Chuyên đề Phương pháp lượng giác hóa

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA I/ Các dấu hiệu Ta có các dấu hiệu: Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt: , với hoặc , với . Trong trường hợp riêng: Nếu , ta có thể đặt: , với hoặc, với . Nếu , ta có thể đặt : , với hoặc, với . Nếu có điều kiện của biến là , ta có thể đặt: , với hoặc , với . Nếu biến , ta có thể đặt: , với hoặc , với . Trong trường hợp riêng: Nếu , ta có thể đặt: , với hoặc , với . Nếu , ta có thể đặt : , với hoặc ,với . Nếu hai biến thỏa mãn điều kiện , với , ta đặt : Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của và ta có thể hạn chế góc , ví dụ nếu có thì . II/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức với hoặc với với hoặc với với hoặc với hoặc , với III/ Các ví dụ 1. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình 1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình: Lời giải Hệ tương đương với. Nếu vô lí; vô lí. Đặt ; ; . Ta có ; ; Khi đó: Thay vào (4): Ta có các trường hợp sau: Nếu Nếu Nếu Nếu 1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình Tìm nghiệm của hệ để max Lời giải Đặt ; ; ; . Khi đó: Mà vì Khi đó: Kết hợp với (1) nghiệm là: Kết hợp với (2) nghiệm là: 1.3 Bài toán 3: Giải phương trình: Lời giải Ta có :( phần CM xin để cho các bạn) Do đó Vậy phương trình đã cho tương đường với 1.4 Bài toán 4: Giải phương trình Lời giải Ta có Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ: 1.5 Các bài toán tự giải: 1.5.1 Giải phương trình 1.5.2 Giải hệ phương trình 1.5.3 Giải hệ phương trình 1.5.4 Giải hệ phương trình 1.5.5 Giải hệ phương trình 2. Bất đẳng thức 2.1 Bài toán 1: Cho bốn số thoã mãn điều kiện Chứng minh rằng Lời giải Đặt và . Ta có Vậy (điều phải chứng minh) 2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng Lời giải Điều kiện có nghĩa Đặt với Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 2.3 Các bài toán tự giải 2.3.1 Bài toán 1: Cho . Chứng minh rằng 2.3.2 Bài toán 2: Cho các số thoả mãn Chứng minh rằng 2.3.3 Bài toán 3: Cho liên hệ bởi Chứng minh rằng 3. Chứng minh đẳng thức 3.1 Bài toán 1: Cho thoả mãn điều kiện sau (1) Chứng minh rằng Lời giải Đặt , , với Khi đó (1) có dạng Do nên hay Vì nên . Vậy Ta có Tương tự Suy ra 3.2 Bài toán 2: Cho thoả mãn Chứng minh rằng Lời giải Đặt , , với Do nên Do mà nên Vậy . Ta có Tương tự ta có Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng Suy ra điều phải chứng minh 3.3 Các bài toán tự giải 3.3.1 Bài toán 1:Cho . Chứng minh rằng: 3.3.2 Bài toán 2: Cho và thoả điều kiện Chứng minh rằng 3.3.3 Bài toán 3: Cho và Chứng minh rằng