Chuyên đề Phương pháp khảo sát hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 1 PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 1 1( ) : ( )=C y f x Ta có: 1 1 0( ) : 0 ≥ = =  − ≤ y y C y y y y Nếu Nếu Do đó đồ thị 1 1( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox Dạng 2 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 2 2( ) : ( )=C y f x Nhận xét : 2 2( ) : ( )=C y f x là hàm số chẵn Nên 2 2( ) : ( )=C y f x nhận Oy làm trục đối xứng. Ta có: 2 2 ( ) 0 (1)( ) : ( ) ( ) 0 = ≥ = =  − ≤ f x y C y f x f x Nếu x Nếu x Do đó đồ thị 2 2( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía bên phải Oy ( Do (1) ta có) + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn Dạng 3 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 3 3( ) : ( )=C y f x Nhận xét : Nếu 0 0 3 0 0 3( ; ) ( ) ( ; ) ( )∈ ⇒ − ∈M x y C M x y C Nên 3 3( ) : ( )=C y f x nhận Ox làm trục đối xứng. Ta có: 3 3 3( ) : ( ) 0= = ⇒ = ≥C y f x y y y y Nếu Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 2 Do đó đồ thị 3 3( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . Dạng 4 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= =C y f x u x v x suy ra đồ thị hàm số 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x Ta có: 4 4 ( ). ( ) ( ) ( ) 0( ) : ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 0 = = ≥ = =  − = − = − ≤ u x v x f x y u x C y u x v x u x v x f x y u x Nếu Nếu Do đó đồ thị 4 4( ) : ( ) . ( )=C y u x v x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm trên miền ( ) 0≥u x + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm trên miền ( ) 0≤u x lấy đối xứng qua Ox Ta hay gặp dạng đơn giản sau: Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( ) ( ). ( )= = −C y f x x a v x suy ra đồ thị hàm số 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a Ta có: 4 4 ( ). ( ) ( )( ) : . ( ) ( ). ( ) ( ) − = = ≥ = − =  − − = − = − ≤ x a v x f x y x a C y x a v x x a v x f x y x a Nếu Nếu Do đó đồ thị 4 4( ) : . ( ),= − ∈
C y x a v x a có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên phải đường thẳng x = a + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên trái đường thẳng x = a lấy đối xứng qua Ox. Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 3 TỔNG QUÁT Từ 4 dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản trên ta có thể suy ra nhiều dạng đồ thị có chứa dấu giá trị tuyệt đối khác chẳng hạn: Dạng 5 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 5 5( ) : ( )=C y f x Để vẽ 5 5( ) : ( )=C y f x ta làm 2 bước như sau: + Bước 1: vẽ 51 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ 5 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 1 Dạng 6 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 6 6( ) : ( )=C y f x Để vẽ 6 6( ) : ( )=C y f x ta làm 2 bước như sau: + Bước 1: vẽ 61 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ 6 ( )=y g x dựa vào dạng 3 Dạng 7 Dựa vào đồ thị hàm số ( ) : ( )=C y f x suy ra đồ thị hàm số 7 7( ) : ( )=C y f x Để vẽ 7 7( ) : ( )=C y f x ta làm 3 bước như sau: + Bước 1: vẽ 71 ( ) ( )= =y f x g x dựa vào dạng 2 + Bước 2: vẽ 72 ( ) ( ) ( )= = =y f x g x h x dựa vào dạng 1 + Bước 3: vẽ 7 7( ) : ( )=C y h x dựa vào dạng 3 Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 4 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Cho hàm số 3 22 3 1y x x= − + có đồ thị (C). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x = −1. 3) Tìm tham số m để phương trình 3 22 3 2x x m− + = có bốn nghiệm phân biệt. Giải 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
TXĐ: D = R
2 ' 6 6y x x= − ; ' 0 0y x= ⇔ = hoặc 1x =
HSĐB trên kh oảng ( −∞ ;0 ) ; ( 1 ; +∞ ). HSNB tre ân khoảng ( 0;1 ) Hàm so á đạt cực đại t ại 0; 1x y= =CĐ ; Hàm so á đạt cực tie åu tại 1; 0x y= =CT
lim x y →±∞ = ±∞
BBT x −∞ 0 1 +∞ y’ + 0 – 0 + 1 +∞ y CĐ CT −∞ 0
'' 12 6y x= − ; '' 0y x= ⇔ = 1 /2 x −∞ 1/2 +∞ y ’ – 0 + ĐTHS Lồi ĐU Lõm I(1/2;1/2) 2) Viết PTTT của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng x = −1 x = −1 => y = f(−1) = −4 => giao điểm M( −1;−4) pttt có dạng d: 000 )).((' yxxxfy +−= . 0'( ) '( 1) 12f x f= − = => pttt d: 12( 1) 4 12 8y x x= + − = + . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y P Q O ĐĐB: P( − 1; − 4) Q(2;5) 3 22 3 1y x x= − +N X: Đồ thị nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng Hì nh 1 Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 5 3) Tìm tham số m để phương trình 3 22 3 2x x m− + = có bốn nghiệm phân biệt. Ta có: 3 32 22 3 2 2 3 1 1x x m x x m− + = ⇔ − + = − Đây là PT HĐGĐ của đồ thị 1( )C : 3 2 1 2 3 1y x x= − + và đường thẳng d: y = m−1 T a có 1( )C : 3 2 1 3 2 2 3 1 0 2 3 1 0 x x x y x x x  − + ≥ =  − − + < neuá nếu => 1( )C có 2 phần đồ thị: Phần I : Đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (cả điểm nằm trên Oy) Phần II : Lấy đối xứng đồ thị Phần I qua Oy vì hàm số 1y là hàm số chẵn Vẽ 1( )C ( Hình 2) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y Q O 3 2 1 2 3 1y x x= − + Hình 2 Dựa vào 1( )C ta có: 0 1 < m < 2 Ví dụ 2. Cho hàm số 4 21 4 3 2 y x x= − + có đồ thị là (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 6 b) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg 2 x x m− + = có 4 nghiệm phân biệt. c) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg 2 − + =x x m có 8 nghiệm phân biệt. Giải a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
TXĐ: D = R.Hàm số chẵn
3 ' 2 8y x x= − ; y ’= 0 x = 0 hoặc x =± 2
Giới hạn : lim x y →±∞ = +∞ BBT : x −∞ –2 0 2 +∞ y ’ – 0 + 0 – 0 + +∞ 3 +∞ y CT CĐ CT –5 –5
HSĐB trên khoảng (–2;0) và (2;+∞ ). HSNB trên khoảng (−∞ ;–2) và (0;2)
2 '' 6 8y x= − ; '' 0 2 3 / 3y x= ⇔ = ± BXD y ’’ x −∞ – 2 3 / 3 2 3 / 3 +∞ y ’’ + 0 – 0 + ĐT (C) Lõm ĐU Lồi ĐU Lõm (–2 3 / 3;–13/9) (2 3 / 3;–13/9)
Đồ thị: o NX: đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng o ĐĐB: A(–3; 15/2), B(3;15/2) Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y O CĐ CT CT ←→ 4 21 4 3 2 y x x= − + ←→ ←→ BA b) Định m để phương trình : 4 2 1 4 3 lg 2 x x m− + = có 4 nghiệm phân biệt. YCBT 5 lg 3m− 5 3 5 3lg10 lg lg10 10 10m m− −< < ⇔ < < c) Định m để phương trình : 4 21 4 3 lg 2 − + =x x m có 8 nghiệm phân biệt. Đây là PT HĐGĐ của đồ thị 1( )C : 4 21 1 4 3 2 = − +y x x và đường thẳng d: y = m−1 T a có : 1 1 0( ) : 0 ≥ = =  − ≤ y y C y y y y Nếu Nếu Do đó đồ thị 1 1( ) : ( )=C y f x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 4 2 1 1 4 3 2 = − +y x x Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 8 YCBT 0 lg 3 3lg1 lg lg10 1 1000< < ⇔ < <m m Ví dụ 3. Vẽ đồ thị hàm số 2 1 1( ) : 1= − xC y x Ta vẽ đồ thị hàm số 2 ( ) : 1 = − xC y x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 2 ( ): 1 = − xC y x Dựa vào (C) ta có: 2 1 1( ) : 1= − xC y x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên phải đường thẳng x = 1 + Phần 2: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm bên trái đường thẳng x = 1 lấy đối xứng qua Ox. -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 2 1 1( ) : 1= − xC y x Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 9 Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số 1 1 1( ) : 1 − = + xC y x Ta vẽ đồ thị hàm số 1( ) : 1 − = + xC y x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 1( ): 1 − = + xC y x Dựa vào (C) ta có: 1 1 1( ) : 1 − = + xC y x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y 1 1 1( ) : 1 − = + xC y x Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 10 Ví dụ 5. Vẽ đồ thị hàm số 2 5 5( ) : 1= − xC y x Dựa vào đồ thị hàm số 2 ( ) : 1 = − xC y x ở ví dụ 3 ta có: 2 5 5( ) : 1= − xC y x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị ( ) : ( )=C y f x nằm phía bên phải Oy + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Oy vì hàm số chẵn -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 2 5 5( ) : 1= − xC y x Ví dụ 6. Vẽ đồ thị hàm số 2 6 6( ) : 1= − xC y x Dựa vào đồ thị hàm số 2 5 5( ) : 1= − xC y x ở ví dụ 5 ta có: Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 11 2 6 6( ) : 1= − xC y x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị 5( )C nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 5( )C nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 2 6 6( ) : 1= − xC y x Ví dụ 7. Vẽ đồ thị hàm số 2 7 7( ) : 1= − xC y x Dựa vào đồ thị hàm số 2 6 6( ) : 1= − xC y x ở ví dụ 6 ta có: 2 7 7( ) : 1= − xC y x có 2 phần đồ thị : + Phần 1: là phần đồ thị 6( )C nằm phía trên Ox + Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua Ox . Trần Phú Vương Một số phương pháp vẽ đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Trần Phú Vương THPT Tân Hiệp Trang 12 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y 2 7 7( ) : 1= − xC y x Trần Phú Vương