Chuyên đề Phương trình, bất phương trình, hệ

Bài 1: Giải và biện luận bất ph−ơng trình 4x2 - 2(m + m1+ )x + m m1+ < 0 (1) Giải: + m + 1 < 0 ⇒ m1+ không có nghĩa ⇒ không tồn tại bất ph−ơng trình (m < -1). + Nếu m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1 giải nghiệm tam thức vế trái đ−ợc xa = 2 m ; xb = 2 1m + + Nếu 2 m < 2 1m + ⇔ m < 1m + ⇔ -1 ≤ m < 2 51+ thì nghiệm của (1) là 2 1mx 2 m +<< + Nếu 2 m > 2 1m + ⇔ m > 2 51+ thì nghiệm của (1) là 2 mx 2 1m <<+ + Nếu 2 51m 2 1m 2 m +=⇔+= ⇒ (1) vô nghiệm Bài 2: Tìm m để bất ph−ơng trình x2 - 2mx + 2x - m + 2 > 0 với ∀x Giải: + Thêm bớt m2 ta có: (x - m)2 + 2x - m + 2 - m2 > 0 với ∀x + Đặt x - m = t ≥ 0 ⇒ bất ph−ơng trình trở thành f(t) = t2 + 2t + 2 - m2 > 0 ∀t ≥ 0 ⇒ tđỉnh = -1 Vậy t ≥ 0 hàm f(t) đồng biến và ( ) 0t tfmin ≥ = f(0) = 2 - m2 Do đó f(t) > 0 với ∀t ≥ 0 ⇔ 2 - m2 > 0 ⇔ m < 2 Bài 3: Tìm a để x2 - ax + 1 > 0 (1) với ∀x > 0 Giải: + (1) ⇔ x + a x 1 > + Đặt f(x) = x + x 1 > 0 với ∀x > 0 t−ơng đ−ơng ( ) 0x axfmin > > + Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x + x 1 ≥ 2 với ∀x > 0 dấu bằng xảy ra khi x = x 1 0x>⇔ x = 1 ⇒ ( ) 0x xfmin > = f(1) = 2 > a + KL: a 0 Bài 4: Tìm m để bất ph−ơng trình: 0 xcosm1m mmxcosm 22 22 >−+ +− với ∀x (1) Giải: + Đặt t = cos2x ⇒ t ∈ [0, 1] khi đó bất ph−ơng trình trở thành 0 mt1m mmmt 2 2 >−+ +− ⇔ (mt - m + m2)(m2 + 1 - mt) > 0 (2) Với ∀t ∈ [0, 1] + Với m = 0 ⇒ (2) không nghiệm + Với m ≠ 0 ⇒ Tam thức vế trái có hệ số của t2 là -m2 < 0 do đó để ∀ ∈ [0, 1] là nghiệm. ⇔ ( )( ) ( ) ( )   > <⇔   >+− >−⇔  > >⇔   <− <− 1m 0m 01mm 0mm 01f 00f 01fm 00fm 2 2 2 2 + Kết luận m 1 bất ph−ơng trình (1) đúng ∀x Bài 5: Tìm a để 2 bất ph−ơng trình sau t−ơng đ−ơng. (a - 1)x - a + 3 > 0 (1) (a + 1)x - a - 2 > 0 (2) Giải: + Nếu a = ± 1 ⇒ (1): 031 >+∓ 021 >−∓ ⇒ không t−ơng đ−ơng + Nếu a > 1 nghiệm của (1) là x > 1a 3a − − và của (2): x > 1a 2a + + để (1) t−ơng đ−ơng (2) ⇔ 5a 1a 2a 1a 3a =⇔+ +=− − . + Nếu -1 < a < 1: nghiệm của (1): x < 1a 3a − − và nghiệm của (2): x > 1a 2a + + ⇒ 2 khoản trên không thể trùng nhau ⇒ không t−ơng đ−ơng. + Nếu a < -1: nghiệm của (1): x < 1a 3a − − và của (2) x < 1a 2a + + (1) t−ơng đ−ơng (2) ⇔ 1a 2a 1a 3a + +=− − ⇔ a = 5 (loại) + Kết luận: a = 5, 2 bất ph−ơng trình t−ơng đ−ơng. Đ3. Vấn đề 3: Ph−ơng trình - bất ph−ơng trình bậc 2 chứa giá trị tuyệt đối. A. Một số ph−ơng pháp giải: Để giải ph−ơng trình, bất ph−ơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ng−ời ta th−ờng tìm cách khử giá trị tuyệt đối bằng một số ph−ơng pháp sau: 1. Ph−ơng pháp dùng định nghĩa a. Bất ph−ơng trình: f(x) > g(x) ⇔ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       −= <   ≥ = ⇔=  −< > xgxf 0xf 0xf xgxf xgxf; xgxf xgxf b. Bất ph−ơng trình: f(x) < g(x) ⇔ ( )( ) ( ) ( )  <<− > xgxfxg 0xg c. f(x) = g(x) ⇔ f(x) = ±g(x) 2. Ph−ơng pháp luỹ thừa a. f(x) > g(x) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       ∈ <   ≥ =⇔=   ≥ > bptcủadịnhxáctậpDx 0xg 0xg xgxf xgxf; 0xg xgxf 2222 b. f(x) < g(x) ⇔ ( ) ( )  < > xgxf 0)x(g 22 c. f(x) ≥ g(x) ⇔ f2(x) ≥ g2(x) ⇔ [f(x) + g(x)][f(x) - g(x)] ≥ 0 3. Ph−ơng pháp chia khoảng: tìm nghiệm của các biểu thức trong giá trị tuyệt đối, xét dấu các biểu thức đó rồi dựa vào định nghĩa phá giá trị tuyệt đối các biểu thức; sau đó giải ph−ơng trình - bất ph−ơng trình trên từng khoảng đã đ−ợc phá giá trị tuyệt đối và kết luận. 4. Ph−ơng pháp hàm số và đồ thị: Dùng đồ thị của hàm số bậc 2 và bậc nhất để giải bài toán ph−ơng trình - bất ph−ơng trình có chứa giá trị tuyệt đối bằng cách: điều chỉnh các vế của ph−ơng trình - bất ph−ơng trình sao cho một vế việc vẽ đồ thị dễ dàng và th−ờng cố định vế kia đồ thị di động theo tham số hoặc cũng là đồ thị cố định và dễ vẽ. Từ đó xét vị trị t−ơng đối của 2 đồ thị ở 2 vế của ph−ơng trình - bất ph−ơng trình mà suy ra kết quả. B. Các ví dụ: (1) Ví dụ 1: Giải bất ph−ơng trình: x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11(1) Cách 1: + Đặt x2 - 5x + 5 = y thì bất ph−ơng trình (1) trở thành y ≤ -2y - 1 ⇒ điều kiện -2y - 1 > 0 ⇔ y < - 2 1 ⇒ y < 0 Bất ph−ơng trình trở thành: -y ≤ -2y - 1 ⇔ y ≤ -1 vậy ta có x2 - 5x + 5 ≤ -1 ⇔ x2 - 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3. + Kết luận: nghiệm của bất ph−ơng trình là 2 ≤x ≤ 3 Cách 2: Bằng ph−ơng pháp khoảng: xét dấu của x2 - 5x + 5 x -∞ 2 55 − 2 55 + +∞ x2-5x+5 0 0 - 0 + + Xét trên khoảng x < 2 55 − ⇒ (1) x2 - 5x + 5 ≤ -2x2 + 10x - 11 giải bất ph−ơng trình trên khoảng x < 2 55 − ... các em tự làm trên các khoảng vẽ có kết quả nh− trên. 2. Ví dụ 2: Giải và biện luận bất ph−ơng trình: x2 - 5x + 4 < 2a (1) Giải: đặt y1 = x2 - 5x + 4 = ( )  <<+−− ≥≤+− 4x1với45xx 4x1;xvới45xx 2 2 ⇒ Vẽ đồ thị y = x2 - 5x + 4 + Đặt y = a và vẽ đồ thị là đ−ờng thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ bằng 2a. + Từ đồ thị ta có -2a ≤ 0 bất ph−ơng trình vô nghiệm (vì đồ thị y1 trên y2) - 0 < a ≤ 8 9 bất ph−ơng trình có nghiệm: xA < x < xB; xC < xD 9/4 0 4 A B C D y2 = a y1 = x2 - 5x + 4 - a > 8 9 bất ph−ơng trình có nghiệm xA < x < xD (ở đây xA, xD là nghiệm của ph−ơng trình x2 - 5x + 4 - 2a = 0 ⇒ xA, D = 2 a895 +± ; xB, xC là nghiệm của ph−ơng trình -x2 + 5x - 4 - 2a = 0 ⇔ x2 - 5x + 4 + 2a = 0, xB, xC = 2 a895 −± ) * Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng ph−ơng pháp luỹ thừa ((x2 - 5x + 4)2 0 hoặc bằng ph−ơng pháp chia khoảng) Ví dụ 3: Tìm a để ph−ơng trình (1) : -2x2 + 10x - 8 = x2 - 5x + a có 4 nghiệm phân biệt. Giải: + Ph−ơng trình trên (1) ⇔ -2x2 + 10x - 8 - x2+ 5x = a + Đặt y1 = f(x) = -2x2 + 20x - 5 - x2 + 5x = = ( ) ( )   <<−+−   ≥ ≤+− 4x1vớiP815x3x 4x 1x vớiP85xx 2 2 1 2 - Vẽ đồ thị y1; y2 = a là đ−ờng thẳng song song ox cắt oy ở điểm có tung độ a. - Nhìn vào đồ thị ta có 4 < a < 4 43 thì 2 đồ thị cắt nhau tại 4 điểm ⇒ ph−ơng trình đã cho có 4 nghiệm. 4/3 0 41 a x y * Nhận xét: trong hai ví trụ trên; vì tách riêng đ−ợc tham số m nên việc giải bằng đồ thị ngắn gọn và nhẹ nhàng hơn. 4. Ví dụ 4: Giải và biện luận x2 - 2x + a ≤ x2 - 3x - a (1) Giải: + (1) ⇔ (x2 - 2x + a)2 ≤ (x2 - 3x - a)2 ⇔ (x2 - 2x + a)2 - (x2 - 3x - a)2 ≤ 0 ≤ (x + 2a)(x2 - 5x) ≤ 0 (2) + Biện luận - Nếu a < 0 ⇒ -2a < 4 ⇔ - 0a 2 5 << khi đó dấu VT của (2) là nghiệm của bất ph−ơng trình là x ≤ 0 < 2 5 khi đó dấu vế trái của (2) là nghiệm của bất ph−ơng trình : x ≤ -2a; 0 ≤ x ≤ 2 5 5. Ví dụ 5: Giải và biện luận ph−ơng trình ax + 2 + ax - 1 = b (1) Giải: + (1) ⇔ (x + 2 + x - 1)a = b (2) + Biện luận - Nếu a = 0 và b ≠ 0 ⇒ (2) Vô nghiệm ⇒ (1) Vô nghiệm - Nếu a = b = 0 ⇒ (2) có nghiệm ∀x ⇒ (1) nghiệm ∀x - Nếu a ≠ 0 thì (2) ⇔ f(x) = x + 2 + x - 1 = ( )xg a b = - + +- 0 -2a 5 - + +- 0-2a 5/2 ⇒ f(x) =    ≥+ <≤− −<−− 1xvới12x 1x2với3 2xvới12x có đồ thị Biện luận: - Dựa vào đồ thị ta có: */ 3 a b < ph−ơng trình (1) vô nghiệm */ 3 a b = ph−ơng trình (1) có vô số nghiệm: -2 ≤ x ≤ 1 */ 3 a b > Ph−ơng trình (1) có nghiệm: -2x - 1 =    +−=    + =⇒ a2 ba 2 a b1 x a b 1 2x + 1 = a2 ab 2 1 a b x a b 2 −= − =⇒ 6. Ví dụ 6: Cho y = 3x2 - 6x + 2a - 1 với x ∈ [-2, 3]. Tìm a để maxy đạt giá trị min. Giải: x y -2 0 a b g(x) = a b f(x) 3 + Ta thấy ngay theo tính chất của hàm bậc 2: maxy = max{y(-2); y(1); y(3)} = max{2a + 23}; 2a - 4; 2a + 8} + Dựng đồ thị của 3 hàm số y1 = 2a + 23; y2 = 2a - 4; y3 = 2a + 8 trên 1 hệ trục tọa độ oay. Trên đồ thị có: các giá trị maxy thuộc phần vẽ nét đậm và trên đó min chính tại điểm I là giao của 2a + 23 = -2a + 4 ⇒ a = - 4 19 . Bài tập: Bài 1: Giải và biện luận : x - 1(x + 2) + m = 0 Bài 2: Xác định a để ph−ờng trình: 2x2 - 3x - 2 - 5a + 8x + 2x2 = 0 có nghiệm duy nhất. Bài 3: Tìm m để miny = x2 + (m + 1)2 + 2x + m - 1 không lớn hơn 3. Bài 4: Tìm m để f(x) = (x - 2)2 + 2x - m ≥ 3 với ∀x y a I 2 0 -4 - 2 23