Chuyên đề Phương pháp giải các bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ

Phương pháp giải các bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ. Ths. Nguyễn Bá Thủy. B ài toán quỹ tích là một trong những loại toán khó, đặc biệt là các bài toán quỹ tích có liên quan đến véc tơ. Rất nhiều học sinh đã gặp phải những khó khăn tưởng chừng như không thể vượt qua đối với những bài toán dạng này. Nhằm chia sẻ những khó khăn đó, trong bài viết này chúng tôi xin đề xuất một vài ý kiến về phương pháp giải các bài toán quỹ tích có sử dụng véc tơ với tư tưởng chủ đạo là cố gắng thuật toán hoá quy trình giải một vài dạng toán thường gặp. Kiến thức bổ trợ: Cho hệ n điểm và bộ n số sao cho . Khi đó xác định duy nhất điểm I thoả mãn (1) Điểm I như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm theo bộ số . Khi đó với mọi điểm M bất kỳ ta có: Chú ý: Nếu thì ta chứng minh được véc tơ: là một véc tơ không đổi. Sau đây ta sẽ xét một vài dạng toán quỹ tích thường gặp: Dạng 1: Quỹ tích của điểm thoả mãn một đẳng thức véc tơ hoặc độ dài véc tơ. Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các bài toán quỹ tích cơ bản sau: (kạ0), A cố định, không đổi: Quỹ tích điểm M là đường thẳng qua A cùng phương . với A, B cố định: Quỹ tích điểm M là đường trung trực của AB. với A cố định, không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm A, bán kính . Ví dụ 1: Cho DABC. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trường hợp sau: cùng phương với véc tơ Giải: a) Ta có: hay cùng phương với . Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC của DABC. b) Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức (Điểm I như thế là tồn tại và duy nhất). Thì ta có: Do đó cùng phương với cùng phương với véc tơ Û M thuộc đường thẳng đi qua I và song song với BC. Ví dụ 2: Cho DABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trường hợp sau: Giải a) Gọi I là trung điểm BC ta có: Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R=. b) Gọi K là điểm thoả mãn: L là điểm thoả mãn: Ta có: ị Tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng KL. c) Với I là trung điểm của BC. Gọi J là điểm thoả mãn: Ta có: Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm J bán kính . Từ lời giải các bài toán trên ta có thể mô tả được quy trình giải loại toán này như sau: Bước 1: Biến đổi các đẳng thức cho trước về một trong các dạng quỹ tích cơ bản theo 2 hướng: Chứng minh biểu thức véc tơ bằng một véc tơ không đổi hoặc dùng tâm tỉ cự. Bước 2: Sử dụng các quỹ tích cơ bản để xác định quỹ tích của điểm theo yêu cầu bài toán. Dạng 2: Quỹ tích của điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài. Ta biến đổi đẳng thức đã cho về một trong các dạng quỹ tích cơ bản sau: , trong đó A, B cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB), bán kính , nếu . với A, B là các điểm cố định, k không đổi: Quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với AB tại điểm H trên đường thẳng AB thoả mãn: , với A cố định, k³0 không đổi: Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm A, bán kính . Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích điểm M trong mỗi trường hợp sau: với k>0 cho trước. Giải: a) Có Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A. b) Gọi I là điểm thoả mãn: thì . Do đó: ị Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AI. c) Gọi E là điểm thoả mãn: ta có: Mặt khác từ Nên Nếu : Quỹ tích điểm M là rỗng. Nếu : Quỹ tích điểm M là một điểm E. Nếu : Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E, bán kính . Ví dụ 4: Cho ABC. Tìm quỹ tích điểm M trong các trường hợp sau: Hướng dẫn giải: a) Gọi I là điểm thoả mãn ta có: ị Quỹ tích điểm M là đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB. b) Gọi D và E là các điểm thoả mãn: ta có: ị Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính DE. c) Ta có: Gọi J là điểm xác định bởi ta có: ị Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AJ. Một cách tổng quát ta có quy trình giải các bài toán dạng này như sau: Bước 1: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng , bằng phép phân tích thành nhân tử, đặt nhân tử chung,... trong đó các véc tơ có thể là tổng hoặc hiệu các véc tơ nào đó. Bước 2: Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véc tơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến đổi đẳng thức về một trong các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần xác định. Trên đây là một vài ý kiến minh hoạ cho ý tưởng thuật toán hoá phương pháp giải các bài toán quỹ tích có liên quan đến véc tơ. Tuy chưa thật rõ ràng nhưng theo chúng tôi nó thực sự có ý nghĩa. Mong các bạn tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện ý tưởng trên. Việc giải các bài toán quỹ tích cơ bản ở trên không phải là quá khó, xin được dành lại cho các bạn. Sau đây xin mời các bạn luyện tập bằng các bài toán sau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. M và N là 2 điểm thay đổi xác định bởi hệ thức: . Chứng minh rằng là véc tơ không đổi. Tìm tập hợp các điểm M biết nằm trên đường thẳng đi qua tâm O của hình bình hành ABCD. Bài 2: Cho DABC. Chứng minh rằng không phụ thuộc vị trí điểm M. Tìm quỹ tích các điểm M xác định bởi hệ thức: Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm quỹ tích điểm M trong các trường hợp sau: Bài 4: Cho DABC vuông tại A, BC = 6a. Biện luận theo k quỹ tích điểm M thoả mãn: . Với giá trị nào của k thì quỹ tích điểm M chứa điểm A? 02/2004 - NBT