Chuyên đề Phương trình bậc nhất, bậc hai và hệ phương trình bậc nhất

1 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A– TÓM TẮT GIÁO KHOA I. ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất
Dạng: ax b 0+ = (1)
Cách giải và biện luận Hệ số Kết luận a ≠ 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a = − b ≠ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x 2. Phương trình bậc hai
Dạng 2ax bx c 0+ + = (với a ≠ 0) (1)
Cách giải và biện luận 2b 4ac∆ = − Kết luận 0∆ > (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2 b x 2a − ± ∆ = 0∆ = (1) có một nghiệm kép b x 2a = − 0∆ < (1) vô nghiệm 3. Định lý Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ( )2ax bx c 0 , a 0+ + = ≠ có hai nghiệm 1 2x , x thì 1 2 b x x a + = − và 1 2 c x x a = .
Nếy hai số u, v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u, v là nghiệm của phương trình 2x Sx P 0− + = . II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 1. Phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Tùy theo phương trình, ta có những phương pháp: + Dùng định nghĩa, hoặc lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối rồi giải các phương trình trên từng miền đã chỉ ra. Nghiệm của phương trình đã cho là hợp các nghiệm nhận được. + Bình phương hai vếu với điều kiện hai vế không âm để khủ dấu giá trị tuyệt đối. 2 + Chú ý: Dạng 2 2 B 0 A B A B ≥ = ⇔  = Dạng ax b cx d+ = + . Ta có: ( ) ax b cx d ax b cx d ax b cx d + = + + = + ⇔  + = − + hoặc ( ) ( )2 2ax b cx d ax b cx d+ = + ⇔ + = + 2. Phương trình chứa ẩn dưới căn
Phương pháp chung: Bình phương hai vế của phương trình để dần mất căn thức. Bình phương hai vế của phương trình là phép biến đổi tương đương nếu hai vế của phương trình đều không âm.
Trương hợp riêng: Dạng A B= Cách giải 1:
Đặt điều kiện A ≥ 0.
Bình phương hai vế: (Phương trình hệ quả). Giải và tìm nghiệm
Thử lại các nghiệm vừa tìm được. Cách giải 2: Biến đổi tương đương: 2 B 0 A B A B ≥ = ⇔  = 3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Điều kiện xác định của phương trình: Mẫu thức khác 0.
Quy đồng mẫu thức, khử mẫu và giải phương trình.
Đối chiếu với điều kiện để chọn nghiệm. 3 BÀI TẬP B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TỰ LUẬN I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 1: Giải và biện luận phương trình: 3mx + m2(x – 1) + 1 = (m2 + 3)x (1) Giải Ta có: 3mx + m2(x – 1) + 1 = (m2 + 3)x ⇔ 3mx + m2x – m2 + 1 = m2x + 3x ⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1 Biện luận: + Trường hợp 1: m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. (1) có nghiệm duy nhất: 2m 1 x 3(m 1) − = − = 1 (m 1) 3 + . Tập nghiệm: S = { }1 (m 1)3 + + Trường hợp 2: m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (1) ⇔ 0x = 0 (nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ). Tập nghiệm: S = 3. Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 2 a x 1 = − . (1) Giải Điều kiện xác định: x ≠ 1. (1) ⇔ ( )2 a x 1 ax a 2= − ⇔ = + + Trường hợp 1: a ≠ 0 (1) ⇔ a 2 x a + = Giá trị a 2 x a + = là nghiệm của phương trình (1) ⇔ a 2 1 a 2 a a + ≠ ⇔ + ≠ (luôn luôn đúng với mọi a) Suy ra: Với a ≠ 0, (1) có nghiệm duy nhất a 2 x a + = . Tập nghiệm { }a 2S a+= + Trường hợp 2: a = 0 (1) ⇔ 0x = 2 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm. Tập nghiệm S = ∅. Bài 3: Giải phương trình: 2x 1 x 2− = − (1) Giải 4 Cách 1: Biến đổi tương đương Phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) ( )( )2 2 x 2 0 x 2 2x 1 x 2 2x 1 x 2 02x 1 x 2 − ≥ ≥  ⇔  − + − − − + = − = −  ( ) ( ) x 2 x 2 x 1 3x 3 x 1 0 x 1 ≥ ≥  =⇔ ⇔   − + =   = − ⇔ x ∈ ∅ Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S = ∅. Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình. Thử nghiệm 2x 1 x 2− = − ⇒ 2 2 24x 4x 1 x 4x 4 x 1 x 1− + = − + ⇔ = ⇔ = ± Thay x = ± 1 vào (1): Cả hai 2 1 1 2 và 2 1 1 2− = − − − = − − đều là đẳng thức sai. Vậy phương trình (1) vô nghiệm hay tập nghiệm S = ∅. Bài 4: Giải phương trình: 3x 4 x 2+ = − Giải Cách 1: ( ) x 33x 4 x 2 3x 4 x 2 1 3x 4 x 2 x 2 = −+ = − + = − ⇔ ⇔ + = − − = −  Tập nghiệm của phương trình: { }1S 3 ; 2= − − Cách 2: ( ) ( )2 2 2 x 3 3x 4 x 2 3x 4 x 2 2x 7x 3 0 1 x 2 = − + = − ⇔ + = − ⇔ + + = ⇔  = −  Tập nghiệm của phương trình: { }1S 3 ; 2= − − Bài 5: Giải phương trình: 2x 4x 1 x 2− + = + (1) Giải Cách 1: Biến đổi tương đương Pt(1) ⇔ ( )22 x 2 0 x 2 3 x 8x 3 8x 4x 1 x 2 + ≥ ≥ − ⇔ ⇔ = −  = − − + = +  Tập nghiệm: { }3S 8= − . 5 Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình và thử nghiệm. Pt(1) ⇔ ( )22 3x 4x 1 x 2 8x 3 x 8 − + = + ⇔ = − ⇔ = − Thay 3 x 8 = − vào phương trình (1) : 2 3 3 13 3 13 VT 4 1 , VP 2 8 8 8 8 8     = − − − + = = − + =        ⇒ 3 x 8 = − thỏa (!). Tập nghiệm: { }3S 8= − . Bài 6: Giải phương trình: ( ) ( ) x 4 2x 7 17 x 6 2x 5 x 6 2x 5 − + − = − + − + (1) Giải Điều kiện xác định của phương trình: x 6 x 6 0 2 2x 5 0 x 5 ≠ − ≠  ⇔  + ≠ ≠ −  (1) ⇔ ( )( ) ( )( )x 4 2x 5 2x 7 x 6 17− + − + − = ⇔ 2x 5= − ⇔ 5 x 2 = − (loại) Tập nghiệm của (1): S = ∅ II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Giải phương trình: ( ) 2 1 3 1 2 x 1 x 1 4 + = − − (1) Giải Điều kiện xác định: x ≠ ± 1. Khi đó: (1) ⇔ ( ) 22 x 1 12 x 1+ + = − ⇔ 2 x 3 x 2x 15 0 x 5 = − − − = ⇔  = (thỏa điều kiện xác định) Vậy: Tập nghiệm { }S 3 ; 5= − Bài 2: Giải phương trình: 25x 2 2x 0− − = (1) Giải 2(1) 5x 2 2x⇔ − = Nhận xét: 22x 0 ; x≥ ∀ ∈ℝ . 6 Do đó: ( ) 2 2 2 2 2x 5x 2 2x 5x 2 0 (1) 2x 5x 2 2x 5x 2 0  = − − + = ⇔ ⇔  = − − + − =  ⇔ ( ) 1x 2 hoặc x 2 5 41 x 4    = =     − ± =  Tập nghiệm của (1) là 1 5 41 S ; 2 ; 2 4   − ± =    
Cũng có thể bình phương hai vế rồi đưa vế phương trình tích. Bài 3: Giải phương trình: 2 2x x 1 2x 3 x− − = − − (1) Giải 2 2x x 1 2x 3 x− − = − − ⇔ 2 2 22 2 x 2x x 1 2x 3 x 2x 3x 4 0 (*)x x 1 2x 3 x = − − = − −  ⇔  − + = − − = − + +  Nhận xét: phương trình (*) vô nghiệm. Vậy: { }S 2= Bài 4: Giải phương trình: 10x 6 9 x+ = − (1) Giải Dùng biến đổi tương đương: 10x 6 9 x+ = − ⇔ ( )2 9 x 0 10x 6 9 x − ≥  + = − 2 x 9 x 9 x 3 x 3 x 28x 75 0 x 25 ≤ ≤  =⇔ ⇔ ⇔ =  − + =   = Dùng phương trình hệ quả và thử nghiệm Điều kiện: 10x + 6 ≥ 0 ⇔ 3x 5 ≥ − . Bình phương hai vế: 2 x 3 x 28x 75 0 x 25 = − + = ⇒  = Cả hai giá trị x 3 x 25 =  = đều thỏa điều kiện xác định. Thay từng giá trị x vào phương trình đã cho, ta chỉ nhận được nghiệm x = 3. Bài 5: Cho phương trình: 2x x m 1 0+ + − = (1) a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm. b. Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia. c. Định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức: ( )1 2 1 2x x 3 x x 5 0+ + + = . 7 Giải a. Phương trình có hai nghiệm Phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0 ⇔ 5m 4 ≤ b. Phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia Khi 5 m 4 ≤ phương trình (1) có hai nghiệm 1 2x , x . Ta có: 1 2x x 1+ = − Giả sử 1 2x 2x= . Khi đó: 2 2 2 1 2x x 1 x 3 + = − ⇔ = − . Suy ra: 1 2 x 3 = − Mặt khác: 1 2x x m 1= − . Ta có: 1 2 11 . m 1 m 3 3 9     − − = − ⇔ =        c. Phương trình có hai nghiệm thỏa : ( )1 2 1 2x x 3 x x 5 0+ + + = (*) Ta có: 1 2 1 2x x 1 và x x m 1+ = − = − Thay vào (*) ta được: ( )m 1 3 1 5 0 m 1 0 m 1− + − + = ⇔ + = ⇔ = − . Giá trị m = –1 thỏa điều kiện 5 m 4 ≤ nên nhận đựơc. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ I. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 1: Giải và biện luận phương trình: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2). Bài 2: Giải và biện luận phương trình: 2m 1 m 2 x 1 − = − − Bài 3: Giải phương trình: x 2 5 x− = − Bài 4: Giải phương trình 2x 3 4 3x− = + Bài 5: Giải phương trình: 2x x 169 17− + = Bài 6: Giải phương trình: 2 2 x 2 1 2x x 4 1 2x 3 2x 3 4x 9 + − − − = − − + − II. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: Giải phương trình: 1 4x 3x x 1 x 1 − + = − − Bài 2: Giải phương trình: 2x 3x 2 x 2− + = − Bài 3: Giải phương trình: 2x 1 x 3− = + Bài 4: Giải phương trình: 23x 9x 7 2x 3− + = − Bài 5: Tìm m để phương trình ( ) ( )2m 1 x 3 m 2 x m 0+ + − + = có một nghiệm bằng –2. Tính nghiệm còn lại. 8 Hướng dẫn và đáp số PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 1: (m2 – 1)x = m(m + 1)(m + 2) (1) Trường hợp 1: 2m 1 0 m 1 và m 1− ≠ ⇔ ≠ ≠ − . (1) có nghiệm duy nhất ( )m m 2 x m 1 + = − Trường hợp 2: 2m 1 0 m 1 hoặc m 1− = ⇔ = − + Khi m = 1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 6 (vô nghiệm) + Khi m = –1: Phương trình (1) ⇔ 0x = 0. (Phường trình có nghiệm tùy ý) Bài 2: 2m 1 m 2 x 1 − = − − (1) Điều kiện xác định: x ≠ 1. Khi đó: (1) ⇔ ( ) ( )m 2 x 3 m 1− = − + Trường hợp 1: m –2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 Pt(1) ⇔ ( )3 m 1 x m 2 − = − Giá trị ( )3 m 1 x m 2 − = − là nghiệm của phương trình (1) ⇔ ( )3 m 1 1 1 m m 2 2 − ≠ ⇔ ≠ − Suy ra: Với 1 m 2 và m 2 ≠ ≠ thì (1) có nghiệm duy nhất ( )3 m 1 x m 2 − = − . + Trường hợp 2: m = 2 Pt(1) ⇔ 0x = 3 ⇔ Phương trình (1) vô nghiệm. Bài 3: x 2 5 x− = − (1) Cách 1: Biến đổi tương đương Phương trình (1) ⇔ ( ) ( ) ( )2 2 5 x 0 x 5 3 2x 7 0x 2 5 x − ≥ ≤  ⇔  − = − = −  ⇔ 7 x 2 = Cách 2: Bình phương hai vế. Giải phương trình. Thử nghiệm Pt(1) ⇒ ( ) ( )2 2 7x 2 5 x 6x 21 x 2 − = − ⇔ = ⇔ = Thay x = 7 2 vào (1). Ta được 7 7 2 5 2 2 − = − là đẳng thức đúng. Vậy phương trình (1) có nghiệm 7 x 2 = 9 Bài 4: 2x 3 4 3x− = + (1) Cách 1: ( ) x 72x 3 4 3x 2x 3 4 3x 1 2x 3 4 3x x 5 = − − = +  − = + ⇔ ⇔  − = − + = −  Cách 2: ( ) ( ) ( )( )2 2 x 7 2x 3 4 3x 5x 1 x 7 0 1 x 5 = −  − = + ⇔ + − − = ⇔  = −  Bài 5: ( ) 2 2 22 x 17 x 17 x x 169 17 x 169 x 17 34x 120x 169 x 17 ≥ ≥ − + = ⇔ + = − ⇔ ⇔  =+ = −  Tập nghiệm S = ∅ Bài 6: 2 2 x 2 1 2x x 4 1 2x 3 2x 3 4x 9 + − − − = − − + − (1) Pt(1) ⇔ ( ) ( ) 2x 2 1 2x x 4 1 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 + − − − = − − + − + Điều kiện xác định: 3 x 2 ≠ ± (1) ⇔ ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2x 2 2x 3 2x 3 4x 9 2x x 4 0+ + − − − − + − − = ⇔ 7 4x 14 0 x 2 + = ⇔ = − (nhận) PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1: 1 4x 3x x 1 x 1 − + = − − Điều kiện xác định:x ≠ 1. Phương trình biến đổi thành ( ) ( ) 2 x 1 loại x 5x 4 0 x 4 nhận = − + = ⇔  = Bài 2: 2x 3x 2 x 2− + = − (1) (1) ( ) 2 2 2 2 x 2 x 2 x 3x 2 x 2 x 4x 4 0 x 3x 2 x 2 x 2x 0 ≥ ≥     − + = − − + =⇔ ⇔     − + = − − − =   ⇔ x 2 x 2 x 2 x 0 ≥  = ⇔ =  = Bài 3: 2x 1 x 3− = + ⇔ 2 2 2 2 x 1 x 3 x x 4 0 x 1 x 3 x x 2 0 (*)  − = + − − = ⇔  − = − − + + =   Phương trình (*) vô nghiệm. Do đó: 1 17 S 2  ± =     Bài 4: 23x 9x 7 2x 3− + = − ( ) ( )22 2x 3 0 1 3x 9x 7 2x 3 − ≥ ⇔  − + = − 10 2 3 x3 x 2 x 22 x 1 x 3x 2 0 x 2  ≥ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ =  =  − + =  = Bài 5: ( ) ( )2m 1 x 3 m 2 x m 0+ + − + = (1) Phường trình (1) có một nghệim x = –2 ⇔ ( ) ( )( )+ + − − + =4 m 1 3. 2 m 2 m 0 ⇔ − + = ⇔ =m 16 0 m 16 . Khi đó: 1 2 m x x m 1 = + . Với = = −1m 16 và x 2 . Ta được: − = ⇔ = −2 2 16 8 2x x 17 17 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1– Nối liên kết mỗi phương trình cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở cột (II). (I) (II) 1 9x 7 x 2 x 36 2 7 + −  − − =    x = 3 A 2 7x 10 4 1 7x 6 5x − = − − x = 1 2 B 3 2x 1 x 1− = − x = 0 C 4 4 x x 3− = + x ∈ ∅ D 5 x 4 x 4− = + x = 9 E 2– Cho phương trình 3 x m− = . Khẳng định nào sau đây sai ? A. Tập xác định của phương trình D = ℝ. B. Nếu m = 0 thì phương trìnhcó nghiệm duy nhất x = 3. C. Nếu m > 0 thì phương trình có hai nghiệm là x 3 a= ± . D. Nếu m < 0 thì phương trình vô nghiệm. E. Có hai khẳng định sai. 3– Cho phương trình 2x 2x 3 3 x 1 + − = − . Khẳng định nào sau đây là sai ? A. Khi x ≠ 1 thì phương trình có nghĩa. B. Phương trình có hai nghiệm là 0 và 1 C. Phương trình chỉ có nghiệm là x = 0. D. Khi x ≠ 1 thì phương trình viết được thành 2x x 0− = E. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 3 2x x 0− = 11 4– Kết quả nào sau đây là tập nghiệm của phương trình: 2x 1 x 3− = + ? A. x = 4 B. x = 2 3 − C. x = –4 D. x = 4 và x = 2 3 − E. x = –4 và x = 2 3 − 5– Đáp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 11 4x 2x 3− = + ? A. 4 x 7 hay x 3 = − = B. x = 7 C. x = 4 D. 4 x 7 hay x 3 = = E. Một kết quả khác 6– Cho phương trình 2mx 4 6+ = .Phương trình vô nghiệm khi: A. m = 2 B. m = 0 C. m = 1 D. m = –1 E. Một kết quả khác 7 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6. Phương trình có nghiệm khi : A. m ≠ 2 B. m ≠ 1 C. m ≠ 0 D. m ≠ –1 E. Một kết quả khác 8 – Với giả thiết là phương trình ở câu 6, khi m = 1 thì nghiệm của phương trình là: A. x = 1 hoặc x = –5 B. x = –1 hoặc x = –5 C. x = 5 hoặc x = –1 D. x = 1 hoặc x = 5 E. Một kết quả khác 9 – Cho phương trình ( )2m x 1 m 5m 6 x+ − = − . Với giá trị nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm duy nhất ? A. m = 2 B. m = 3 C. m = 2 hoặc m = 3 D. m ≠ 2 và m ≠ 3 E. Một kết quả khác 10 – Cho phương trình 2m x 3x 2m 2x+ = + . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 2 2m x m 1 = + B. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất 2 2m x m 1 = + C. Khi m ≠ ± 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = m D. Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất x = 2m + 1 E. Tất cả các khẳng định đều sai 12  Cho phương trình : ( ) ( )2m x 2x 1 m 4 2m x 2− + = − + . Dùng giả thiết này để trả lời các câu 11, 12, 13. 11 – Phương trình vô nghiệm khi m có giá trị: A. m = –2 B. m = 1 C. m = 2 D. m = –1 E. Một kết quả khác 12 – Với giá trị nào của m được cho sau đây thì phương trình có nghiệm tùy ý ? A. m = –2 B. m = 1 C. m = 2 D. m = –1 E. Một kết quả khác 13 – Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm là : A. x = –2 B. x = 1 C. x = 2 D. x = –1 E. Một nghiệm khác Trả lời trắc nghiệm 1– Đáp án ( )1; E , ( )2 ; A , ( )3 ; D , ( )4 ; B , ( )5 ; C 2– Đáp án E 3– Đáp án B 4– Đáp án D 2x 1 x 3− = + ⇔ ( ) ( ) ( )( )2 2 x 3 0 x 3 2x 1 x 3 2x 1 x 3 02x 1 x 3 + ≥ ≥ −  ⇔  + + + + − − = − = +  ( )( ) x 4x 3 2 3x 2 x 4 0 x 3 =≥ − ⇔ ⇔ + − = = −  (vì thỏa điều kiện x ≥ −3) Tập nghiệm của (1): { }2S 4 ; 3= − 5– Đáp án D. 11 4x 2x 3− = + ⇔ 4 11 4x 2x 3 x 3 11 4x 2x 3 x 7  − = + = ⇔ − = − − = 6– Đáp án B 2mx 4 6+ = ⇔ 2mx 4 6 2mx 2 2mx 4 6 2mx 10 + = =  ⇔ + = − = −  Phương trình vô nghiệm khi m = 0. 7– Đáp án C. 13 Phương trình bậc nhất có nghiệm trong hai trường hợp: (nghiệm duy nhất hoăc vô số nghiệm). Đối với phương trình đã cho chỉ xảy ra trường hợp có nghiệm duy nhất. Khi đó: m ≠ 0. 8– Đáp án A. Với m = 1. Ta có: 2mx 2 x 1 2mx 10 x 5 = =  ⇔  = − = −  9– Đáp án D. ( )2m x 1 m 5m 6 x+ − = − ⇔ ( )2m 5m 6 x m 1− + = − Phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ 2m 5m 6 0 m 2 và m 3− + ≠ ⇔ ≠ ≠ . 10– Đáp án B 2m x 3x 2m 2x+ = + ⇔ ( )2m 1 x 2m+ = Phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất 2 2m x m 1 = + 11– Đáp án C ( ) ( )2m x 2x 1 m 4 2m x 2− + = − + ⇔ ( )2m 4 x m 2− = + Khi m = 2, phương trình thành 0x = 4 (vô nghiệm) 12– Đáp án A Khi m = –2, phương trình thành 0x = 0 (luôn luôn nghiệm đúng) 13– Đáp án D. C– BÀI TẬP BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Giải và biện luận phương trình ( )3 2m x m 4 4m x 1− − = − . Bài 2: Giải phương trình : 23 2x 4x 9 2x+ − + = Bài 3: Giải phương trình 3 2 3 7 3x 17 x 3 x 1 x 4x 3x − − + = + + + + Bài 4: Giải phương trình : 2x x 3 x 1 0− − + + = Bài 5: Giải phương trình 27x 12x 5 3x 5− + = − Bài 6: Cho phương trình ( )2x 2 m 2 x 4m 5 0− + + + = . a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = 14 Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Phương trình ( )3 2m x m 4 4m x 1− − = − (1) Phương trình (1) ⇔ ( )( ) ( )2m m 2 m 2 x m 2− + = − Trường hợp 1: ( ) ( )m m 2 m 2 0 m 0 , m 2− + ≠ ⇔ ≠ ≠ ± . Phương trình có nghiệm duy nhất: ( ) m 2 x m m 2 − = + Trường hợp 2: ( )( )m m 2 m 2 0 m 0 hoặc m 2 hoặc m 2− + = ⇔ = = = − .
Khi m = 0: (1) ⇔ 0x = 4 : Phương trình (1) vô nghiệm.
Khi m = 2: (1) ⇔ 0x = 0 : Phương trình (1) luôn luôn nghiệm đúng.
Khi m = –2: (1) ⇔ 0x = 16 : Phương trình (1) vô nghiệm. Bài 2: Phương trình : 23 2x 4x 9 2x+ − + = (1) ( ) ( ) 2 22 2x 3 0 1 4x 4x 9 2x 3 4x 4x 9 2x 3 − ≥ ⇔ − + = − ⇔  − + = − ( )22 32x 3 0 x 2 4x 4x 9 2x 3 8x 0  − ≥ ≥  ⇔ ⇔  − + = −  = Phương trình (1) vô nghiệm. Bài 3: 3 2 3 7 3x 17 x 3 x 1 x 4x 3x − − + = + + + + (1) Tập xác định { }D \ 0 ; 1 ; 3= − −ℝ Phương trình biến đổi thành + + =210 x 27x 17 0 ⇔ ( ) ( ) = −   = −  x 1 loại 17 x nhận 10 Bài 4: 2x x 3 x 1 0− − + + = ( ) 21 x x 3 x 1⇔ − − = − − ⇔ 2 2 x 1x 1 x 2 0 x 2 x 2x 4 0 x 1 5 ≤ −≤ −    − = = ±⇔    − − = = ±   Với x ≤ –1, ta nhận được nghiệm x 2 x 1 5  = −  = − 15 Bài 5: 27x 12x 5 3x 5− + = − (1) ( ) ( )22 2 53x 5 0 x 31 7x 12x 5 3x 5 x 9x 10 0  − ≥ ≥  ⇔ ⇔  − + = −  − + = ⇔ 5 x 9 413 x 29 41 x 2  ≥ + ⇔ = ± =  Bài 6: Phương trình ( )2x 2 m 2 x 4m 5 0− + + + = (1) a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ 2 m 1 m 1 0 m 1 m 1 < − − > ⇔ > ⇔  > b. Phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = Phương trình có hai nghiệm thỏa 1 2x x 2− = thì hai nghiệm không thể trùng nhau. Do đó: ∆’ > 0 ⇔ m 1 m 1 < −  > Khi đó: ( )22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x 2 x x 2x x 4 x x 4x x 4− = ⇔ + − = ⇔ + − = (*) Với: ( )1 2 1 2 x x 2 m 2 x x 4m 5 + = +  = + (*) ⇔ ( ) ( )24 m 2 4 4m 5 4+ − + = 2m 2 0 m 2⇔ − = ⇔ = ± (thỏa điều kiện ∆’ > 0) 16 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A– TÓM TẮT GIÁO KHOA 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y dạng: ax by c+ = (1) Với a, b, c là các hệ số và a, b không đồng thời bằng 0
Nghiệm của (1) là ( )0 0x ; y sao cho 0 0ax by c+ = .
Ghi chú: c ≠ 0 vô nghiệm a = b = 0 c = 0 nghiệm (x; y) tùy ý a ≠ 0, b = 0 Nghiệm có dạng ( )c ; y , với y a   ∈    ℝ a = 0, b ≠ 0 ( )cx; , với x b   ∈    ℝ a ≠ 0, b ≠ 0 Nghiệm có dạng c ax x; b −      , (x∈ ℝ) hoặc ( )c by ; y , với y a −  ∈    ℝ
Biểu diễn hình học của tập nghiệm của (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =  + = (x, y là hai ẩn số), (các chữ còn lại là hệ số)
Nghiệm của hệ là cặp số ( )0 0x , y nghiệm đúng đồng thời cả hai phương trình. 3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
Dạng 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d + + =  + + =  + + = x, y,z là ba ẩn số. Các chữ còn lại là hệ số.
Nghiệm của hệ là bộ ba số ( )0 0 0x , y , z nghiệm đúng đồng thời cả ba phương trình của hệ. 17 B– CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Giải phương trình: 3x – 5y = 4. Giải
Cách 1: Với x ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔ 3x 4 y 5 − = . Phương trình vô số nghiệm dạng: x 3x 4 y 5 ∈  − = ℝ Tập nghiệm: S = 3x 4 x; x 5  −  ∈      ℝ
Cách 2: Với y ∈ ℝ, ta có: 3x – 5y = 4 ⇔ 5y 4 x 3 + = . Phương trình vô số nghiệm dạng: y 5y 4 x 3 ∈  + = ℝ Tập nghiệm: S = 5y 4 y; x 3  +  ∈      ℝ .
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): 3x – 5y = 4 ⇔ 3x 4 y 5 − = . Bài 2: Giải hệ phương trình: 4x 7y 1 x 3y 14 + =  − = − (*) Chú ý: Xét hệ 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =  + = (*) Phương pháp Gau-xơ: Khử bớt một ẩn từ một trong hai phương trình của hệ để hệ (*) có dạng 1 1 1 a x b y c 0 my n + =  + = hoặc 2 2 2 mx 0 n a x b y c + =  + = Như vậy ta tính được giá trị của một ẩn. Rồi tìm giá trị của ẩn còn lại. * Ngoài ra, ta còn các hương pháp đã học ở lớp dưới: Phương pháp cộng đại số: Nhân lần lượt hai phương trình với các số thích hợp để có thể khử được x (nhằm tính y) hoặc khử được y (nhằm tính x). Tổng quát: Hệ (*) ⇔ ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 a b a b x c b b c a b a b y a c a c − = −  − = − Giải Phương pháp Gau-xơ Nhân phương trình (2) cho –4 rồi cộng với phương trình (1). ta có: O 1 1 18 4x 7y 1 4x 7y 1 y 3 x 5 x 3y 14 19y 57 4x 7.3 1 y 3 + = + = = = −    ⇔ ⇔ ⇔    − = − = + = =    Tập nghiệm: ( ){ }S 5 ; 3= − Phương pháp cộng đại số: Để tính x: Hệ (*) ⇔ 12x 21y 3 19x 95 x 5 7x 21y 98 + = ⇒ = − ⇔ = − − = − Để tính y: Hệ (*) ⇔ 4x 7y 1 19y 57 y 3 4x 12y 56 + = ⇒ = ⇔ = − + = Tập nghiệm: ( ){ }S 5 ; 3= − Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm x 3y m mx 6y 1 − =  + = (*) Giải Nhân (1) cho 2, cộng hai phương trình cho nhau vế theo vế. x 3y m mx 6y 1 − =  + = ⇔ ( ) x 3y m m 2 x 2m 1 − =  + = + Hệ (*) vô nghiệm khi phương trình : ( )m 2 x 2m 1+ = + vô nghiệm ⇔ m + 2 = 0 ⇔ m = –2. Bài 4: Giải hệ phương trình: (*) : x y z 2 (1) x 2y 3z 1 (2) 2x y 3z 1 (3) + + =  + + =  + + = − Giải Nhân (1) với –1, cộng với (2) vế theo vế. Nhân (1) với –2, cộng với (3) vế theo vế. (*) ⇔ x y z 2 y 2z 1 (4) y z 5 (5) + + =  + = −  − = Nhân (5) với 2, cộng với (4) vế theo vế. Ta được: (*) ⇔ x y z 2 y 2z 1 3z 6 + + =  + = −  = − Ta có: z = –2. Thế ngược lên trên, suy ra: y = 3 và x = 1. Vậy Tập nghiệm của hệ là ( ){ }S 1; 3 ; 2= − 19 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0. Bài 2: Giải hệ phương trình: 7x 11y 36 x 3y 8 − =  − = Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm mx y 2 x y 3 + =  − = (*) Bài 4: Giải hệ phương trình: (*) x y z 11 2x y z 5 3x 2y z 24 + + =  − + =  + + = Hướng dẫn và đáp số Bài 1: Giải phương trình 2x – y = 0. Phương trình có vô số nghệim. Nghiệm có thể biểu diễn ở hai dạng: x y 2x ∈  = ℝ hoặc y x 2 y  =   ∈ ℝ Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng (d): y = 2x. Bài 2: Giải hệ phương trình 7x 11y 36 x 3y 8 − =  − = Phương pháp Gau-xơ: 7x 11y 36 7x 11y 36 x 2 x 3y 8 10y 20 y 2 − = − = =   ⇔ ⇔   − = = − = −   Bài 3: mx y 2 x y 3 + =  − = ⇔ ( ) mx y 2 m 1 x 5 + =  + = Hệ phương trình vô nghiệm khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1. Bài 4: x y z 11 2x y z 5 3x 2y z 24 + + =  − + =  + + = ⇔ x y z 11 x y z 11 x 4 3y z 17 3y z 17 y 5 y 2z 9 5z 10 z 2 + + = + + = =      + = ⇔ + = ⇔ =     + = = =   Vậy Tập nghiệm của hệ là ( ){ }S 4; 5 ; 2= CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1– Cặp số nào được cho sau đây là nghiệm của phương trình 2x 3y 1 0− − = ? A. ( )1; 1 B. ( )2 ; 1 C. ( )3 ; 2 D. ( )1; 2 E. Không có cặp số nào là nghiệm 1 1 O 20 2– Cặp số ( )1; 2 là nghiệm của phương trình nào được cho sau đây ? A. 4x + 3y – 2 = 0 B. –4x – 3y + 2 = 0 C. 4x – 3y + 2 = 0 D. 4x – 3y – 2 = 0 E. 4x + 3 y + 2 = 0 3– Hãy nối liên kết mỗi phương trình được cho ở cột (I) với nghiệm của nó được cho ở cặp (II). Phương trình Nghiệm 1 x – 2y + 1 = 0 ( )1; 3 A 2 2x – y + 1 = 0 ( )1; 0 B 3 x + 2y – 1 = 0 ( )1; 1 C 4 x – 2y – 1 = 0 ( )1; 3− − D 5 2x – y – 1 = 0 ( )3 ; 1 E 4– Phương trình 3x 4y 1 0+ − = có tập nghiệm là tập nào sau đây ? A. x 3x