Chuyên đề Phương trình đại số giành cho đối tượng học sinh khá giỏi

Chñ ®Ò 1: ph­¬ng tr×nh I.Phương trình bậc ba: . 1.Cách giải: Cách 1: Phân tích thành nhân tử (hoặc nhẩm nghiệm, chia đa thức). Ví dụ: Giải phương trình . Giải: (Ta nhẩm được một nghiệm x=2, nghĩa là ta sẻ phân tích phương trình thành biểu thức có chứa x-2 hoặc ta chia cho x-2), cụ thể: . Cách 2: Đưa về dạng (dạng thu gọn); -Nếu thì đặt ta được phương trình dạng: ; TH1)Nếu thì đặt . TH2)Nếu thì đặt ta được phương trình . - Nếu thì đặt ta được phương trình dạng: ; và đặt ta được phương trình . 2.Chú ý: Công thức nghiệm của Cardano trên tập số phức là: (nếu và sử dụng cả với ; và ). 3.Bài tập: Giải các phương trình : (nhẩm nghiệm) a) ; b) ; c) . II.Ph­¬ng tr×nh bËc bèn: 1.C¸ch gi¶i: C¸ch 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö (hoặc nhẩm nghiệm, chia đa thức). Ví dụ 1: Giải các phương trình: (nhẩm nghiệm) a) ; b) . Ví dụ 2: Giải các phương trình: (phân tích thành nhân tử) a); b) ; c) . Dạng : . Ví dụ: Giải các phương trình: a) ; b) . Dạng : . Ví dụ: Giải các phương trình a) ; b) . Dạng: Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định Với: . Chọn n và q rồi giải hệ tìm m và p. Ví dụ: Giải các phương trình n -14 -7 - 2 -1 1 2 7 14 q 1 2 7 14 -14 -7 -2 -1 a) (chọn n và p từ các cặp : rồi giải hệ để tìm m và p thì ta chỉ chọn được: n=2, q=-7 , m=-5, p=1). b) ; c) . C¸ch 2: Quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai: Daïng I. : (Chú ý hệ số của phương trình) Chia hai veá phöông trình cho x2 rồi đaët aån phuï : t = . Ví dụ: Giải các phương trình: a) ( §H2013D); b) . Daïng II: Ta nhóm lại như sau: Rồi đặt . Ví dụ : Giải các phương trình a) ; b); c) . Daïng III F Ñaët aån phuï : t = ta được: . VÝ dô : Giaûi các phöông trình sau: a). b) . 2.Chú ý : Dạng tổng quát Chọn m để tam thức bậc 2 ở vế phải của phương trình có nghiệm kép. Từ kết quả m tìm được thay vào phương trình rồi giải tiếp. LUYỆN TẬP 1.1. Cho ph­¬ng tr×nh : (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÕt tháa m·n . Kết quả: 1.2. Cho ph­¬ng tr×nh : (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÕt tháa m·n . Kết quả: 1.3. Cho ph­¬ng tr×nh : (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã bốn nghiệm ph©n biệt nhỏ hơn 2 . Kết quả: 1.4. Cho ph­¬ng tr×nh : (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã bốn nghiệm ph©n biệt sao cho . Kết quả: 1.5.Cho ph­¬ng tr×nh: (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã bốn nghiệm ph©n biệt sao cho và . Kết quả: 1.6.Cho ph­¬ng tr×nh: (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt. 1.7.Cho ph­¬ng tr×nh: (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ©m ph©n biÖt. 1.8.Cho ph­¬ng tr×nh: (1) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt thỏa m·n hệ thức . Kết quả: Baøi 1.9: Cho phöông trình: (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät sao cho biểu thức đñaït GTNN Kết quả: khi Baøi 1.10: Cho phöông trình: (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät thỏa mãn Kết quả: Baøi 1.11: Cho phöông trình: (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù 2 nghieäm phaân bieät thỏa maõn Kết quả: Bài 1.12: Cho phương trình: Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. Kết quả: Bài 1.13: Cho phương trình: Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt. Kết quả: Baøi 1.14: Cho phöông trình: (1) Tìm m ñeå phöông trình (1) coù ba nghieäm phaân bieät x1, x2, x3 thoûa maõn Kết quả: Bài 1.15: Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn Bài 1.16: Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. 2.Ph­¬ng tr×nh bËc cao gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c hãa: Chó ý: a)Mét sè c«ng thøc l­îng gi¸c ; ; .... b)Mét sè h»ng ®¼ng thøc víi ; víi ;... C¸ch gi¶i: Ph­¬ng tr×nh . NÕu th× ®Æt ; NÕu th× ®Æt ( t×m ), ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm VÝ dô: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh a) ; b) ; H­íng dÉn: §Æt , ta ®­îc: . c) ; H­íng dÉn: §Æt , ta ®­îc: . III.Ph­¬ng tr×nh chøa Èn d­íi dÊu c¨n: C¸ch gi¶i: +Lµm mÊt c¨n. +Quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai. +Ph©n tÝch, nhÈm nghiÖm, ®¸nh gi¸ nghiÖm. +§­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh. 3.1)Ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c hãa ( lµm mÊt c¨n): NÕu trong ph­¬ng tr×nh chØ chøa mét hoÆc hai lo¹i c¨n : , , . vµ ta sÎ lµm mÊt c¨n tõ viÖc ®Æt , víi nh­ sau: ; ; . C©u 16. Gi¶i ph­¬ng tr×nh : ; . H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . §Æt , víi . Ta cã: kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn suy ra vµ . VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ ; ; vµ . 3.2)Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu: NÕu hµm sè ®¬n ®iÖu th× : . C©u 17.Gi¶i ph­¬ng tr×nh . Gi¶i: Víi ®iÒu kiÖn . XÐt hµm sè . Ta cã hµm sè ®ång biÕn trªn R. Suy ra . VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ . 3.3)Ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm vµ chøng minh nghiÖm : C©u 18. Gi¶i ph­¬ng tr×nh . H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . Ta cã x=9 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. XÐt hµm sè . Ta cã hµm sè ®ång biÕn trªn . Suy ra lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph­¬ng tr×nh. C©u 19. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (HSG NA 2010-2011) H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . Ta cã x=0 vµ x=1 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. XÐt trªn kho¶ng (-1;2), ta cã ; . B¶ng biÕn thiªn Suy ra ph­¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng hai nghiÖm x=0 vµ x=1 . 3.4)Ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ gi¸ trÞ cña hµm sè: NÕu vµ th× . C©u 20.Gi¶i ph­¬ng tr×nh . H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . XÐt hµm sè vµ trªn ®o¹n [2;4]. Ta cã vµ . Tøc lµ: vµ . Suy ra . VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ . 3.5)Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö liªn hîp: C©u 21.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (§H2010D). H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . Ta cã: . Ta thÊy . Suy ra . C©u 22.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (HSG TØnh NA 2010-2011). H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . Ta thÊy . Suy ra . C©u 23. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . (§H2013B) Gi¶i: Û Û Û x2 – x = 0 hay (VN 3.6)Ph­¬ng ph¸p vËn dông h»ng ®¼ng thøc: +Tõ h»ng ®¼ng thøc : , ta cã . C©u 23.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . H­íng dÉn: §Æt , , , ta cã: . Mµ . luyÖn tËp : C©u 24.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) ; b) (®Æt ); c) ; d) . C©u 25.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : a) (§H2006D). ; b). c). d). đ) (ĐH2013A) e). g). h) (HSG TØnh NA 2007) i) ; k) ; l) m) ; n) ; p) . q) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän tháa m·n . Chøng minh tam gi¸c ABC ®Òu. H­íng dÉn: PT. XÐt trªn kho¶ng (0;1). Ta cã . (HSG.2012-2013) Giải phương trình: . (Sáng tạo từ THTT433) Giải phương trình . C©u 26.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : a); b); c) (THTT427) C©u 27. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) ; b) ; c); d). C©u 28. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) ; b) ; c) . 3.7)Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh: VÝ dô: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) ; b) . H­íng dÉn: a)Víi ®iÒu kiÖn . §Æt vµ , ta cã : . Suy ra . b)Víi ®iÒu kiÖn . §Æt vµ , ta cã : . 3.8)Ph­¬ng tr×nh quy vÒ ph­¬ng tr×nh bËc hai: +D¹ng I: Ph­¬ng tr×nh ®¼ng bËc k ®èi víi vµ : . C¸ch gi¶i: KiÓm tra víi ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm hay kh«ng. Víi , chia c¶ hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho ta ®­îc: . §Æt . +D¹ng II: . C¸ch gi¶i: §Æt .( cã thÓ ®æi biÕn kh«ng hoµn toµn ). C©u 30. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: a) ; b) ; H­íng dÉn: a)Víi ®iÒu kiÖn . Ta cã: . vµ víi x=1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh. Chia hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cho x-1 ta ®­îc: . §Æt , víi , ta cã: . Víi . b)Víi ®iÒu kiÖn x>2. Ta cã : . Bµi tËp: C©u 31. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) ; b) . c) ; (cã thÓ sö sông tÝnh ®¬n ®iÖu); d) . C©u 32. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) ; b) . IV.ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh mò vµ l«garit: 4.1.Ph­¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm vµ chøng minh nghiÖm : C©u 33. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh sau: . H­íng dÉn: Ta cã : . XÐt hµm sè , víi . ; vµ . B¶ng biÕn thiªn: Suy ra . VËy nghiÖm cña bÊt ph­¬ng tr×nh lµ . 4.2.Ph­¬ng ph¸p chuyÓn thµnh hÖ: C©u 34. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: . (HSG TØnh NA 2010-2011). Hướng dẫn: §Æt vµ , u>0,v>0. Suy ra . Suy ra . VËy nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ . C©u 35.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . H­íng dÉn: §Æt , vµ . XÐt hµm sè , . 4.3.Ph­¬ng ph¸p sö dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè: C©u 36. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: . H­íng dÉn: Ta cã XÐt hµm sè , víi , ta cã . Suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn kho¶ng . Suy ra . 4.4.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè: VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . H­íng dÉn: Ta cã : . §Æt , víi , ta ®­îc: . Víi . C©u 37.(S¸ng t¹o)Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . Bµi tËp: C©u 38.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a); b) (HSG TØnh NA 2004) ; c) (HSG TØnh NA 2005). d). C©u 39.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a) . b) . C©u 40.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a); b) . C©u 41.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . C©u 42.Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh: a); b) ; 4.5.Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn kh«ng hoµn toµn: C©u 43. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a) ; d); b) . c); g). 4.6.Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng c¬ sè: C©u 44. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a); b); c); d). e) (§H2013D). 4.7.Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö: C©u 45.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a); b) ; c) ; C©u 46.Gi¶i ph­¬ng tr×nh: a) ; b). V.BiÖn luËn theo tham sè m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: - C¸ch gi¶i: §­a bµi to¸n vÒ d¹ng ( víi m lµ tham sè ) vµ dùa vµo miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè ®Ó biÖn luËn. Chó ý: Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi . -C¸c vÝ dô : VÝ dô 1. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: . H­íng dÉn: Víi ®iÒu kiÖn . XÐt hµm sè trªn ®o¹n [-1;8]. Víi -1<x<8 , ta cã: . B¶ng biÕn thiªn Suy ra víi th× ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt. VÝ dô 2. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm trªn tËp sè thùc a) ; b) (HSG NA 2007-2008). H­íng dÉn: a)§Æt , . Ta cã (*). XÐt hµm sè , víi . , vµ ; Suy ra . VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi . b)§Æt , víi . PT. C©u 8)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: a) (§H2008A); b) ; c); d). C©u 9)T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm trªn tËp sè thùc : a); b) ; (HSG2012-2013) Cho phương trình . Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm thực. ĐKXĐ: . Đặt 0,5 0,5 Ta có: Khi đó phương trình đã cho trở thành: 0,5 Xét hàm số với Ta có hàm số liên tục trên đoạn . 0,5 Suy ra , 0,5 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: Suy ra giá trị cần tìm của là: 0,5 C©u 10. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh a) cã nghiÖm . b) cã nghiÖm . c) cã nghiÖm . d) cã nghiÖm . C©u 11. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm a) (HSG TØnh 2001-2002). b) ; c) . C©u 12. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh a) cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt. b) cã nghiÖm . C©u 14.T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã ba nghiÖm thùc .