Chuyên đề Phương trình chứa căn

Bài 1: ĐHNT: GPT (x+5)(2-x)=3 (1) Û 3 = -x -3x + 10. Đặt t = . t ³ 0 PT (1) Þ 3t = - t + 10 Û t +3t - 10 = 0 Û Û t=2 Û = 2 Û x + 3x - 4 = 0 Û Khi giải PT gốc ta không đặt ĐK của x vì =t ³ 0 bình phương 2 vế có f(x) = t thấy f(x) nghiễm nhiên lớn hơn hoặc bằng 0, nhưng trong đáp án chấm thi ta thường thấy ĐK của x được 0,25 điểm, nếu bạn cẩn thận thì cho thêm ĐK của x. Bài 2: ĐH 2006D GPT + x - 3x + 1 = 0 Nếu bình phương lên ta gặp 1 PT bậc 4, nhẩm qua thấy x = 1 là nghiệm Nếu bình phương lên ta có PT bậc 4, biết 1 nghiệm rồi thì chuyển về PT bậc 3. Nhưng theo PP đặt ẩn phụ ta có Đặt t = , t ³ 0 Þ t = 2x - 1 Þ x = PTTT: t + - 3. + 1 = 0 4t + t + 2t +1 - 6(t + 1) + 4 = 0 t - 4t + 4t - 1 = 0 dễ thấy t = 1 là nghiệm PT Û (t-1)( t +t -3t +1) = 0 Û (t-1) ( t + 2t -1)=0 Û t = 1 hay t = -1 + * t =1 Þ =1 Û 2x-1 = 1 Û x = 1 ( thỏa mãn) * t = -1+ Þ = -1+ Û 2x -1 = 3 - 2 Û x = 2 - Bài 3: ĐH TCKT : GPT: = 1- Trong Pt vừa có căn bậc 2 và căn bậc 3 vậy thì cách đặt ẩn t như thế nào cho hợp lí. Nếu đặt t = ( t ³ 0) Þ t = x - 1Þ x = t +1 hay 2 - x = 2- ( t +1) = 1- t PT trở thành = 1- t lập phương hai vế có: Û 1- t = ( 1-t) Û (1-t)(1+t) - (1-t)(1-t) = 0 Û (1 - t) (1+t) - ( 1- t) = 0 Û t= 0; t = 1; t = 3 * t =0 Þ = 0 Û x = 1 * t = 1Þ =1 Û x = 2 * t = 3Þ = 3 Û x = 10 Bài 4: ĐH 2009 A GPT: 2 + 3 -8 = đặt t = Û t = 3x -2 Þ x = PT trở thành: 2t + 3. - 8 = 0 Û 3 = 8 - 2t Û Û Û t = -2 Þ = -2 Û 3x - 2 = - 8 Û Bài 5: ĐH khối D 2005: Giải phương trình sau: 2 - = 4 Bài giải: ĐK x ³ -1 PT Û 2 - = 4 Û 2( + 1) - = 4 Û =2 Û x=3 (thỏa mãn) Þ nghiệm của PT là Bài 6: ĐH B2010: Giải phương trình: - + 3x - 14x- 8 = 0 BG: ĐK - £ x £ 6 Khi đó PT Û ( - 4) + ( 1- ) + 3x - 14x - 5 = 0 Û + + 3x - 14x - 5 = 0 Û + + (x - 5)(3x+1) = 0 Û Û x = 5 vì x Î ; 6 nên 3x+1 ³ 0 Þ pt dưới vô nghiệm. Do đó PT đã cho có một nghiệm Bài 7: Giải phương trình sau : Giải: Đk x ³ 0 Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được: Û 1+ (x+3)(3x+1) + 2 = x + 4x(2x+1) + 4 Û = 2 + 3x - 3x - 2 , nếu cứ biến đổi ta cảm thấy bế tắc. Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : - = - . Bình phương hai vế ta có : 3x+1+ 2x +2 - 2. = 4x + x + 3 - 2 Û = Û 2x - 4x + 2 = 0 Û x = 1 Thử lại x =1 thỏa mãn Þ phương trình có nghiệm Nhận xét : Nếu phương trình : + = + có f(x) - h(x) = k(x) - g(x) ( hoặc f(x) - k(x) = h(x) - g(x)) thì ta biến đổi về dạng: - = - ( hoặc - = - ) sau đó bình phương, giải phương trình hệ quả và nhớ thử lại nghiệm cho PT đó. Bài 8. Giải phương trình sau : + = + (*) Giải: Điều kiện : x ³ -1 Ta có nhận xét : Þ (*) Þ - = - Þ +x+3 - 2. = x - x + 1 + x + 1 - 2 Û Thử lại : bằng MTCT thấy vế trái âm và vế phải dương Þ Nếu dùng PP vẽ đồ thị hàm số y = + - - . Ta thây đồ thị không cắt trục hoành Ox. Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi và cũng cần nhớ phải thử lại nghiệm của phương trình để có kết luận đúng về nghiệm của phương trình. Bài 9 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : và Þ PT - = - Ta có thể trục căn thức 2 vế : = Þ x = 2 Kiểm tra thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 10. Giải phương trình sau: Giải: * Có x = -4 không là nghiệm của PT, khi x ≠ -4, Ta thấy trục căn thức ta có : Û (x + 4) -1 = 0 Û x = -4 hoặc Vậy ta có hệ: Û Û Thử lại Þ phương trình có 2 nghiệm : x = 0 và x =( loại x = -4) Nếu bạn không để ý đến x = -4 làm cho mẫu bằng 0 thì dễ xuất hiện nghiệm ngoại lai. Bài tập đề nghị Giải các phương trình 1/ + -4 = -2 2/ + = 3x + 2 -16 3/ = 1+ 4/ + = 5/ (x+4)(x+1) -3 =6 6/ - + = 7 7/ + - 4 = -2 8/ x + = 7 9/ + x - 2 = 0 10/ = (x - 4)