỡm m, n sao cho m.n = - 10x2 vaứ m + n = 3x choùn m = 5x , n = - 2x Ta coự : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doự , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2). ‘ẹa thửực daùng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e vụựi e = d2/b2 Caựch giaỷi: ẹaởt bieỏn phuù y = x2 + d/b vaứ bieỏn ủoồi P(x) veà daùng chửựa haùng tửỷ y2+ b’xy +c’ roài aựp duùng taựch haùng tửỷ Vớ duù: Phaõn tớch P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + 4 thaứnh nhaõn tửỷ. Giaỷi: Deó thaỏy b = 1, d = 2, e =4 ủaởt y = x2 – 2 suy ra y2 = x4 – 4x2 + 4 Bieỏn ủoồi P(x) = x4 – 4x2 + 4 – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Tửứ ủoự Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tỡm m, n sao cho m.n = - 6x2 vaứ m + n = - x choùn m = 2x, n = -3x Ta coự Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doự, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2). * Neỏu ủa thửực P(x) coự chửựa ax4 thỡ coự theồ xeựt ủa thửực Q(x) = P(x)/a theo caựch treõn. ’ ẹa thửực daùng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Caựch giaỷi: ẹaởt bieỏn phuù y = x + ( a + b)/2 vaứ bieỏn ủoồi P(x) veà daùng truứng phửụng mx4 + nx2 + p. Vớ duù: Phaõn tớch P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thaứnh nhaõn tửỷ. Giaỷi: ẹaởt y = x – 2 luực doự P(x) trụỷ thaứnh Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doự P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1). BAỉI TAÄP: Phaõn tớch caực ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ. 1/ 6x4 + 19x2 + 15 2/ (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4 3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16 4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 7 5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 6/ (a+2)(a+3)(a2+a+6) + 4a2 . 7/ (x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 8/ (7 – x)4 + ( 5 – x)4 – 2 9/ x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 10/ x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1 Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) 1. Lí thuyết: - Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 . - Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12 Đặt (x2 + x)2 = X. Ta có: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + 4 - 16 = (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x2 + x. Ta có: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + 6. Đặt : 2x2 + 3x + 5 = t ta có f(t) = t2 + 5t + 6. Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), từ đó ta có : f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử . f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - 9 = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - 9 = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - 9 Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta có f(t) = (t - 4)(t + 4) - 9. Suy ra f(t) = t2 -16 - 9 = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vậy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16). Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử . a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + 2 Đặt x2 + x = y ta có: P = y2 + 3 y + 2 = y2 + y + 2y + 2 P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x2 + x = y ta có: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10 Đặt x - y = t ta có: Q = t2 + 3t - 10 = t2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta có: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 Hớng dẫn: a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y => Đa thức có dạng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + 1 B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2 Đặt y = 3x – 1 => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2 Vậy B = (x2 + 3x - 1)2 IV. PHệễNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ẹềNH. Baứi 5: Phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ. a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giaỷi: a) Keỏt quaỷ tỡm phaỷi coự daùng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac. Ta phaỷi tỡm a, b, c thoaỷ maừn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vỡ hai ủa thửực naứy ủoàngnhaỏt , neõn ta coự: a + b = 0 ab + c = 19 ac = - 30 Vỡ a,c thuoọc soỏ nguyeõn vaự tớch ac = - 30, do ủoự a, c laứ ửụực cuỷa - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 khi ủoự b = - 2 thoaỷ maừn heọ treõn. ẹoự laứ moọt boọ soỏ phaỷi tỡm tửực laứ x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Deó thaỏy ±1 khoõng phaỷi laứ nghieọm cuỷa ủa thửực treõn neõn ủa thửực khoõng coự nghieọm nguyeõn, cuừng khoõng coự nghieọm hửừu tổ. Nhử vaọy neỏn ủa thửực ủaừ cho phaõn tớch thaứnh nhaõn tửỷ thỡ phaỷi coự daùng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd . ẹoàng nhaỏt ủa thửực naứy vụựi ủa thửực ủaừ cho, ta coự x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a + c = 6 ac + b + d =7 ad + bc = 6 bd = 1 Tửứ heọ naứy tỡm ủửụùc: a = b = d = 1 , c = 5 Vaọy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5). Phơng pháp 6: Phơng pháp hệ số bất định 1. Lí thuyết: Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải. 2. Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử . B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 (1) Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng B = (ax + b )(cx2 + dx + m) B = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x + bm (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau: Vậy B = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3. Giải: a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1. (1) Nếu đa thức P phân tích đợc thì: P = (3x + ay + b)( x + cy + d) P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd (2) Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có: ị P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1) b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 (3) Nếu đa thức Q phân tích đợc thì: Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - 3 (4) Đồng nhất hệ số của (3) và (4) ta có: ị ị Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 Thử: x = ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành thừa số thì phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 -14x + 3 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = 3 bd = 3 mà b,d ẻ Z => b ẻ {±1; ±3} Với b = 3 => d = 1 => a + c = - 6 ; ac = 8; a + 3c = -14 => a = - 2; c = - 4 Vậy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = 1 => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) V. TèM