Chuyên đề : Phương trình bậc cao

Chuyên đề: Phương trình bậc cao Phần I: Phương trình bậc ba. I.Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Cho phương trình ax3 + bx2 +cx + d = 0 ( a ạ 0 ) (1) Giải phương trình khi biết một nghiệm x0 Phương pháp chung Đoán nghiệm x0 của phương trình (1) rồi phân tích (1) thành: ( x – x0)( ax2 + b1x + c1 ) = 0 Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau: Nếu a + b + c + d = 0 thì (1 ) có nghiệm x = 1. Nếu a - b + c - d = 0 thì (1 ) có nghiệm x = - 1. Nếu a,b,c,d ẻ Z và (1) có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự là ước của d và a. Nếu a.c3 = d.b3 ( a, d ≠ 0) thì ( 1 ) có nghiệm Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a.2x3 + x2 - 5x + 2 = 0 b.2x3 + x + 3 = 0 c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0 d. x3 + x2 - x - 2 = 0 Giải a. 2x3 + x2 - 5x + 2 = 0 (1 ) Nhận xét phương trình (1) có a + b + c + d = 0 Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1. Phương trình (1) Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = -2; x= ; b.2x3 + x + 3 = 0 (2) Nhận xét: Phương trình có: a - b + c - d = 0 do đó phương trình có nghiệm x = -1 Phương trình (2) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất. x=-1 c.3x3 - 8x2 - 2x + 4 = 0 (3) Giải Nhận xét: Phương trình có: a = 3; d = 2. a = 3 có các ước số là: ±1; ±3; d = 2 có các ước số là: ±1; ±2; Vậy phương trình nếu có nghiệm hữu tỷ thì chỉ có thể là một trong các giá trị sau: ±1; ±2; Nhận thấy: x = là nghiệm của phương trình. Phương trình (3) Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: x = ; x = 1± d. x3 + x2 - x - 2 = 0 Giải Nhận xét: a.c3 = .1= d.b3 do đó phương trình có nghiệm ; Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : Chú ý: 1.Khi đã thành thạo các phương pháp nhẩm nghiệm, không cần nêu nhận xét cho lời giải cho mỗi phương trình. 2.Nếu các phương pháp nhẩm nghiệm không có ta có thể vận dụng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp đã học. Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 - 3x2 + 7x - =0 (1) Giải Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt: ; ; II.Cách giải phương trình bậc ba trên trường số phức. Cho phương trình: x3 + ax2 +bx + c = 0 (1) Cách giải được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Làm mất số hạng ax2 đưa phương trình về dạng y3 + py + q =0. Đặt ta được và Đặt: và ta đưa phương trình (1) về dạng: y3 + py + q = 0 (2). Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải phương trình (2). Bước 2: Đặt y = u + v phương trình (2) trở thành: (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 (3) hay u3 + v3 +( u + v )( 3uv + p ) + q = 0 (4). Nếu tìm được u,v thoả mãn hệ phương trình:thì u,v thoả mãn phương trình(4) Do đó thoả mãn phương trình (3):nghĩa là y=u + v là nghiệm của phương trình (2). Bước3: Giải hệ gồm hai phương trình (5) và (6). Chia hai vế của phương trình (6) cho 3 rồi lập phương hai vế ta được hệ: Theo định lý Viét (5) và (7) chứng tỏ u3 , v3 là hai nghiệm của phương trình bậc hai: Vậy : Do đó: Suy ra: Công thức nghiệm trên đây được gọi là công thức Cacđanô. Chú ý: -Trên trường số phức mỗi căn bậc ba có ba giá trị. Tuy nhiên không thể chọn các cặp giá trị u, v tuỳ ý mà chỉ lấy những cặp giá trị thoả mãn đẳng thức (6). Gọi z là một giá trị phức của căn bậc ba của (1), Chẳng hạn ta có z3 = 1. Nếu đã chọ được cặp u, v thoả mãn đẳng thức (6) thì: như vậy, nếu đặt u1 = u, v1 = v thì dễ thấy các cặp (u2,v2); (u3,v3) sau đây; u2 =uz, v2 =vz2; u3 = vz2 , v3 =uz là những nghiệm của hệ gồm các phương trình (5) và (6). Khi giải phương trình bậc ba có thể áp dụng công thức Cacđanô cùng với chú ý trên. Song ta nên nhớ các bước giải nêu trên vì có khi ta quên công thức. Một số bài tập về phương trình bậc ba Bài 1: Giải các phương trình sau: a.4x3 + 5x2 - 2x - 7 = 0 (1) b.-2x3 + 11x2 - 2x - 7 = 0 (2) c. x3 + 5x2 + 2x - 8 = 0 (3) d.-x3 + 5x2 +22x - 26 = 0 (4) e.4x3 + 5x2 + 2x +3 = 0 (5) f.-2x3 + 5x2 - 7 = 0 (6) g. x3 - 5x2 - x - 7 = 0 (7) h.4x3 + 3x +7 = 0 (8) Bài 2: Giải các phương trình sau: a.8x3 -1 = 0 (1) b.9x3 + 8 = 0 (2) c. x3 + 3x2 + 3x +1 = 0 (3) d.x3 - 3x2 +3x - 1 = 0 (4) e. x3 + 3x2 + x+3 = 0 (5) f.x3 + 5x2 +10x +50 = 0 (6) Bài 3: Giải các phương trình sau: a.4x3 - 10x2 + 6x - 1= 0 (1) b.8x3 - 36x2 + 27 = 0 (2) c. x3 - 5x2 + 7x - 2 = 0 (3) d. x3 - 6x - 9 = 0 (4) c. x3 + 6x2 + 30x + 25 = 0 (5) h. x3 - 3x2 - 3x + 11 = 0 (6) Phần II: Phương pháp giải phương trình bậc bốn. I.Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Cho phương trình: ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = 0 ( a ạ 0 ) (1) Giải phương trình trên khi biết một nghiệm x0. Phương pháp chung Đoán nghiệm x0 của phương trình (1) Phân tích (1) thành: (x – x0)( ax3 + b1x2 +c1x + d1) = 0 Để giải (2) ta áp dụng các phương pháp đã biết để giải: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau: -Nếu a + b + c + d + e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1. -Nếu a - b + c - d + e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1. -Nếu a, b, c, d, e, nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự là các ước số của e và a. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0 Giải: a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0 Nhận xét: a + b + c + d + e = 0 do đó phương trình (1) có nghiệm x = 1. Biến đổi phương trình về dạng Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x = 1; x = 2; x = -2; x = 3; Chú ý: -Khi đã thành thạo cách nhẩm nghiệm không cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình. -Nếu các Phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng thì có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử. ý tưởng thường được thực hiện là chuyển đa thức bậc bốn về dạng: A2 – B2 = 0Û(A – B)(A +B) = 0. Khi đó được tích của hai tam thức bậc hai. Do đó việc giải phương trình bậc 4 được quy về giải phương trình bậc 2. Đây chính là ý tưởng chủ đạo để giải mọi phương trình bậc bốn. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a. x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0 b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0 Giải: a.x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0 (1) (1) Û ( x4 - 2x2 + 1 )- ( x2 - 4x + 4 )= 0 Û ( x2 – 1 )2 - ( x + 2 )2 = 0 Û ( x2 - x - 3 ) ( x2 + x + 1 )= 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0 (1) Û ( x4 + 2x3 + x2 )- ( x2 - 10x + 25 )= 0 Û ( x2 + x )2 - ( x - 5 )2 = 0 Û ( x2 + 2x - 5 ) ( x2 +5 )= 0 Vậy phương trình có hai nghiệm: . II.Phương pháp đặt ẩn phụ. Dạng 1: Giải phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a ạ 0) (1) Phương pháp chung Bước 1: Đặt t = x2 ( t ³ 0 ) Khi đó phương trình (1) Û at2 + bt + c = 0 (2) đây là phương trình bậc 2 ẩn t. Bước 2: Kết luận về nghiệm của phương trình (1) Nếu (2) có nghiệm t0 ³ 0 thì phương trình (1) có nghiệm x = ± Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - 3x2 - 4 = 0 (1) Giải Đặt t = x2 ( t ³ 0 ) Khi đó phương trình (1) Û t2 - 3t - 4 = 0 Û Với t = 4 Û x2 = 4 Û x = ± 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x = ± 2 Dạng 2: Giải phương trình hồi quy: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ạ 0) (1) với ; e ạ 0. Phương pháp chung Bước 1: Nhận xét x = 0. không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình đã cho x2 ạ 0. ta được: Bước 2: Đặt: Khi đó (2)(Đây là phương trình bậc 2 quen thuộc ) Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình (1) Lưu ý: Trong trường hợp đặc biệt: , tức là đối với phương trình có dạng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 ta có cách giải tương tự. Ví dụ 2: Giải phương trình hồi quy: 2x4 - 2x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 (1) Giải. Nhận xét x = 0. không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình đã cho x2 ạ 0. ta được: Đặt khi đó phương trình trên có dạng: +Với +Với Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 5; x3 = 2; . Chú ý: Nhiều phương trình ban đầu không phải là phương trình ở dạng hồi quy hay phản hồi quy, tuy nhiên với cách đặt ẩn phụ phù hợp ta có thể chuyển chúng về dạng hồi quy hoặc phản hồi quy, từ đó áp dụng phương pháp đã biết để giải. Ví dụ 3: Giải phương trình : ( x -2 )4 + ( x – 2 )( 5x2 -14x + 13 ) +1= 0 (1) Nhận xét: Đây không phải là phương trình hồi quy, tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ có một phương trình hồi quy. Đăt y = x – 2 khi đó: Nhận xét y = 0. không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả 2 vế của phương trình đã cho y2 ạ 0. ta được: Đặt điều kiện: ờtỳ ³ 2 khi đó phương trình trên có dạng: Với Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: . ; . Dạng 3: Giải phương trình: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = m (1) Với a + b = c + d Phương pháp chung Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng: Bước 2: Đặt: Khi đó: (2) Û t(t-ab+cd) = m ( 3) Đây là phương trình bậc hai quen thuộc. Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 1: Giải phương trình: ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3)( x + 4 ) =3 (1) Giải: Ta thấy: 1 + 4 = 2 +3 nên ta viết lại phương trình như sau: Đặt Khi đó (2) Với t = 1 Với t = -3 ( phương trình vô nghiệm ). Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt: : . Chú ý: Phương trình trên được mở rộng cho lớp phương trình ( a1x + a2 ) ( b1x + b2 ) ( c1x + c2 ) ( d1x + d2 ) = m (1) Với điều kiện: Khi đó ta đặt: t = ( a1x +a2 ) ( b1x +b2 ) Ví dụ 5: Giải phương trình: ( 2x - 1 )( x - 1 )( x - 3 )( 2x + 3 ) = -9 (1) Giải: Viết lại phương trình dưới dạng: ( 2x2 - 3x + 1 ) ( 2x2 - 3x - 9 ) = -9 (2) Đặt t = 2x2 - 3x + 1 ị 2x2 - 3x – 9 = t – 10 Khi đó (2) Với Với Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt:;;; Dạng 4: Giải phương trình: ( x+ a )4 + ( x+ b )4 = c (1) Phương pháp chung Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt: Khi đó phương trình đã cho có dạng: Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biêt cách giải. Bước 2: Kết luận nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 6: Giải phương trình: ( x+ 3 )4 + ( x+ 5 )4 = 2 (1) Giải: Đặt: Khi đó (1) Û ( t – 1 )4 + ( t +1 )4 =2 Û 2t4 + 12t2 + 2 =2 Û 2t4 + 12t2 = 0 Û t4 + 6t2 = 0 Û t2 (t2 + 6) = 0 Û t = 0. Với t = 0 Û x + 4 = 0 Û x =- 4 Vậy phương trình có một nghiêm x = - 4. Dạng 5: Giải phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (1) Phương pháp chung Thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: A( x2 + b1x +c1 )2 + B( x2 + b1x +c1 )2 + C = 0 (2). Bước 2: Đặt t = x2 + b1x +c1 Khi đó: (2)ÛA.t2 + Bt + C = 0 ( Đây là phương trình bậc 2 theo t ) Bước 3: Kết luận về nghiệm của phương trình (1). Ví dụ 7: Giải phương trình: x4 - 8x3 + 7x2 + 36x - 36 = 0 (1) Giải: Viết lại phương trình dưới dạng: ( x2 – 4x )2 - 9( x2 – 4x ) + 36 = 0 (2) Đặt t = x2 – 4x Khi đó (2) Û t2 – 9t + 36 = 0 Vậy phương trình đã ch có 4 nghiệm phân biệt: x = 1; x = -2; x= 3; x = 6; Chú ý: -Bài toán trên có thể được giải bằng phương pháp đoán nghiệm rồi phân tích thành nhân tử , nhưng phương pháp pháp đặt ẩn phụ luôn được ưu tiên, bởi trong nhiều trường hợp ta đoán được nghiệm x0 rồi, nhưng phương trình g(x) = 0 không dự đoán được nghiệm, ta phải giải một phương trình ở dạng bậc ba tổng quát. Như vậy sẽ khó khăn hơn. -Cách đặt ẩn phụ cho phương trình bậc bốn rất phong phú và đa dạng tuỳ thuộc vào đặc thù của mỗi bài toán. Trên đây chỉ là minh hoạ một kiểu đặt ẩn phụ. Ví dụ 8: Giải phương trình: 2(x2 - x + 1)2 + x3 + 1 = ( x+ 1 )2 (1) Giải: Nhận xét: x = -1 không phải là nghiệm của phương trình ta chia cả hai vế cho ( x+ 1 )2 ạ 0 ta được phương trình sau: Đặt Với ( Vô nghiệm ) Với Vậy phương trình có 2 nghiệm: ; . Ví dụ 9: Giải phương trình: 2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x +2 = 0 (1) Giải: Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ạ 0 ta được phương trình tương đương: Đặt: khi đó (2) Û Với Với Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: ; ; ; Ví dụ 10: Giải phương trình: ( x + 4 ) ( x + 5 )( x + 7 ) ( x + 8) = 4 (1) Giải: Viết lại phương trình dưới dạng: ( x2 +12x +32 ) ( x2 +12x +35 ) = 4 (2) Đặt t = x2 +12x +32 ị x2 +12x +35 = t +3 Khi đó (2) có dạng: t( t + 3 ) = 4 Û t2 + 3t - 4 = 0 Û Với t = 1Û x2 +12x +32 = 1 Û x2 +12x +31 = 0 Û Với t =-4Û x2 +12x +32 =-4 Û x2 +12x +36 = 0 Û (x + 6 )2 =0Û x = -6 Vậy phương trình có ba nghiệm: ; ; ; Phương trình đa thức bậc lớn hơn bốn. Nhà toán học Aben (1802-1829), người Na Uy đã chứng minh được: Định lý: ” Phương trình đa thức tổng quát bậc n ³ 5 không giải được bằng căn thức ”. Phải dùng lý thuyết Galoa để chứng minh định lý này. Đó là cả một lý thuyết sâu sắc, nó nằm ngoài khuôn khổ của chuyên đề này. Theo định lý Aben nói trên, không có công thức chung để giải phương trình đa thức bậc n ³ 5. Song đối với những phương trình có dạng đặc biệt, hoặc khi muốn tìm những nghiệm đặc biệt lại có những phương pháp riêng: như Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích... Ví dụ1: Giải phương trình: .x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 6x2 +3x + 1 = 0 ( 1) Giải: Nhận xét: Phương trình này có dạng đặc biệt, đó là vế trái là một đa thức bậc chẵn mà các hệ số cách đều hai đầu bằng nhau. Người ta gọi đó là phương trình thuận nghịch bậc 2k (chẵn). Phương pháp chung để giải như sau: Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên có thể chia hai vế cho xk. Cụ thể ở đây là k = 3, chia hai vế cho x3, ta được phương trình: Đặt: Do đó (2) Û y3 + 3y2 +3y + 1 = 0 Û ( y + 1 )3 = 0 Û y = -1 ị ị phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm trên trường số thực. Ví dụ 2: Giải phương trình: .3x5 + 10x4 + 7x3 + 7x2 + 10x + 3 = 0 ( 1) Giải: Nhận xét: Vế trái của phương trình này là một đa thức bậc lẻ mà các hệ số cách đều hai đầu cũng bằng nhau nó được gọi là phương trình thuận nghịch bậc lẻ. Phương trình này có một nghiệm x =-1.Vì thế nó có dạng:(x +1)Q(x)= 0. Ta nhận thấy phương trình Q(x) = 0 lại là một phương trình thuận nghịch bậc chẵn. Cụ thể phương trình đã cho có thể viết: ( x + 1 )( 3x4 + 7x3 + 7x + 3) = 0 Phương trình: 3x4 + 7x3 + 7x + 3 = 0 là một phương trình thuận nghịch bậc chẵn. Chia hai vế của phương trình này cho x2 ta được: Đặt: ta có: Với Phương trình này vô nghiệm trên trường số thực. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt: x=1; Bài tập: Bài 1: Giải các phương trình: a.2x4 – 13x3 + 24x2 – 13x + 2 = 0 b. x4 – 10x3 + 11x2 – 10x + 1 = 0 c.x5 - 11x4 - 11x + 6 = 0 d.x4 – 2x3 - 8x2 + 13x - 24 = 0 e.x4 + 5x3 + 7x2 - 4 = 0 f.x4 – 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 g.x4 – x3 - x2 + 2x - 2 = 0 h.3x5+10x4+7x3 +7x2 +10x +3 = 0 i.3x5 - 10x4 + 3x3 +2x2–10x +3 = 0 j.x5 - 2x4 - 4x3 + 4x2 – 5x + 6 = 0 l.x5 - 4x4 - 3x3 - 3x2 – 4x + 1 = 0 m.x6+3x5+6x4+7x3+6x23x+1 = 0 Bài 2: Giải các phương trình: a.x4 + 5x3 + 10x2 + 15x + 9 = 0 b. x4 +5x3 - 14x2 – 20x + 16 = 0 c. x4 + 10x3 + 26x2 + 10x + 1 = 0 d. x4 - 4x3 + 6x2 - 4x + 1 = 0 e. x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0 g. x4 + x3 - x2 - 2x + 1 = 0 h. 2x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0 i. 2x4 + x3 - 11x2 + x + 2 = 0 k. x4 - 7x3 + 14x2 -7x + 1 = 0 l. x4 + x3 - 10x2 + x + 1 = 0 m. 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + 6 = 0 n.x4 – 4x3 + 2x2 + 4x - 8 = 0 Bài 3: Giải các phương trình: a.( x + 2 ) ( x + 5 )( x - 6 ) ( x – 9 ) = 280 b.(x +1 )( x + 2)( x + 5 )( x + 7)= 9 c.( x + 3 ) ( x + 4 )( x + 5 ) ( x +6 ) = 8 d.(x2 + 7x +12)(x2 -15x +56) = 180 e.(x + 5 )4 – ( x +1 )4 = 80 f.(x + 3 )4 + ( x +5 )4 = 4 g.(2x2 + x )2+ 2x( 2x + 1 ) - 3 = 0 h.(x-90)(x-35)(x +18)(x+7)=-1080x2