Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG. Chuyên đề 0 : Véc tơ và tọa độ véc tơ. A. Tóm tắt lí thuyết. I. Tọa độ véc tơ. 1. Định nghĩa 2. Các tính chất. Trong mặt phẳng cho , ta có : a. ; b. ; c. ; d. e. ; f . cùng phương ; g. . 3. Ví dụ. Ví dụ . Cho Tìm để cùng phương. Lời giải. Ta có cùng phương k= .Vậy k= III.. Toạ độ của điểm. 1.Định nghĩa. 2. Mối liên hệ giữa toạ độ điểm và toạ độ véc tơ. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm . Khi đó: a. . b. Toạ độ trung điểm của đoạn làà : . c. Toạ độ trọng tâm của làà : . d. Ba điểm thẳng hàng cùng phương. Chú ý:Trong tam giác ABC : a) Trọng tâm G là giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác b) Trực tâm H là giao điểm của 3 đường cao của tam giác c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao của 3 đường phân giác của các góc. +) Trung tuyến AM: ĐI qua đỉnh A và trung điểm M của cạnh đối diện BC +) đường cao AH : ĐI qua đỉnh A và vuông góc với cạnh đối diện BC +) đường trung trực của cạnh BC: Vuông góc với BC tại trung điểm của BC( đường trung trực của BC có thể không đI qua A) +) đường phân giác của góc ABC: chia góc ABC thành 2 góc bằng nhau ( xem lại các kiến thức cũ đã học về tính chất của các đường này-SGK toán 7) 3. Ví dụ. Ví dụ 1. Cho ba điểm a. Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.(hay ABC là 3 đỉnh của một tam giác, hay hai véc tơ không cùng phương) b. Tính chu vi . Ví dụ 2. Cho ba điểm . a. Chứng minh thẳng hàng ( hay cùng phương) b. Tìm toạ độ sao cho là trung điểm của . c. Tìm toạ độ điểm trên sao cho thẳng hàng. Ví dụ 3. Cho ba điểm . Chứng minh ba điểm tạo thành tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm . Tìm toạ độ điểm sao cho là hình bình hành Chuyên đề 1: phương trình đường thẳng. A. kiến thức cơ bản. 1. Véc tơ chỉ phương Định nghĩa: Véc tơ được gọi là véc tơ chỉ phương( vtcp) của đường thẳng nếu và giá của song song hoặc trùng với đường thẳng. Chúý: Nếu véc tơ là vtcp của thì mọi véc tơ k. (với k#0) cũng là vtcp của Nếu có vtcp là với u1#0 thì có hệ số góc là K= Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì có vtcp là 2.Phương trình tham số của đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có véc tơ chỉ phương . Khi đó phương trình tham số của là : (1) . ( ) 3) Véc tơ pháp tuyến: Đn: Véc tơ được gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đường thẳng nếu và vuông góc với véc tơ chỉ phương của * Chú ý: - Nếu là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì mọi véc tơ ( với k#0) cũng là các véc tơ pháp tuyến của đường thẳng . - Nếu là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng thì véc tơ chỉ phương là hoặc . - Nếu là véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì véc tơ pháp tuyến là hoặc . 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đi qua và có véc tơ pháp tuyến . Khi đó phương trình tổng quát của được xác định bởi phương trình : (2). ( ) Hay: a.x+b.y+c=0 ( 2’ ) () * Chú ý: Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số. a1. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (1) thì vtcp . Từ đó đường thẳng có vtpt là hoặc . Và phương trình tổng quát của được xác định bởi : . a2. Nếu đường thẳng có phương trình dạng (2) thì . Từ đó đường thẳng có vtcp là hoặc . Cho thay vào phương trình (2) Khi đó ptts của là : (). a3. Có thể chuyển từ PTTS sang PTTQ bằng cách khử tham số Chuyển từ PTTQ sang PTTS bằng cách đặt x(hoặc y) theo tham số 5.Bổ sung một số dạng bài tập.----------Các bài toán trong tam giác. *Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A,biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại BM,CN.Hãy viết pt các cạnh,tìm toạ độ B,C. Phương pháp: ---(Bài toán thứ nhất trong tam giác.) b1:Tìm toạ độ trọng tâm G(xG;yG) của ABC b2:Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB); C(xC;yC) theo ptrình BM,CN. b3:Tìm toạ độ của B,C:áp dụng cthức: ; b4:Viết pt các cạnh. ví dụ1:cho tam giác ABC có A(-2;3) và hai đường trung tuyến BM: 2x-y+1=0 Và CN: x+y-4=0. Viết phương trình AB;BC;CA Lời giải. Theo bài, toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phương trình: .vậy G(1;3) Vì B thuộc đường thẳng BM nên giả sử B(xB;yB) thì :2xB-yB+1=0yB=2xB+1. Vậy B(xB;2xB+1). Tương tự, C(xC;yC ) với xC+yC-4=0.yC=4- xC.Vậy C(xC;4- xC). Mặt khác , vì G(1;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: .Vậy B(2;5) và C(3;1) +>Phương trình cạnh AB,BC,CA: Tự viết. *Dạng 2:Tam giác ABC ,biết đỉnh A và 2 đường cao BH,CK.Lập phương trình AB.BC,CA.Tìm toạ độ B,C. Phương pháp: -------( Bài toán thứ hai trong tam giác) b1: Lập pt cạnh AB:-ĐI qua A -AB vuông góc với CK Lập pt cạnh AC: -ĐI qua A -AC vuông góc với BH b2:Tìm toạ độ điểm B,C b3:Lập pt cạnh BC ví dụ2:Tam giác ABC có A(1;2) và hai đường cao BH:x+y+1=0 ; CK: 2x+y-2=0 Lập phương trình 3 cạnh AB.BC.CA Lời giải. Theo bài, đường thẳng AB đi qua A(1;2) và vuông góc với CK:2x+y-2=0 Vậy AB có pttq là: 1.(x-1)-2.(y-2)=0 hay AB : x-2y+3=0 Tương tự, AC đi qua A(1;2) và vuông góc với BH : x+y+1=0 Vậy AC có pttq là: 1.(x-1)-1.(y-2)=0 hay AC : x-y+1=0 Do đó, toạ độ điểm B là nghiệm hệ ptrình: vậy B(-5/3; 2/3) Tương tự, Toạ độ của C là nghiệm của hệ pt: vậy C(1/3; 4/3) Do đó, phương trình cạnh BC là:. *Dạng 3:Tam giác ABC,biết đỉnh A,đường cao BH,trung tuyến CK.Lập pt các cạnh Phương pháp: -------( Bài toán thứ ba trong tam giác) b1:lập được ngay pt cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH.Từ đó tìm được C b2:Tham số hoá toạ độ B(xB;yB); K(xK;yK) theo phương trình BH,CK Tìm toạ độ B nhờ: b3:Lập pt cạnh AB.BC ví dụ3:Viết phương trình các cạnh biết và đường cao ; trung tuyến Lời giải. Theo bài, AC đi qua A(4;-1) và vuông góc với nên AC:3x+2y-10=0 Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ: vậy C(6;-4) Giả sử B(xB;yB) ta phải có: 2xB-3yB=0 vậy yB= vậy B(xB;) Tương tự toạ độ của K(xK;-).Theo bài , vì K là trung điểm của AB nên: hay vậy B(-5/4;-5/6) +)Lập pt của AB.BC:.. *Dạng 4:Tam giác ABC, biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G. Lập pt cạnh còn lại Phương pháp: ----( Bài toán thứ tư trong tam giác) ( Trọng tâm là giao 3 đường trung tuyến của tam giác) b1:tìm được ngay toạ độ điểm A Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : b2:Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB); C(xC;yC) theo phương trình AB,AC b3:Tìm toạ độ của B.C nhờ: b4:lập pt của BC. ví dụ 4:Tam giác ABC,biết AB:x+y-1=0;AC: x-y+3=0 và trọng tâm G(1;2).Lập BC lời giải. theo bài toạ độ A là nghiệm của hệ pt: vậy A(-2;1) Gọi M(x;y) là trung điểm của BC ,vì G là trọng tâm nên: vậy M(5/2; 5/2) Vì B thuộc AB nên toạ độ B(xB;yB) với xB+yB+1=0 hay B(xB;-1-xB) Tương tự điểm C có dạng C(xC;xC+3) Mà M(5/2;5/2) là trung điểm của BC nên ta có: hay vậy B(1;-2) ; C(4;7) +)phương trình BC.. *Dạng 5:Tam giác ABc, biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H. Lập pttq của BC Phương pháp:-----( Bài toán thứ năm trong tam giác ) ((Trực tâm là giao của 3 đường cao của tam giác) b1:tìm toạ độ điểm A b2: Tham số hoá toạ độ của B(xB;yB) theo AB b3:Tìm toạ độ của B: Vì H là trực tâm nên là VTPT của AC.Vậy .=0 b4:Phương trình cạnh BC :--Qua B ----Có là véc tơ pháp tuyến. ví dụ 5:Tam giác ABC biết AB:5x-2y+6=0 và AC: 4x+7y-21=0 và H(0;0) là trực tâm của tam giác.Lập pt cạnh BC. LG: Toạ độ của A là nghiệm của hệ pt: vậy A(0;3) Vì B(a;b) thuộc AB nên 5a-2b+6=0 suy ra b= .hay B(a;) Mặt khác, H là trực tâm nên HB AC.suy ra là VTPT của AC. suy ra : .=0 7.a-4.=0 a=-4.Vậy B(-4;-7) Tương tự, là VTPT của BC. Vậy PTTQ của BC là: 0.(x+4)-3.(y+7)=0 hay : -3(y+7)=0 hay y+7=0 *Dạng 6:Tam giác ABC, biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đường tròng ngoại tiếp tam giác. Lập pt cạnh BC. Phương pháp:-------( Bài toán thứ sáu trong tam giác) ( Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao 3 đường trung trực của 3 cạnh ). b1:Tìm ngay được toạ độ của A Gọi M là trung điểm cạnh AB.Vì I là trực tâm nên IM vuông góc với AB.M Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB b2:Gọi N là trung điểm của AC.Vì I là trực tâm nên IN AC.N Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC b3:Lập pttq của BC khi biết B,C. ví dụ 6: tam giác ABc, biết AB:x+y-1=0 ; AC: 2x-y-2=0 và I(1;1) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Lập pttq của BC. LG: theo bài có A(1;0) Gọi M(xM;yM) là trung điểm của AB.Ta có xM+yM-1=0 vây M(xM;1-xM) Vì IM vuông góc với AB nên .=0 Hay: (xM-1).(-1)+(-xM).1=0 hay xM=1/2.Vậy M(1/2;1/2) Tương tự,trung điểm N(xN;2xN-2) của AC có toạ độ thoả mãn .=0 .N(7/5;9/5) Mặt khác,vì M là trung điểm của AB nên suy ra B(0;1) Tương tự , vì N là trung điểm cuủa AC nên suy ra C(9/5;18/5) Vây pttq của BC là : *Dạng 7:Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng PP: b1: Lập pt của d qua M và d vuông góc với b2:Gọi I là giao điểm của d với .Tìm được i b3:Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua .Khi đó I là trung điểm của MM’ vậy tìm được M’ nhờ: ví dụ 7:Cho : x+3y+2=0 và M(-1;3).Tìm điểm M’ đối xứng với M qua lời giải. gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với .Ta có vậy pttq của d: 3.(x+1)-1.(y-3)=0 hay 3x-y+6=0 gọi I là giao điểm của d với .Ta có toạ độ của I là nghiệm của hệ ptrình: hay I(-2;0) Giả sử M’(x’;y’) là điểm đối xứng với M qua .Ta có: hay .Vậy M’(-3;-3) b. Luyện tập. Bài 1.Viết phương trình tổng quát hoặc PT tham số của đưởng thẳng: a) Đi qua hai điểm M(1;-1) và N(3;2). b) Đi qua A(1;-2) và song song với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0. c) Đi qua điểm P(2;1) và vuông góc với đường thẳng x – y + 5 = 0. d) Đi qua và có hệ số góc . Bài 2. Cho tam giác ABC ,A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết PT tổng quát : a)các cạnh AB, AC, BC b)Đường cao AH và Trung tuyến AM c)Đường thẳng qua A và song song với BC d)Đường trung trực của AC e)Đường trung bình của tam giác song song với cạnh BC Bài 3.Cho hình chữ nhật ABCD biết: A(1,3) ,B(2;-1) và cạnh DC có ptrình: 2x+y-2=0 lập pt các cạnh AB,BC,AD Tìm toạ độ của C,D Bài 4:Xem lại các ví dụ .Làm các bài tương tự. Chuyên đề 2: vị trí tương đối của hai đường thẳng. A. Tóm tắt lí thuyết. I. Bài toán: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng có phương trình xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. II. Phương pháp. 1.Cách 1: Xét hệ phương trình (1) +) Nếu hệ (1) có một nghiệm (x0; y0) thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(x0; y0) . +) Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song nhau. +) Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi thì hai đường thẳng trùng nhau 2.Cách 2: Nếu thì hai đường thẳng cắt nhau. Nếu thì hai đường thẳng song song nhau. Nếu thì hai đường thẳng trùng nhau. Chú ý :Nếu bài không quan tâm đến toạ độ giao điểm thì nên dùng cách 2 b. Các dạng bài tập cơ bản. Dạng 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) . b) c) Dạng 2. Biện luận theo tham số vị trí tương đối của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng Tìm để hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng Biện luận theo vị trí tương đối của hai đường thẳng. Chuyên đề 3: góc giữa hai đường thẳng. A. tóm tắt lí thuyết. 1.Định nghĩa:- hai đường thẳng cắt nhau tạo thành 4 góc.Nếu và không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng và , kí hiệu là: .Nếu thì góc giữa và là 900. Nếu hoặc thì ta quy ước Nhận xét: 00 ≤ ≤ 900 2.Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ. Trong mặt phẳng toạ độ , giả sử đường thẳng có phương trình Khi đó góc giữa hai đường thẳng được xác định theo công thức: * Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đường thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phương( hoặc véc tơ pháp tuyến ) của chúng. b. Các dạng bài tập. Dạng 1. Xác định góc giữa hai đường thẳng. Ví dụ1: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong các trường hợp sau: ví dụ 2: Cho hai đường thẳng Tìm để . Lg:góc giữa hai đường thẳng được xác định theo Theo bài có: Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm cho trước và tạo với đường thẳng cho trước một góc nào đó. Ví dụ 1: Cho cân đỉnh . Biết . Viết phương trình cạnh biết nó đi qua . Lời giải: Giả sử AC qua M(1;1) và có véc tơ pháp tuyến là: =(a;b), đk:(*). Khi đó pt AC: a(x-1)+b(y-1)=0 hay : ax+by-a-b=0 Theo bài,tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B=C hay: chọn a=1 suy ra b=1 hoặc b=7/17 Với a=1,b=1 ta có AC: x+y-2=0 ( loại vì AC//AB) Với a=1,b=7/17 ta có: AC: x+7/17y-24/17=0 thoả mãn. Kết luận : AC: x+7/17y-24/17=0 ví dụ 2*: Cho đều, biết: và Viết phương trình các cạnh còn lại. Lời giải: Giả sử AB qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: =(a;b), đk:(*). Khi đó pt AB: a(x-2)+b(y-6)=0 hay : ax+by-2a-6b=0 Giả sử AC qua A(2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: =(c;d), đk:(**). Phương trình AC: cx+dy-2c-6b=0 (AB,BC)=600 (1) (AC,BC)=600 (2) (AB.AC)=600 (3) Từ (1),(2),(3) có hệ ptrình: Từ hệ trên,ta tìm a,b thoả mãn (*).Tìm c,d thoả mãn (**). Từ pt (1’) chọn b=0 suy ra a=1.Thế vào pt (3’) ta được 3c2-d2=0.Từ pt này chọn d= suy ra c2=1.Thế d vào pt (2’) suy ra c=1 Vậy có a=1,b=0,c=1,d= Kết luận: AB: x-2=0 AC: x+y-2-6.=0 Ví dụ 3: Cho hình vuông biết và . Viết phương trình các cạnh và các đường chéo còn lại. Lời giải. +)PT đường chéo AC. Vì ABCD là hình vuông nên AC BD.Vậy Vậy pttq của AC: x-7y-11=0 +)Tìm toạ độ đỉnh C. Gọi I là giao của hai đường chéo,ta có toạ độ C là nghiệm của hệ: .Vậy I(4;-1). Vì ABCD là hình vuông nên I là trung điểm của AC.suy ra C(11;0). +)Tìm toạ độ điểm B Giả sử B(xB;yB),vì B thuộc BD nên: 7xB+yB-27=0 yB=27-7xB.Hay B(xB;27-7xB) Mà ABCD là hình vuông nên . .Vậy B(5,-8).Và D(3;6) +)phương trình cạnh AB. 3x+4y+17=0 +)phương trình cạnh BC: 4x-3y-44=0 +)phương trình cạnh CD: 3x+4y-33=0 +)phương trình cạnh AD: 4x-3y+6=0 ví dụ 4: Cho hình vuông tâm và . Viết phương trình các cạnh còn lại , các đường chéo . Lời giải. +)phương trình cạnh DC: Vì ABCD là hình vuông nên AB song song với DC.suy ra Vậy DC: x-2y+c=0. ( điều kiện c-1) Hơn nữa ta có: . Vậy DC: x-2y+9=0 +)phương trình BC,AD. Vì ABCD là hình vuông nên BC AB.Vậy pt BC: 2x+y+a=0 Mặt khác, Vậy BC: 2x+y-2=0 AD: 2x+y-12=0 +)Phương trình AC. Toạ độ của A là nghiệm hệ:.Vậy A(5;2).Vậy AC: x+3y-11=0 +)phương trình BD: Toạ độ B là nghiệm hệ: .Vậy B(1;0)Vậy BD: 3x-y-3=0 Ví dụ 5: Cho đường thẳng và . Viết phương trình đường thẳng đi qua và tạo với một góc . Lời giải. Giả sử đI qua M và có vtpt là: =(a;b), đk:(*). Ta có : ax+by-a-2b=0 Theo bài, tạo với d một góc 450 nên: .Chọn a=1 suy ra b=-5 hoặc b=1/5 Vậy có 2 pt thoả mãn: x-5y+9=0 và 5x+y-7=0 Chuyên đề 4: Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. A: Tóm tắt lý thuyết SGK. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : ax+by+c=0 và điểm MO(x0;y0).Khoảng cách từ M0 đến ,kí hiệu là d(M0, ) được tính theo công thức: B: Các chú ý liên quan: (Bổ sung) Chú ý 1: Nếu đường thẳng : ax+by+c=0 chia mặt phẳng Oxy thành hai nửa mặt phẳng có bờ là , ta luôn có: -Một nửa mặt phẳng chứa các điểm M1(x1;y1) thoả mãn ax1+by1+c>0 -Một nửa mặt phẳng còn lại chứa các điểm M2(x2;y2) thoả mãn ax2+by2+c<0 Chú ý 2:Cho hai đường thẳng cắt nhau 1,2 có phương trình : 1: và 2: điểm M(x;y) tuỳ ý thuộc phân giác của góc tạo bởi và Vậy phương trình hai đường phân giác tạo bởi và là: Chú ý: xem lại tính chất của đường phân giác của một góc-sgk toán lớp 7. C---Các ví dụ ví dụ 1:a) Tính khoảng cách từ điểm A(3;5) đến đường thẳng : 4x+3y+1=0 b)Tính bán kính đường tròn (C) biết nó có tâm I(1;2) và tiếp xúc với : 2x-3y+1=0 Lời giải. a)áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ta có: b)Vì (c) tiếp xúc với : 2x-3y+1=0 nên ví dụ 2:Cho đường thẳng : x-y+2=0 và 4 điểm 0(0;0) ; A(2;0);C(-1,3) ;D(-3;2) a)Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng b)CMR:A và C và nằm về hai phía đối với đường thẳng c)CMR: hai điểm C và D nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d)Tìm điểm O’ đối xứng của O qua lời giải. a)thay toạ độ của điểm O và A vào vế trái của ta có: (O)=0-0+2=2>0 (A)=2-0+2=4>0 Vậy (0).(A)=2.4=8>0 .vậy A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng b)Tương tư: (C)=-1-3+2=-2<0 vậy (A).(C)=4.(-2)=-8 <0. Vậy hai điểm A và C nằm về hai phía đối với đường thẳng c)Tương tự: (D)=-3-2+2=-3<0 vậy (C).(D)=-2.(-3)=6 > 0 vậy hai điểm C và D nằn về cùng một phía đối với đường thẳng d)Tìm điểm O’ đối xứng của O qua : Tự làm ví dụ 3:Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng 1: 2x+4y+7=0 và 2 : x-2y-3=0 Lời giải. Phương trình hai đường phân giác của các góc giữa 1 và 2 Kết luận: Có 2 đường phân giác thoả mãn bài toán: 8y+13=0 và 4x+1=0 ví dụ 4:Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng 1: 5x+3y-3=0 và 2 : 5x+3y+7=0 Lời giải. Cách làm tương tự ví dụ 3 *ví dụ 5:Cho tam giác ABC có A(-6;-3); B(-4;3) ; C(9;2) viết phương trình đường thẳng d chứa đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Lời giải. +)Phương trình đường thẳng AB là: 3x-y+15=0 +)Phương trình đường thẳng AC là : x-3y-3=0 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi AB và AC là: Ta thấy rằng hai điểm B và C phải nằm về hai phía đối với đường phân giác trong của góc A. Ta có =-4+3+9=8>0 =9+2+9=20>0 vậy =8.20=160 > 0 suy ra B, C nằm về cùng 1 phía đối với () Ta có: (B)=-4+3-3=-4<0 =9+2-3=8>0 . vậy =-4.8=-32 < 0 Vậy hai điểm B và C nằm về hai phía đối 2 Kết luận: Phương trình đường phân giác trong của góc A là : x+y-3=0 D--Các dạng bài toán trong tam giác ---Tiếp *Dạng 8:Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đường phân giác trong của góc B và góc C.Lập phương trình các cạnh. Phương pháp: ( Bài toán thứ 7 trong tam giác) +)b1:Tìm điểm A1 là điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc B.suy ra A1 thuộc đường thẳng BC +)b2:Tìm điểm A2 là điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc C.suy ra A2 thuộc BC +)b3:Lập pt đường thẳng BC: khi biết B,C +)b4: Lập pt cạnh AC,AB:.......... ví dụ8:Tam giác ABC biết A(2;-1) và pt hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là: (dB ) : x-2y+1=0 (dC ) : 2 x-3y+6=0 Lập phương trình các cạnh của tam giác. Lời giải. Gọi A1là điểm đối xứng của A qua (dB ) : x-2y+1=0.do A A1 vuông góc với dB nên AA1 có ptrình: 2x+y-3=0.Khi đó giao điểm của dB và A A1 là I(1;1) là trung điểm của A A1 .Từ đó suy ra A1(0;3) Goi A2 làđiểm đối xứng của A qua (dC ) : 2 x-3y+5=0.Suy ra A A2 : 3x+2y-4=0 Khi đó toạ độ của A2(0;2) Khi đó A1và A2 thuộc BC. Vậy pt cạnh BC: (A1A2) là : x=0 Suy ra Toạ độ B là giao điểm của BC và dB .Vậy B(0;1/2).Tương tự C(0;5/3) +)Phương trình AB,AC :.................. *Dạng 9::Tam giác ABC biết A, đường cao BH, đường phân giác trong của góc C. Lập phương trình các cạnh cuả tam giác. Phương pháp: ( Bài toán thứ 8 trong tam giác) +) b1:Lập pt cạnh AC : vuông góc với BH và đi qua A.suy ra toạ độ điểm C +) b2: Tìm điểm đối xứng A’ của A qua đường phân giác trong của góc C Suy ra A’ thuộc BC. +) b3: Lập pt cạnh BC đi qua 2 điểm C,A’ +) b4: lập pt cạnh AB: Tìm B...... ví dụ 9:Cho tam giác ABC,biết A(-1;3), đường cao BH: x-y=0.Đường phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng : x+3y+2=0.Tìm phương trình các cạnh. Lời giải. ( Đề thi ĐH kiến trúc 1998) Theo bài,AC vuông góc với BH.Vậy pt cạnh AC: x+y-2=0 Từ đó toạ độ C là nghiệm hệ: vậy C(4;-2) Gọi A’là điểm đối xứng của A qua đường phân giác :x+3y+2=0.cóAA’:3x-y+6=0 Có trung điểm I của AA’ là giao của AA’ với x+3y+2=0.Vậy I(-2;0).Vậy A’(-3;-3) Khi này A’ thuộc BC.Vậy pt BC chính là pt CA’: x-7y-18=0 Suy ra toạ độ B là nghiệm của hệ B(-3;-3) (trùng với A’) Phương trình cạnh AB: 3x-y+6=0 *Dạng 10:Tam giác ABC, biết đỉnh A, đường trung tuyến hạ từ đỉnh B,đường phân giác trong của góc C.Tìm phương trình các cạnh. Phương pháp: ( Bài toán thứ 9 trong tam giác) +) b1:Tìm toạ độ A’ là điểm đối xứng của A qua đường phân giác trong của góc C. +) b2: Tham số hoá toạ độ của C(xC;yC) theo đường phân giác trong của góc C Tham số hoá toạ độ của B1(x1;y1) theo đường trung tuyến hạ từ B. +)b3:Tìm toạ độ của C nhờ B là trung điểm của AC. ví dụ 10:Tam giác ABC biết A(4;4),trung tuyến BB1: x-3y-2=0, đường phân giác trong của góc C có phương trình: : x-2y-1=0.Lập phương trình các cạnh. Lời giải. Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua : x-2y-1=0.Ta có A’(6;0) Gọi C(xC;yC) thì vì C thuộc nên : xC-2yC-1=0 suy ra C(2yC+1;yC) Tượng tự điểm B1(x1;y1) thuộc BB1: x-3y-2=0.Vậy B1(3y1+2;y1) Mà B1 là trung điểm của AC nên: Vậy B(-14/2; -7/2) và C( -21;-11). Vậy pt cạnh AB,BC,CA:.................... Bài 2 : Phương trình đường tròn. A. Tóm tắt lý thuyết. 1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước. Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm bán kính . Khi đó phương trình của đường tròn là: 2.Nhận xét : ( Điều kiện để Phương trình bậc hai là 1 PT đường tròn) Phương trình Là phương trình đường tròn khi và chỉ khi .Khi đó tâm , bán kính . Chú ý: Hệ số của x2 và hệ số của y2 của một pt đường tròn phải bằng nhau 3.Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Trong oxy cho đường tròn (C) có tâm , bán kính R a) Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng và đường tròn. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn. tiếp xúc (C) d(I, )=R b)Tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) thuộc (C). Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0; y0) là: (x0-a).(x-x0)+(y0-b).(y-y0) =0 c) Tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm A(xa; ya). PP1: - Gọi ttuyến qua A, có VTPT =(a;b), đk:(*). Dạng : a( x-xa)+b(y-ya)=0 - Đktx của và (C) là : d(I, )=R - Giải đktx, chọn a,b thỏa đk(*). * PP2: :- Gọi ttuyếnqua A, có hệ số góc k . Dạng : y= k(x-xa)+ya - Đktx của và (C ) là : d(I, )=R - Giải đktx, tìm k. Nếu có 2 giá trị k -> dừng. Nếu chỉ có 1 giá trị k thì kiểm tra dạng qua A không có hệ số góc: x=xA có thỏa mãn đktx -> nhận. d) Viết pttt của đường tròn khi biết phương của tiếp tuyến. * PP: Kiểu 1: // (d): ax+by+c=0 - Dạng : ax+by+m=0 - Đktx: d(I, )=R -> m. Kiểu 2: (d): ax+by+c=0 - Dạng : bx-ay+m=0 - Đktx: d(I, )=R -> m B.Các dạng bài tập. Dạng 1. Bài toán viết phương trình đường tròn. Vídụ 1.Viết phương trình đường tròn đường kính ,với . Đáp số : hay . ví dụ 2: viết phương trình đường tròn Có tâm I(-2;3) và đi qua M(2;-3) Vídụ3.viết phương trình đường tròn ngoại tiếp , với . Đáp số : . Ví dụ 4.Viết phương trình đường tròn có tâm và tiếp xúc với đường thẳng . Đáp số : . Ví dụ 5.Viết phương trình đường tròn qua và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Đáp số : hoặc . Dạng2: Bài toán tìm tham số để phương trình dạng là phương trình đường tròn. Phương pháp: PT trên là phương trình đường tròn . Ví dụ 1. Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của nó. a. . c. . b. . d. Đáp số : c ) . d) Ví dụ 2. Cho phương trình : . Tìm điều kiện của để pt trên là pt đường tròn. Tìm quỹ tích tâm đường tròn. Lời giải. Giả sử pt đường tròn có dạng:x2+y2-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a2+b2-c>0 ) a)Theo bài ta có: vậy a2+b2-c=-m2-4m+5 pt đã cho là pt đường tròn b)với điều kiện: -5<m<1, thì pt đã cho là pt đường tròn , có tâm I(-3m;m-1) vậy toạ độ của I vậy quỹ tích tâm đường tròn là đường thẳng: hay: x+3y+3=0 Ví dụ 3. Cho phương trình : . a)Tìm để là phương trình của một đường tròn. b)Tìm để là đường tròn tâm Viết phương trình đường tròn này. c)Tìm đểlàđường tròn có bán kính Viết phương trình đường tròn đó d)Tìm tập hợp tâm các đường tròn . Lời giải. Giả sử pt đường tròn có dạng:x2+y2-2ax-2by+c=0 (điều kiện: a2+b2-c>0 ) a) theo bài có:vậy a2+b2-c=2(m2-4m+4) pt đã cho là pt đường tròn b)Để là đường tròn tâm khi đó pt đường tròn là: x2+y2-2x+6y+2=0 c)đểlàđường tròn có bán kính vậy có 2 pt thoả mãn: x2+y2+12x-8y+2=0 hoặc x2+y2-8x+12y+2=0 d)với điều kiện: m#2 thì pt đã cho là pt đường tròn , có tâm I(-(m-1);m-3) vậy toạ độ của I vậy quỹ tích tâm đường tròn là đường thẳng: hay: x+y+2=0 Dạng 3:Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. ví dụ1 :cho đường tròn (c) có ptrình: x2+y2-4x+8y-5=0 a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của ( c) b) Viết pt tiếp tuyến của ( c) tại điểm A(-1;0) trên (c) c) viết pt tiếp tuyến với (c) biết ttuyến đó vuông góc với đường thẳng 3x-4y+5=0 lời giải. giả sử Pt đường tròn có dạng: x2+y2-2ax-2by+c=0 với điều kiện: a2+b2-c>0 ta có: -2a=-4; -2b=8; c=-5.Vậy a=2, b=-4, c=-5 và a2+b2-c=25 a) Tâm I(2;-4) và bán kính R=5 b) giả sử là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1;0).Thì có vtpt là =(-3;4) vậy pttq của là : -3.(x+1)+4.(y-0)=0 hay -3x+4y-3=0 c)Giả sử là tiếp tuyến cần tìm.Vì 3x-4y+5=0 nên : 4x+3y+c=0 mặt khác vì là tiếp tuyến của (c) nên d(I,)=R Vậy có 2 pt tiếp tuyến thoả mãn bài toán: : 4x+3y+29=0 và ’ : 4x+3y-21=0 ví dụ 2:Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (c ): x2+y2-4x+6y+3=0 biết rằng song song với đương thẳng d’ : 3x-y+2006=0 lời giải. Đường tròn (c ) có tâm I(2;-3) và bán kính R=. Phương trình của đường thẳng song song với d’ có dạng: 3x-y+c=0 tiếp xúc với (c ) khi và chỉ khi d(I,)=R Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến thoả