Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC BIỂU THỨC TỌA ðỘ 1. Biểu thức tọa ñộ Cho 1 2( ; )a a a=
và 1 2( ; )b b b=
. Khi ñó: • ( )1 1 2 2;a b a b a b± = ± ±

• ( )1 2k. ,a ka ka=
• 2 2 1 2a a a= +
• 1 1 2 2 a b a b a b = = ⇔  =

• 1 1 2 2. . .a b a b a b= +

• 1 1 2 2 a . 0 . . 0b a b a b a b⊥ ⇔ = ⇔ + =



• 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . .. cos( , ) ( , 0) . . a b a ba b a b a b a b a a b b + = = ≠ + +








• a
cùng phương với 0b ≠

1 2 1 2 1 2 . ( , 0)a aa k b b b b b ⇔ = ⇔ = ≠

2. Tọa ñộ của ñiểm Với 2 ñiểm ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y . Khi ñó: • ( ; )B A B AAB x x y y= − − 
• ( ) ( )2 2 B A B AAB AB x x y y= = − + − 
• M chia ñoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: ; 1 1 A B A Bx kx y kyM k k − −    − −  3. Tọa ñộ trung ñiểm của ñoạn thẳng Nếu M là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thì: ; 2 2 A B A Bx x y yM + +     4. Tọa ñộ trọng tâm của tam giác Nếu G là trọng tâm của ∆ABC thì: ; 3 3 A B C A B Cx x x y y yG + + + +     II. ðƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của ñường thẳng a) Vectơ pháp tuyến (VTPT) của ñường thẳng Vectơ 0n ≠

ñược gọi là vectơ pháp tuyến của ñường thẳng ∆ nếu giá của n
vuông góc với ñường thẳng ∆. GHI NHỚ: 1) Một ñường thẳng có vô số VTPT và các VTPT ñó cùng phương với nhau. 2) Nếu n
là VTPT của ñường thẳng ∆ thì . ( 0)k n k ≠
cũng là VTPT của ∆. 3) Một ñường thẳng hoàn toàn ñược xác ñịnh khi ta biết một ñiểm thuộc ñường thẳng và một VTPT của ñường thẳng. ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 2 b) Vectơ chỉ phương (VTCP) của ñường thẳng Vectơ 0u ≠

ñược gọi là vectơ chỉ phương của ñường thẳng ∆ nếu giá của u
song song hoặc trùng với ñường thẳng ∆. GHI NHỚ: 1) Một ñường thẳng có vô số VTCP và các VTPT ñó cùng phương với nhau. 2) Nếu u
là VTCP của ñường thẳng ∆ thì . ( 0)k u k ≠
cũng là VTCP của ∆. 3) Một ñường thẳng hoàn toàn ñược xác ñịnh khi ta biết một ñiểm thuộc ñường thẳng và một VTCP của ñường thẳng. c) Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến với vectơ chỉ phương của ñường thẳng • Nếu ( , )n a b=
là VTPT của ñường thẳng ∆ thì ( , )u b a= −
hoặc ( , )u b a= −
là VTCP của ∆. • Nếu ( , )u a b=
là VTCP của ñường thẳng ∆ thì ( , )n b a= −
hoặc ( , )n b a= −
là VTPT của ∆. 2. Phương trình ñường thẳng a) Phương trình tổng quát: ðường thẳng ∆ có phương trình tổng quát (PTTQ) dạng: + + = 0ax by c 2 2( 0)a b+ ≠ GHI NHỚ: 1) Vectơ pháp tuyến (VTPT) của ∆: ( ; )n a b=
2) ðiểm 0 0 0 0( ; ) 0M x y ax by c∈ ∆ ⇔ + + = 3) Nếu 0b ≠ thì PTTQ của ∆ ñưa ñược về dạng: y kx m= + ( với ak b = − , c m b = − ) ñược gọi là phương trình của ∆ theo hệ số góc. 4) ðường thẳng có phương trình: 1x y a b + = ( 0, 0)a b≠ ≠ ñi qua 2 ñiểm ( ;0)A a và (0; )B b ñược gọi là phương trình ñường thẳng theo ñoạn chắn. b) Phương trình tham số ðường thẳng ∆ có phương trình tham số (PTTS) dạng: = +  = + 0 0 x x at y y bt (với 2 2 0a b+ ≠ , t là tham số) GHI NHỚ: 1) Vectơ chỉ phương (VTCP) của ∆: ( ; )u a b=
2) ðiểm 0 0 ( ; ) MM M M x x at M x y y y bt = + ∈ ∆ ⇔  = + có nghiệm theo t. 3) Nếu 0a ≠ , 0b ≠ thì bằng cách khử t từ 2 phương trình trên, ta ñược phương trình: 0 0x x y y a b − − = ( 0a ≠ , 0b ≠ ) ñược gọi là phương trình chính tắc của ñường thẳng ∆. ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 3 3. Cách lập phương trình ñường thẳng • ðường thẳng ∆ 0 0 ( ; ) ( ; ) M x y n a b   =
ñi qua ñieåm coù VTPT , có PTTQ là: 0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = • ðường thẳng ∆ 0 0 ( ; ) ( ; ) M x y u a b   =
ñi qua ñieåm coù VTCP , có PTTS là: 0 0 x x at y y bt = +  = + ( t là tham số) • ðường thẳng ∆ 0 0( ; )M x y k    ñi qua ñieåm coù heä soá goùc , có phương trình: 0 0( )y y k x x− = − • ðường thẳng ∆ ñi qua ñiểm ( ; )A AA x y và ( ; )B BB x y có phương trình là: ( ). ( ). A B A A B A x x x x t y y y y t = + −  = + − (vì khi ñó AB 
là VTCP của ∆) hoặc: ( 0, 0)A A B A B A B A B A x x y y x x y y x x y y − − = − ≠ − ≠ − − 4. Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng Cho 1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = a) Hai ñường thẳng ∆1, ∆2 cắt nhau khi và chỉ khi 1 1 1 2 2 1 2 2 0 . . 0 a b a b a b a b ≠ ⇔ − ≠ b) Hai ñường thẳng ∆1, ∆2 song song khi và chỉ khi 1 1 2 2 0 a b a b = và 1 1 2 2 0 b c b c ≠ hoặc 1 1 2 2 0 a b a b = và 1 1 2 2 0 c a c a ≠ c) Hai ñường thẳng ∆1, ∆2 trùng nhau khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 a b b c c a a b b c c a = = = ðẶC BIỆT: Nếu 2 2 2, ,a b c ñều khác 0, ta có: • ∆1, ∆2 cắt nhau 1 1 2 2 a b a b ⇔ ≠ ; • 1 1 1 1 2 2 2 2 // a b c a b c ∆ ∆ ⇔ = ≠ ; • 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c a b c ∆ ≡ ∆ ⇔ = = ; 5. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng Cho ( ; )M MM x y và : 0 ax by c∆ + + = . Khi ñó: 2 2( , )d M Max by cM a b + + ∆ = + ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 4 6. Góc giữa hai ñường thẳng Cho 1 1 1 1: 0a x b y c∆ + + = có VTPT ( )1 1 1;= n a b 
2 2 2 2: 0a x b y c∆ + + = có VTPT ( )2 2 2;= n a b 
Khi ñó: 1 2 1 21 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . . cos( , ) , . a a b b a b a b + ∆ ∆ = = + + 

1 2cos(n n ) CHÚ Ý: 1) Nếu ∆1 có VTCP 1u 
, ∆2 có VTCP 2u 
thì 1 2cos( , ) ,u u∆ ∆ = 

1 2cos( ) 2) ðường thẳng d tạo với ñường thẳng ∆: = +y ax b một góc α thì: tan 1 k a ka α − = + ( với k là hệ số góc của ñường thẳng d ) III. ðƯỜNG TRÒN 1. Phương trình ñường tròn a) Dạng 1: Dạng chính tắc (C) : − + − =2 2 2( ) ( )x a y b R ðường tròn (C) có: + Tâm: ( ; )I a b + Bán kính: 0R > b) Dạng 2: (C): + + + + =2 2 2 2 0x y Ax By C (ñiều kiện: 2 2 0A B C+ − > ) ðường tròn (C) có: + Tâm: ( ; )I A B− − + Bán kính: 2 2R A B C= + − 2. Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm a) Nếu ñường tròn (C) có dạng: 2 2 2( ) ( )x a y b R− + − = thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm 0 0( ; )M x y là: 2 0 0( )( ) ( )( )x a x a y b y a R− − + − − = b) Nếu ñường tròn (C) có dạng: 2 2 2 2 0x y Ax By C+ + + + = thì tiếp tuyến của (C) tại ñiểm 0 0( ; )M x y là: 0 0 0 0( ) ( ) 0x x y y A x x B y y C+ + + + + + = 3. ðiều kiện ñể ñưởng thẳng tiếp xúc với ñường tròn: ðường thẳng ∆: 0Ax By C+ + = tiếp xúc với ñường tròn có tâm ( ; )I a b và bán kính R>0 là: 2 2 . . d( ; ) a A b B CI R R A B + + ∆ = ⇔ = + ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 5 IV. CÁC ðƯỜNG CÔNIC Elip Hypebol Parabol Phương trình chính tắc + = 2 2 2 2 1 x y a b ( 0a b> > ) 222 cba += − = 2 2 2 2 1 x y a b ( 0, 0a b> > ) 222 bac += = 2 2y px ( 0p > ) ðỉnh ),(),,(),,(),,( bBbBaAaA 0000 2121 −− Trục Lớn : 2a Nhỏ: 2b Thực: 2a Ảo: 2b Tiêu ñiểm F1(-c, 0); F2(c, 0) F( 2 p , 0) Tâm sai 1ce a = < 1ce a = > e = 1 Bán kính qua tiêu ñiểm 1MF a ex= + 2MF a ex= − 1MF a ex= + 2MF a ex= − + 2 p xMF += Phương trình ñường chuẩn ; a x e = − a x e = 2 p x −= Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm 0 0( ; )M x y 0 0 2 2 . . 1x x y y a b + = 0 0 2 2 . . 1x x y y a b − = 0 0. ( )y y p x x= + ðiều kiện ñể ñt ∆: Ax +By +C =0 tiếp xúc với cônic 2 2 2 2 2 . .a A b B C+ = 2 2 2 2 2. .a A b B C− = B2.p = 2AC ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 6 BÀI TẬP I. PHƯƠNG TRÌNH ðƯỜNG THẲNG Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của ñường thẳng ñi qua ñiểm M và có vtpt n
biết: a. ( ) ( )− =
M 1; 1 ; n 2;1 b. ( ) ( )= −
M 0;4 ; n 1;3 c. ( ) ( )M 2; 3 , n 2;1− − = −
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của ñường thẳng ñi qua ñiểm M và có vtcp u
biết: a. ( ) ( )M 1; 2 ; u 1;0− =
b. ( ) ( )M 5;3 ; u 3;1= −
c. ( ) ( )M 3; 7 , u 3;2− − =
Bài 3: Lập phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm A và B trong các trường hợp sau: a. ( ) ( )A 1;1 , B 2;1− b. ( ) ( )A 4;2 , B 1; 2− − c. ( ) ( )A 5;0 , B 1;1− Bài 4: Lập phương trình ñường trung trực của ñoạn thẳng AB biết: a. ( ) ( )A 1;1 , B 3;1− b. ( ) ( )A 3;4 , B 1; 6− c. ( ) ( )−A 4;1 , B 1;4 d. ( )  −    1 A ;1 ; B 2; 1 2 e.     −        2 1 1 3 A ; ; B ; 3 2 3 2 f.    −        12 3 5 A ;1 ; B ; 3 2 2 Bài 5: Lập phương trình ñường thẳng (d) biết: a. ñi qua ñiểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2 b. ñi qua ñiểm M(0;4) và có hệ số góc = 2k 3 c. ñi qua ñiểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 450. d. ñi qua ñiểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 600. Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát: a. 2x – 3y = 0; b. x + 2y – 1 = 0 c. 5x – 2y + 3 = 0 d. 2x – 3 = 0 e. - 3y + 1 = 0 f. - 3x – 4y + 5 = 0 Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số: a. =  = + x 2 y 3 t b. = −  = + x 2 t y 4 t c. = +  = − x 2 3t y 1 d. = −  = + x 2t 1 y 5 6t e. = −  = − x 3 4t y 5t 1 f. = −  = − x 7 3t y 8 4t Bài 8: Tìm hệ số góc của các ñường thẳng sau: a. 2x – 3y + 4 = 0 b. x + 3 = 0 c. 2y – 4 = 0 d. 4x + 3y – 1 = 0 e. x 2 t y 5 3t = −  = + f. x 4 2t y 5t 1 = +  = − Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của ñường thẳng (d) ñi qua 2 ñiểm A. B biết: a. ( ) ( )A 1; 3 , B 2;2− b. ( ) ( )A 5; 1 , B 2; 4− − − c. ( )1A ;2 , B 1; 1 2   −    ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 7 Bài 10: Trong các ñiểm A1(2;1), ( )2A 1;2− , ( )3A 1;3 , ( )4A 1; 1− , ( )5 1A ;22 , ( )6 7 1A ;3 3 , ( )7A 3;1 ñiểm nào nằm trên ñường thẳng ( ) x 2 td : y 1 2t = −  = + Bài 11: Cho 3 ñiểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2) a. Chứng minh rằng A, B, C là 3 ñỉnh của một tam giác b. Lập phương trình các ñường cao của tam giác ABC c. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC d. Lập phương trình các ñường trung tuyến của tam giác ABC e. Lập phương trình các ñường trung bình của tam giác ABC Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3) a. Lập phương trình ñường trung trực cạnh AB b. Lập phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M(3;7) và vuông góc với ñường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC Bài 13: Lập phương trình các cạnh và các ñường trung trực của tam giác ABC biết trung ñiểm 3 cạnh BC, CA, AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5) II. ðƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ðƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Bài 1: Lập PTTQ ñường thẳng ( )∆ ñi qua A và song song ñường thẳng (d) biết a. ( ) ( )A 1;3 , d : x y 1 0− + = b. A(-1;0). (d): 2x + y – 1 = 0 c. A(3;2). (d): Trục Ox d. ( ) ( ) x 1 tA 1;1 , d : y 2 2t = − −  = − + e. ( ) ( ) x 3 2tA 3;2 , d : y 4 = +  = f. ( ) x 1 2tA(0;1), d : y 7 3t = − +  = + Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của ñường thẳng ( )∆ ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng (d) biết: a. ( ) ( )A 3; 3 , d :2x 5y 1 0− − + = b. ( ) ( )A 1; 3 , d : x 2y 1 0− − − + − = c. ( ) ( )A 4;2 , d Oy≡ d. ( ) ( ) x 1 tA 1; 6 , d : y 2 2t = + −  = + e. ( ) x 4 2tA 4; 4 , y 1 5t = + −  = − g. ( ) x 2t 1A 2;3 , y 5 t = − −  = − Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 ñường cao (d1) và (d2) có phương trình là ( ) ( )1 2d : x y 2 0; d :9x 3y 4 0+ − = − + = Bài 4: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 ñường cao (d1) và (d2) có phương trình là ( ) ( )1 2d : x y 1 0; d :3x y 7 0+ − = − − = ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 8 Bài 5: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các ñường cao qua ñỉnh A và B lần lượt là (d1): x + 2y – 13 = 0 và (d2): 7x + 5y – 49 = 0. Lập phương trình cạnh AC, BC và ñường cao thứ 3 Bài 6: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AC là x + 4y – 5 = 0, các ñường cao qua ñỉnh A và C lần lượt là (d1): 5x + y – 6 = 0 và (d2): x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình cạnh AB, BC và ñường cao thứ 3 Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5), ñường cao và ñường trung tuyến kẻ từ một ñỉnh có phương trình lần lượt là: ( ) ( )1 2d :5x 4y 1 0; d :8x y 7 0+ − = + − = Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , ñường cao và ñường trung tuyến kẻ từ một ñỉnh có phương trình lần lượt là: ( ) ( )1 2d :2x 7y 23 0; d :7x 4y 5 0− + = + − = Bài 9: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 ñường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là: ( ) ( )1 2d :2x y 1 0; d :x 1 0− − = − = Bài 10: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 ñường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là: ( ) ( )1 2d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 0− − = − − = Bài 11: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: ( ) ( )1 2d :x y 2 0; d : x 2y 5 0+ − = + − = và trực tâm H(2;3). Lập phương trình cạnh thứ 3 Bài 12: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: ( ) ( )1 2d :3x y 24 0; d : 3x 4y 96 0− + = + − = và trực tâm 32H 0; 3       . Lập phương trình cạnh thứ 3 Bài 13: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), phương trình ñường cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần lượt là: ( ) ( )1 2d : 3x 2y 3 0; d :7x y 2 0− + = + − = Bài 14: Xác ñịnh toạ ñộ các ñỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung ñiểm của BC là M(2;3). phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0 Bài 15: Xác ñịnh toạ ñộ các ñỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm 4 2 G ; 3 3       và phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0 Bài 16: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung ñiểm của AB là M(-3;4). hai ñường cao kẻ từ A và B lần lượt là: ( ) ( )1 2d : 2x 5y 29 0; d : 10x 3y 5 0− + = − + = Bài 17: Cho tam giác ABC, ñỉnh A(2;2) a) Lập phương trình các cạnh của tam giác, biết rằng 9x- 3y- 4= 0, x+ y- 2 = 0 lần lượt là phương trình các ñường cao kẻ từ B, C. b) Lập phương trình ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với ñường thẳng AC. ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 9 Bài 18: Lập phương trình ñường thẳng qua A(2;1) và tạo với ñường thẳng 2x+3y+4=0 một góc bằng 450. Bài 19: Lập phương trình các cạnh hình vuông và ñường chéo thứ hai, biết rằng hình vuông ñó có một ñỉnh là (-4;5) và một ñường chéo có phương trình 7x –y + 8= 0. Bài 20: Cho hai ñiểm P(2;5) và Q(5;1). Lập phương trình ñường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q tới ñường thẳng ñó bằng 3. Bài 21: Lập phương trình ñường thẳng qua P(2;-1)sao cho ñường thẳng ñó cùng với hai ñường thẳng (d1): 2x - y + 5 = 0 và (d2): 3x +6y –1 = 0 tạo ra một tam giác cân có ñỉnh là giao của hai ñường d1 và d2. Bài 22: Cho P(3;0) và hai ñường thẳng (d1): 2x - y - 2 = 0 và (d2): x +y +3 = 0. Gọi d là ñường thẳng qua P và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Viết phương trình của d biết PA = PB. Bài 7: Cho tam giác có M(-1;1) là trung ñiểm của một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0; 2x + 6y +3 = 0. Hãy xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh của tam giác. Bài 23: Trên mặt phẳng tọa ñộ, cho ñiểm A(1;1). Hãy tìm diểm B trên ñường thẳng y = 3, và ñiểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC ñều. Bài 24: Tam giác ABC cân cạnh ñáy BC có phương trình x + 3y+ 1 =0. Cạnh bên AB có phương trình : x- y + 5 = 0. ðường thẳng chứa cạnh AC ñi qua M(-4;1). Tìm tọa ñộ ñỉnh C. Bài 25: Trong mp tọa ñộ Oxy hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho B(-4;5)và hai ñường cao hạ từ hai ñỉnh còn lạicủa tam giác có phương trình: 5x + 3y –4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Bài 26: Trong mp Oxy, cho ba ñỉnh A(10;5), B(15;-5), D (-20;0) của một hình thang cân ABCD. Tìm ñiểm C biết AB song song CD. Bài 12:Trong mp Oxy cho A(1;1) và ñường thẳng (d) có phương trình: 4x+ 3y = 12 a) Gọi B, C lần lượt là giao ñiểm của (d) với các trục Ox và Oy. Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm của tam giác ABC. b) ðiểm M chạy trên (d), trên nửa ñường thẳng ñi qua hai ñiểm M,N sao cho AM.AN = 4. ñiểm N chạy trên ñường cong nào? Bài 27: Trong mp với hệ trục tọa ñộ trực chuẩn Oxy, cho parabol (P): y2= 4x và hai ñường thẳng d: m2x +my +1 = 0, L: x – my + m2 = 0 Với m là tham số thực khác 0 a) Chứng minh d và L vuông góc , M là giao ñiểm của d và L di ñộng trên ñường thẳng cố ñịnh khi m thay ñổi. b) Chứng minh d và L luôn tiếp xúc với (P). gọi A và B lần lượt là các tiếp ñiểm của d và L với ( P) . Chứng minh ñường thẳng AB luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi m thay ñổi. Bài 28: Lập phương trình ñường thẳng qua gốc tọa ñộ và cắt ñuờng tròn ( x – 1)2 +( y + 3)2 = 25 thành môt dây cung có ñộ dài bằng 8. Bài 29: Hãy Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng ñi qua I (-2; 3) và cách ñều hai ñiểm A(5; -1) và B(3;7) ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 10 III. HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ðIỂM LÊN ðƯỜNG THẲNG Bài 1: Tìm toạ ñộ hình chiếu vuông góc H của M lên ñường thẳng (d) và xác ñịnh toạ ñộ ñiểm M1 ñối xứng với M qua (d) a.M( 6;4);(d) : 4x 5y 3 0− − + = b. M(1;4);(d) : 3x 4y 4 0+ − = c. x 1 2t M(3;5);(d) y 3 4t = −  = + Bài 2: Tìm toạ ñộ trực tâm H của tam giác ABC và xác ñịnh toạ ñộ ñiểm K ñối xứng với H qua BC a. A(0;3); B(3;0); C(-1;-1) b. A(-2;1); B(2;-3); C(5;0). Bài 3: Lập phương trình ñường thẳng (d1) ñối xứng với ñt(d) qua ñiểm I a. I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − = b. I(1;1);(d) : 3x 2y 1 0− + = c. x 2 t I( 1;3);(d) : y 1 2t = − −  = − − d. x 3 t I(0;2);(d) : y 5 4t = − +  = − Bài 4: Lập phương trình ñường thẳng (d1) ñối xứng với ñường thẳng (d) qua ñt( ∆ ) biết: a. (d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + = b. (d) : 2x 3y 5 0;( ) : 5x y 4 0+ + = ∆ − + = c. x 1 y 3 (d) : 5x y 6 0;( ) : 2 3 + − + − = ∆ = − d. x 1 2t (d) : 2x y 3 0;( ) : y 3 t = − + − + + = ∆  = + Bài 5: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phương trình 2 ñường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là B c (d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0− = + − = Bài 6: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) và phương trình phân giác trong xuất phát từ C là (d) : x y 3 0− + = Bài 7: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC: 084 =−+ yx và phương trình 2 ñường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là: B C (d ) : y 0;(d ) : 5x 3y 6 0= + − = Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình ñường cao và ñường phân giác trong xuất phát từ A lần lượt là 1 2 (d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 0= + − = IV. VỊ TRÍ TƯƠNG ðỐI CỦA 2 ðƯỜNG THẲNG Bài 1: Xét vị trí tương ñối của các cặp ñường thẳng sau: a. 1 2 x 1 t x 2 u (d ) : ;(d ) : y 2 t y 5 u = − = −    = + = +  b. 1 2 x 1 t x 3 2u (d ) : ;(d ) : y 3 t y 2 u = + = −    = − = +  c. 1 2 x 2 3t (d ) : ;(d ) : 2x 3y 1 0 y 1 t = − + − + = = + d. 1 2 (d ) : 3x 2y 1 0;(d ) : x 3y 4 0+ − = + − = Bài 2: Cho 022 ≠+ ba và 2 ñt (d1) và (d2) có phương trình: − + =1(d ) : (a b)x y 1; − + =2 22(d ) : (a b )x ay b a. Tìm quan hệ giữa a và b ñể (d1) và (d2) cắt nhau. khi ñó hãy xác ñịnh toạ ñộ giao ñiểm I của chúng b. Tìm ñiều kiện giữa a và ñể I thuộc trục hoành ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 11 Bài 3: Cho 2 ñường thẳng 2 2 1 2 (d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k 0− + = − + − − = a. CMR: ñường thẳng (d1) luôn ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh với mọi k b. CMR: (d1) luôn cắt (d2). Xác ñịnh toạ ñộ của chúng V. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Bài 1: Tìm góc giữa 2 ñường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau: a. 1 2 (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 0+ − = + + = b. 1 2 (d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 0− − = + − = c. 1 2 x 1 3t (d ) : ;(d ) : 3x 2y 2 0 y 2 t = − + − = = + d. 1 2 (d ) : x my 1 0;(d ) : x y 2m 1 0+ − = − + − = Bài 2: Tính khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường thẳng (d) trong các trường hợp sau: a. M(1; 1);(d) : x y 5 0− + − = b. M( 3;2);(d) : 3x 4y 1 0− + − = c. ( )M 3;2 ; (d): Trục Ox d. M( 3;2);(d) : 2x 3− = e. x 2 2t M(5; 2);(d) : y 5 t = − + −  = − f. x 2 M(3;2);(d) : y 1 t =  = + Bài 3: Cho 2 ñường thẳng 0364:)(;0132:)( 21 =−+−=+− yxdyxd a. CMR (d1) // (d2) b. Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2). Bài 4: Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua M và tạo với ( ∆ ) một góc ϕ biết: a. 0M( 1;2);( ) : x 2y 3 0; 45− ∆ − + = ϕ = b. 0x 1 3tM(2;0);( ) : ; 45 y 1 t = −∆ ϕ = = − + c. 0M( 2; 1);( ) : 3x 2y 1 0; 30− − ∆ + − = ϕ = d. 0M(4;1);( ) Oy; 30∆ ≡ ϕ = Bài 5: Lập phương trình ñường phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) biết: a. 1 2 (d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 0+ − = + + = b. 1 2 x 1 5t (d ) : 4x 3y 4 0;(d ) : y 3 12t = − + − =  = − + c. 1 2 (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : 5x 3y 2 0+ − = − + = d. 1 2 (d ) : 3x 4y 5 0;(d ) Ox− + = ≡ Bài 6: Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua M và cách N một ñoạn bằng r biết: a. M(2;5);N(4;1); r 2= b. M(3; 3);N(1;1); r 2− = Bài 7: Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua M(-2;3) và cách ñều 2 ñiểm A(5;-1) và B(3;7) Bài 8: Cho 2 ñường thẳng 1 2 (d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 0− + = + − = Tìm M nằm trên Ox cách ñều (d1) và (d2). Bài 9: Cho 3 ñường thẳng (d1); (d2); (d3) có phương trình: ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 12 1 2 3( ) : 3 0; ( ) : 4 0; ( ) : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm trên (d3) sao cho khoảng cách từ M ñến (d1) bằng 2 lần khoảng cách từ M ñến (d2). Bài 10: Cho 3 ñường thẳng 0234:)(;015:)(; 1 21 :)( 321 =+−=−+    += −= yxdyxd ty tx d . Tìm M nằm trên (d1) cách ñều (d2) và (d3) Bài 11: Cho 2 ñiểm A(2;1); B(-3;2) và ñường thẳng (d):4x+3y+5=0. Tìm ñiểm M cách ñều A; B ñồng thời khoảng cách từ M ñến (d) bằng 2. Bài 12: Cho 2 ñường thẳng − + = + − = 1 2 (d ) : 2x y 1 0; (d ) : x 2y 7 0 . Lập phương trình ñường thẳng (d) qua gốc toạ ñộ sao cho (d) tạo với (d1) và (d2) tam giác cân có ñỉnh là giao ñiểm của (d1) và (d2). Bài 13: Cho 2 ñiểm A(0;5); B(4;1) và ñường thẳng (d) : x 4y 7 0− + = . Tìm trên (d) ñiểm C sao cho tam giác ABC cân tại C Bài 14: Cho ñiểm A(3;1). Xác ñịnh 2 ñiểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất. Lập phương trình 2 ñường chéo của hình vuông ñó. Bài 15: Cho 3 ñiểm A(1;-1); B(-2;1) và C(3;5). a. CMR: A. B. C là 3 ñỉnh của tam giác. Tính diện tích của tam giác ñó. b. Tìm ñiểm M nằm trên Ox sao cho  060AMB = Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4; 2 ñỉnh A(1;-2). B(2;-3) và trọng tâm của tam giác ABC nằm trên ñường thẳng (d) : x y 2 0− − = . Tìm toạ ñộ ñiểm C. Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A ; biết phương trình cạnh BC là: 033 =−− yx ; ñiểm A. B thuộc trục hoành. Xác ñịnh toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC biết bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. VI. CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bài 1: Tìm trên (d) ñiểm M(xM;yM) sao cho 22 MM yx + nhỏ nhất biết: a. (d) : x y 4 0+ − = b. 0532:)( =−− yxd c.    −−= −= ty tx d 32 1)( Bài 2: Lập phương trình ñường thẳng (d) ñi qua ñiểm M(3;1) và cắt 2 trục toạ ñộ tại 2 ñiểm phân biệt A(a;0). B(0;b) với a>0; b>0 sao cho: a. Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. b. OA + OB nhỏ nhất. c. 2 2 1 1 OA OB + nhỏ nhất. Bài 3: Tìm trên trục hoành ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến A và B nhỏ nhất biết: a. A(1;2). B(3;4) b. A(-1;2). B(2;1) c. A(-2;-1). B(-1;-1). Bài 4: Tìm trên trục tung ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến A và B nhỉ nhất biết: ph−¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 13 a. A(-2;1). B(1;1) b. A(1;3). B(3;-3) c. A(-3;-1). B(2;3) Bài 5: Tìm trên (d) ñiểm M sao cho tổng khoảng cách từ M ñến A và B nhỏ nhất biết: a. (d) : x y 0;A(3;2),B(5;1)− = c. (d) : x y 2 0;A(2;1),B(1;5)− + = b. (d) : x y 0;A( 1;3),B( 2;1)+ = − − Bài 6: Cho ñường thẳng (d) : x 2y 2 0− − = và 2 ñiểm A(1;2). B(2;5). Tìm trên (d) ñiểm M sao cho: a. MA + MB nhỏ nhất b. MA MB+ 

nhỏ nhất c. MA MB− nhỏ nhất d. MA MB− lớn nhất VII. ðƯỜNG TRÒN Bài 1:Trong mp Oxy cho A(5;0), B(4;3 2 ) a) Lập phương trình ñường tròn nhận AB làm ñường kính.Tìm tọa ñộ giao ñiểm của ñường tròn với trục hoành. b) Lập phương trình chính tắc của (E) qua A và B. Bài 2: Viết phương trình ñường tròn qua A(0;6), B(4;0), C(3;0) Bài 3: Viết phương trình ñường tròn qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy. Bài 4: Cho hai ñường thẳng d1: 3x+4y+5= 0 và d2:4x-3y-5= 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm nằm trên d: x-6y-10 = 0 và tiếp xúc với d1,d2. Bài 5: Trong hệ truc Oxy, cho (Cm): x2+y2- 2mx-2(1-m)y+2m2-2m-3 = 0. Tìm quỹ tích của tâm ñường tròn Bài 6: Cho (Cm): x2+y2- 2mx+2(1+m)y-12 = 0 a) Tìm quỹ tích tâm ñường tròn b) Với giá trị nào của m thì bán kính nhỏ nhất