Chuyên đề phương trình bậc hai định lý viet và ứng dụng

Ph­¬ng tr×nh bËc hai ®Þnh lý viet vµ øng dông ( 9 tiÕt) A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac * < 0 (/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm * = 0 (/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - (hoặc x1,2 = -) * > 0 (/ > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = (hoặc x1 = ; x2 = ) 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì S = x1 + x2 = - p = x1x2 = Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 Chó ý 1: * NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 vµ x2 = Chó ý 2: * NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 vµ x2 = Chó ý 3: * HÖ thøc viÐt trong tr­êng hîp ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph­¬ng tr×nh bËc hai. Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 ) p = x1x2 < 0 Hai nghiÖm cïng d­¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d­¬ng( x2 > x1 = 0) Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) 4.Vµi bµi to¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt a)TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) LËp ph­¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph­¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 c)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã nghÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.(C¸c ®iÒu kiÖn cho tr­íc th­êng gÆp vµ c¸ch biÕn ®æi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) = *) = *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tr­íc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ) d)T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: (hoÆc ) (*) - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc. §ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm ,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø 2 B . Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i. Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9 + NÕu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Ph­¬ng tr×nh ®· cho cã 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + + NÕu = 0 m = 3 Víi m =3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = 4 Víi m = -3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 + NÕu < 0 -3 < m < 3 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn: Víi m = 3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4 Víi m = - 3 th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2 Víi m 3 th× ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + Víi -3< m < 3 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 H­íng dÉn NÕu m – 3 = 0 m = 3 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng - 6x – 3 = 0 x = - * NÕu m – 3 0 m 3 .Ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - = - 2 - NÕu > 0 m >2 .Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = - NÕu < 0 m < 2 .Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = 3 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = - Víi m = 2 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > 2 vµ m 3 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = Víi m < 2 ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt 2x2 + 2007x – 2009 = 0 17x2 + 221x + 204 = 0 x2 + ()x - = 0 x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 Gi¶i 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 , x2 = 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , x2 = - = - 12 c) x2 + ()x - = 0 cã: ac = - < 0 . Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc Viet ta cã : x1 + x2 = -() = - + x1x2 = - = (- ) VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 = - , x2= (hoÆc x1 = , x2 = - ) d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 cã : ac = - 6 < 0 Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 .¸p dông hÖ thøc ViÐt ,ta cã VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2 Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 H­íng dÉn : x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 HoÆc x2 = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 x = - 1 * m – 3 0 m 3 (*) Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph­¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) lËp ph­¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ vµ Gi¶i ; Ph­¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = + C = = + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã : S = (theo c©u a) p = VËy vµ lµ nghiÖm cña h­¬ng tr×nh : X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0 Bµi 6 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1. Chøng minh ph­¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cña k ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu 3. Gäi x1 , x2 lµ nghÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) .T×m k ®Ó : x13 + x23 > 0 Gi¶i. 1. Ph­¬ng tr×nh (1) lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã: = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + ) = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña k. VËy ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu p < 0 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0 -(k - )2 - < 0 lu«n ®óng víi mäi k.VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - )2 + ] Do ®ã x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 + > 0 víi mäi k) k > 1 VËy k > 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 7: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi m = -5 Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m T×m m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt (x1 , x2 lµ hao nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) nãi trong phÇn 2.) Gi¶i Víi m = - 5 ph­¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiÖm lµ x1 = 1 , x2 = - 9 Cã = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 víi mäi m VËy ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 V× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4 Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ] => = 2 = khi m + = 0 m = - VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng khi m = - Bµi 8 : Cho ph­¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = - Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: Thay m = - vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho vµ thu gän ta ®­îc 5x2 - 20 x + 15 = 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2= 3 + NÕu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh; 5x – 5 = 0 x = 1 + NÕu : m + 2 0 => m - 2 .Khi ®ã ph­¬ng tr×nh ®· cho lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai cã biÖt sè : = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do ®ã ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = = x2 = Tãm l¹i ph­¬ng tr×nh ®· cho lu«n cã nghiÖm víi mäi m 3)Theo c©u 2 ta cã m - 2 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt.§Ó nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia ta sÐt 2 tr­êng hîp Tr­êng hîp 1 : 3x1 = x2 3 = gi¶i ra ta ®­îc m = - (®· gi¶i ë c©u 1) Tr­êng hîp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn m - 2) KiÓm tra l¹i: Thay m = vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ta ®­îc ph­¬ng tr×nh : 15x2 – 20x + 5 = 0 ph­¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = = (tho¶ m·n ®Çu bµi) Bµi 9: Cho ph­¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè . BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) T×m m ®Ó (1) cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu. T×m m ®Ó (1) cã mét nghiÖm b»ng 3. T×m nghiÖm thø hai. Gi¶i 1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 x = + NÕu m 0 .LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m = - m + 4 4 : (1) v« nghiÖm = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = ; x2 = VËy : m > 4 : ph­¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = 4 : ph­¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = 0 m < 4 : ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = ; x2 = m = 0 : Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ®¬n x = 2. (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu < 0 < 0 Tr­êng hîp kh«ng tho¶ m·n Tr­êng hîp 0 < m < 3 3. *)C¸ch 1: LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm 0 0 m 4 (*) (ë c©u a ®· cã) - Thay x = 3 vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m = - - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = - tho¶ m·n *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 mµ thay x = 3 vµo (1) ®Ó t×m ®­îc m = -.Sau ®ã thay m = - vµo ph­¬ng tr×nh (1) : -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0 cã = 289 – 189 = 100 > 0 => VËy víi m = - th× ph­¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= 3 *)§Ó t×m nghiÖm thø 2 ,ta cã 3 c¸ch lµm C¸ch 1: Thay m = - vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho råi gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Ó t×m ®­îc x2 = (Nh­ phÇn trªn ®· lµm) C¸ch 2: Thay m = - vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm: x1 + x2 = x2 = - x1 = - 3 = C¸ch 3: Thay m = - vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 = Bµi 10: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè 1.T×m k ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp 2. Tim k ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm x1 , x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x12 + x22 = 10 Gi¶i. 1.Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp = 0 k2 – (2 – 5k) = 0 k2 + 5k – 2 = 0 ( cã = 25 + 8 = 33 > 0 ) k1 = ; k2 = VËy cã 2 gi¸ trÞ k1 = hoÆc k2 = th× ph­¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp. 2.Cã 2 c¸ch gi¶i. C¸ch 1: LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm: 0 k2 + 5k – 2 0 (*) Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - §Ó ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*) ta thay lÇn l­ît k1 , k2 vµo = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n + k2 = - => = kh«ng tho¶ m·n VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m C¸ch 2 : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn 0 .C¸ch gi¶i lµ: Tõ ®iÒu kiÖn x12 + x22 = 10 ta t×m ®­îc k1 = 1 ; k2 = - (c¸ch t×m nh­ trªn) Thay lÇn l­ît k1 , k2 vµo ph­¬ng tr×nh (1) + Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3 + Víi k2 = - (1) => x2- 7x + = 0 (cã = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m BAØI TAÄP PHAÀN PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI Baøi 1 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 2) 3) . Baøi 2 : Cho ph­¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + 1 = 0. TÝnh (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh). Baøi 3 : Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. 2) T×m gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n x12 + x22 = 12 (trong ®ã x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh). Baøi 4 : Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu. 3) Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2, t×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Baøi 5 : Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 0. 2) Gäi hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. Baøi 6 : Cho ph­¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1). 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23. Baøi 7 : Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm lµ b»ng 2. T×m nghiÖm cßn l¹i. b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n x13 + x23 0. Baøi 8 : Cho ph­¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1. 2) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. C©u9. Cho ph­¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0) C©u 10: Ph­¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1 XÐt 2m-1¹0=> m¹ 1/2 khi ®ã ta cã = m2-2m+1= (m-1)2³0 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) víi m¹ 1/2 pt cßn cã nghiÖm x== pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<<0 =>=>m<0 VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0 C¸c ®Ò tham kh¶o C©u 1: Cho ph­¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Kh«ng gi¶i ph­¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 Gi¶i §Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× D > 0 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Tõ ®ã suy ra m ¹ 1,5 (1) MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã: Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc m = - 2 vµ m = 4,125 (2) §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm ph©n biÖt tháa m·n: x1 + x2 = 11 C©u 2: Cho ph­¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè. a/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. b/. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia. Gi¶i:a/. Ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ’ 0. (m - 1)2 – m2 – 3 0 4 – 2m 0 m 2. b/. Víi m 2 th× (1) cã 2 nghiÖm. Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã: a= 3()2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0 m = –32 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn). Bµi 3. (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số. a) Giải phương trình (1) khi m = 6. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn . ( Qu¶ng Nam 2008 – 2009 ) Gi¶i: b) Lập ∆ = 25 - 4m Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 khi ∆ ≥ 0 hay m £ Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = 5 ; x1.x2 = m Hai nghiệm x1, x2 dương khi hay m > 0. Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm dương x1, x2 là 0 < m £ (*) Ta có: Suy ra Ta có Hay (1) Đặt , khi đó (1) thành: Û 2t3 + 5t2 - 36 = 0 Û (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0 Û t - 2 = 0 hoặc 2t2 + 9t + 18 = 0 * t - 2 = 0 => t = 2 => m = 4 (thoả mãn (*)). * 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm. Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn . Bµi 4 (1,5 ®iÓm). Cho ph­¬ng tr×nh (Èn x): (1) a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi . b) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m, ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) kh«ng phô thuéc vµo m. ( H­ng Yªn 2008-2009 ) Bµi 5. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 tháa m·n ( H¶i D­¬ng 2008 – 2009 ) Gi¶i: ĐK: ’ > 0 1 + 2m > 0 m > . Theo đề bài : . Theo Vi-ét : x1 + x2 = 2 ; x1.x2 = -2m. 1 + 4m2 + 4 + 4m = 5 4m2 + 4m = 0 4m(m + 1) = 0 m = 0 hoặc m = -1. Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = 0 (t/m). Vậy m = 0. Câu 5: Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để . (Hå ChÝ Minh 2008-2009 ) x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. Cách 1: Ta có: D' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để . Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta có S = và P = x1x2 = –1. Do đó Û S2 – 3P = 7 Û (2m)2 + 3 = 7 Û m2 = 1 Û m = ± 1. Vậy m thoả yêu cầu bài toán Û m = ± 1. Bài 6 (1 điểm) ( Kh¸nh hßa 2008 -2009 ) Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các điều kiện: x1 + x2 = 1 (1) và (2) Giải: Ta có: (2) Û Û 12x1x2 – 6(x1 + x2) = 13x1x2 – 13(x1 + x2) + 13 Û x1x2 = 7(x1 + x2) – 13 Û x1x2 = –6 Vậy: Phương trình bậc hai cần lập là: x2 – x – 6 = 0 Bµi 7) Cho phương trình . 1/ Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m. 2/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó . 3/ Đặt a) Tính A theo m. b) Tìm m để c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và m tương ứng. Gi¶i: 1/ Vì Nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 2/ Phương trình có nghiệm kép . Khi đó nghiệm kép là . 3/ Theo định lí Vi-ét ta có , do đó: a) . b) hoặc Vì , dấu bằng xảy ra khi , nên: Giá trị nhỏ nhất của A là -8, xảy ra khi . Bài 3 (2,0 điểm) ( Nam §Þnh 2008 -2009 ) Cho phương trình x2 + 2mx + m – 1 = 0 Giải phương trình khi m = 2 Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt,với mọi m. Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương Bài 3 (2,0 điểm) ( Th¸i B×nh 2008 -2009 ) Cho phương trình x2 + (a – 1)x – 6 = 0 (a là tham số) Gải phương trình với a = 6; Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: Bài 1: (1,5 điểm) ( H¶i Phßng 2008 -2009 ) Cho phương trình bậc hai, ẩn số là x : x2 – 4x + m + 1 = 0. Giải phương trình khi m = 3.. Với giá trị nào của m phương trình có nghiệm. Tìm giá trị của m sao cho phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 10 Gîi ý: 1.Khi m= 3 PT là: x2 - 4x +4 = 0 Û x = 2 2. Có D = 3 - m. Phương trình có nghiệm khi D ³ 0 Û m ≤ 0 (*) 3. x12 +x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 = 42 -2(m+1) = 10 Þm = 2 thoả mãn (*) Bµi 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ©m. b.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n =50 Bµi 2: §Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: b. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: C©u 2 : Cho pt a. Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi . b. Gäi lµ hai nghiÖm cña pt. T×m GTLN, GTNN cña bt. Gi¶i a. : cm B (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã: (1) T×m ®k ®Î pt (1) cã nghiÖm theo Èn. Bµi 3 : T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn m ®Ó ph­¬ng tr×nh Èn x sau: x2 - m2x + m + 1 = 0 cã nghiÖm nguyªn. Gi¶i: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn khi D = m4 - 4m - 4 lµ sè chÝnh ph­¬ng Ta l¹i cã: m = 0; 1 th× D < 0 lo¹i m = 2 th× D = 4 = 22 nhËn m ³ 3 th× 2m(m - 2) > 5 Û 2m2 - 4m - 5 > 0 Û D - (2m2 - 2m - 5) < D < D + 4m + 4 Û m4 - 2m + 1 < D < m4 Û (m2 - 1)2 < D < (m2)2 D kh«ng chÝnh ph­¬ng VËy m = 2 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.