Chuyên đề Phương trình đại số vô tỉ

A. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỈ MỘT ẨN I. Phương pháp giải: 3 phương pháp: 1. Nâng lũy thừa: Cô lập căn thức, với điều kiện thích hợp, nâng lũy thừa hai vế để khử căn thức và đưa phương trình đã cho về phương trình đại số hữu tỷ. 2. Đặt ẩn phụ: Đưa về phương trình hoặc hệ phương trình đại số hữu tỷ. 3. Đánh giá: Dựa vào bất đẳng thức, có thể dùng BĐT Cô si, Bunhiacopxki, ... Dựa vào khảo sát hàm số: dùng đạo hàm xét sự biến thiên. Ngoài ra: dùng hình học, đồ thị, lượng giác, ... II. Các dạng phương trình đại số vô tỷ và cách giải: 1. Dạng một căn: - Dạng căn bậc lẻ = g(x) f(x) = - Quan trọng là dạng căn bậc chẵn = g(x) (1) a) Nâng lũy thừa: _C1: (1) _C2: . MXĐ: f(x) 0 (*) . Giải phương trình f(x) = được nghiệm . . Đối chiếu với (*): + không thỏa mãn (*): loại. + thỏa mãn (*): thử vào (1), nếu thỏa mãn thì là nghiệm. Ví dụ. Giải phương trình = (x – 4) (1) (ĐHDL Đông Đô 2001) Giải. (1) b) Đặt ẩn phụ (1 ẩn phụ): _ Thông thường, sau khi đặt ẩn phụ t ta đi đến 1 phương trình mới hoàn toàn theo 1 ẩn t. Ví dụ. Giải phương trình – 4 = – 2x – 8 (1) Giải. Đặt t = (t0) (1) trở thành: – 4t = – _ Tuy nhiên, trong một số trường hợp, sau khi đặt ẩn phụ t, phương trình vẫn còn lại cả ẩn x cũ, khi đó ta sẽ coi x là tham số trong phương trình mới hoặc coi x là ẩn thứ 2 (cùng với t) trong 1 hệ phương trình. Cụ thể: + Nếu phương trình mới (ẩn t, tham số x) có biệt thức chính phương ( = , g(x) là một đa thức, thường có bậc 1) thì giải t theo x; nếu phương trình là phương trình đẳng cấp (của x và t) thì đặt x = ty. Ví dụ 1. Giải phương trình (4x – 1) = 2 + 2x + 1 (1) (đề 78) Giải. Đặt t = (t 1) (1) trở thành (4x – 1)t = 2 + 2x – 1 = (chính phương) t = Ví dụ 2. Giải phương trình 2 – 3x + 2 = x (1) Giải. Đặt t = (t 0) (1) trở thành + xt – 2 = 0. _C1: = 9 (chính phương) t = _C2: phương trình đẳng cấp đặt x = ty: + y – 2 = 0 (1 + y – 2) = 0. Ví dụ 3. Giải phương trình 2(1 – x) = – 2x – 1. + Nếu phương trình mới không phải đẳng cấp và cũng không chính phương thì coi t và x là 2 ẩn của 1 hệ phương trình. Ví dụ 1. Giải phương trình + = 5 (1) (đề 112) Giải. Đặt t = (t 0) Ta có hệ phương trình Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình + 1 = 2 (1 căn bậc lẻ) (đề 73) Giải. Đặt t = . Có hệ phương trình: Đây là hệ đối xứng loại 2. _ Chú ý: trong trường hợp đặt = t (hay gặp) mà không giải được (hoặc rất khó khăn) hệ phương trình 2 ẩn x, t thì ta thay đổi cách đặt t cho phù hợp, chẳng hạn đặt = at + b (a, b dự đoán được) để có được hệ phương trình đối xứng. Ví dụ 1. Giải phương trình + 4x = (1) Giải. . Nếu đặt t = (t 0) ta được hệ khó khăn . Ta dự kiến đặt = at + b để đưa về hệ PT đối xứng: có hệ phương trình: hệ này đối xứng nếu . Như vậy ta đặt t + 2 = (t – 2) Khi đó có hệ pt đối xứng: Ví dụ 2. Giải phương trình 7 + 7x = (x > 0) (ĐH An ninh D G 2000) Giải. Dự đoán đặt = at + b ta tìm được a = 1, b = để có hệ phương trình đối xứng. Như vậy sẽ đặt t + = . c) Đánh giá: Ví dụ. Giải phương trình 2x + = (1) Giải. MXĐ: x 0. Có 2x + = (2) (BĐT Cô si) (x 0) Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra 8x = x = . 2. Dạng nhiều căn: a) Nhiều căn bậc chẵn: Nâng lũy thừa: . Tìm MXĐ của phương trình đã cho (phương trình (1)) được điều kiện (*). . Biến đổi (1) với điều kiện (*) về phương trình có mỗi số hạng ở mỗi vế đều không âm. . Nâng lũy thừa để khử bớt căn, đưa về dạng 1 căn. Ví dụ. Giải phương trình – = (1) Giải. ĐK: x (1) = + 7x – 13 = 5x – 27 + 2 + 3x – 9 23 – x = 2 (Dạng 1 căn) Đặt ẩn phụ: _ Đặt 1 ẩn phụ (t): Ví dụ 1. Giải phương trình + = (1) Giải. Đặt t = = (t > 0) (1) trở thành: t + = – 3t + = 0. Ví dụ 2. Giải phương trình + + = 5 (1) (ĐH NNHN 2001) Giải. Đặt t = + = (1) trở thành: t + = 5. Ví dụ 3. Giải phương trình + = 3 + (1) Giải. Đặt = t (t 0) (1) trở thành: t + = 3 + = 3 + – t (dạng 1 căn) _ Đặt nhiều ẩn phụ: Ví dụ 1. Giải phương trình + = 3 + (1) Giải. Đặt (1) trở thành: u + v = 3 + . Ta có hệ phương trình Ví dụ 2. Giải phương trình 3(2 + ) = 2x + (HVKTQS 2001) Giải. Đặt Đánh giá: Ví dụ 1. Giải phương trình + 2 + + 4 = 25 (1) Giải. Đặt f(x) = VT(1), xét trên [, ) Ta thấy f ’(x) > 0 x > f(x) đồng biến trên [, ) nếu (1) có nghiệm thì nghiệm đó duy nhất. Xét thấy f(5) = 0 x = 5 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 2. Giải phương trình + = 4 (1) Giải. MXĐ: x > 0 Có = (2) x > 0 (BĐT Côsi) Vậy (1) dấu “=” ở (2) xảy ra = x = 1. Ví dụ 3. Giải phương trình + = – 6x + 11. (1) Giải. ( + )(x – 2 + 4 – x) = 4. (BĐT Bunhiacopxki) VT 2. VP(1) = + 2 2. Vậy (1) x = 3. Ví dụ 4. Giải phương trình + = + (1) (HV CSND 2001) Giải. Viết = = Vậy (1) x = 2. Ví dụ 5. Giải phương trình + = 2 Giải. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki 2 lần. b) Nhiều căn bậc lẻ: Nâng lũy thừa: + = A + B + 3( + ) = C A + B + 3 = C (Bước này không tương đương) 3 = C – A – B 27ABC = Ví dụ 1. Giải phương trình + = . Ví dụ 2. Giải phương trình + = (1) (đề 113) Giải. (1) x – 1 + x – 2 + 3( + ) = 2x – 3 2x – 3 + 3 = 2x – 3 Thử lại vào (1) thấy thỏa mãn cả. Đặt ẩn phụ: Ví dụ 1. Giải phương trình + = 3. (1) Giải. Đặt u = v = Ta có hệ Ví dụ 2. Giải phương trình + + = 2 (1) Giải. Đặt u = v = w = Ta có Từ hệ (u + v)(v + w)(w + u) = 0 Đánh giá: dùng đạo hàm (ít dùng bất đẳng thức) Ví dụ. Giải phương trình + + = 0 (1) (CĐ GTVT 2003) Giải. Đặt VT(1) = f(x). Có f ’(x) 0 x nếu (1) có nghiệm thì có nghiệm duy nhất. Nhận thấy f(– 1) = 0 x = – 1 là nghiệm duy nhất. c) Phương trình có cả căn bậc chẵc, cả căn bậc lẻ: _ Cách 1: làm mất căn lần 1: đặt 1 ẩn phụ. làm mất căn lần 2: nâng lũy thừa. _ Cách 2: Đặt nhiều ẩn phụ. Các ví dụ: Ví dụ 1. Giải phương trình – = 1 (1) Giải. +Cách 1: Đặt t = (t 0) (1) trở thành = t + 1 + 7 = + 3 + 3t + 1 (t – 1)( + 3t + 6) = 0 “tạm biệt” +Cách 2: Đặt có hệ Ví dụ 2. Giải phương trình – = 1 (1) Giải. + Cách 1: Đặt t = , (1) trở thành: = t + 1 + Cách 2: Đặt có hệ III. Bài tập áp dụng: Lũy thừa: 1) – = 1. (đề 12) 2) – – = 0. (ĐH KTQD 2000) 1 ẩn phụ: 3) (x + 5)(2 – x) = 3. (ĐH Ngoại Thương CSII 2000) 4) + – 4 = – 2. (ĐH DLHP 2001) 5) + = 7. (CĐ SPKT Vinh 2001) Nhiều ẩn phụ: 6) + – = 3. (ĐH Y HP CB 2000) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I. Định nghĩa: Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức. II. Các phương pháp giải: _ Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt. _ Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán. _ Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán. _ Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải. 1. Biến đổi tương đương: _ Nâng lên lũy thừa, đưa về bất phương trình hoặc hệ bất phương trình đại số hữu tỉ. Dạng 1. < g(x) (*) (Chỉ xét n chẵn) (*) Dạng 2. g(x) (*) (n chẵn) (*) Ví dụ 1. Giải bất phương trình > x – 5 Giải. bpt Ví dụ 2. Giải bất phương trình < 3 Giải. _ Nếu x > 0: bpt > – 3x + 1 _ Nếu x < 0: bpt < 1 – 3x Ví dụ 3. Giải và biện luận bất phương trình m(x – 2) (*) Giải. Xét các trường hợp của tham số m: +) m = 0: (*) 0 – 4 0 x (; – 2] [2; ) +) m > 0: (*) sau đó xét tiếp 0 1 +) m 0 Kết luận nghiệm theo các trường hợp của m. Chú ý. Trong trường hợp bất phương trình cần giải chứa nhiều dấu căn ta cần biến đổi đưa về dạng (I) hoặc (II). Ví dụ 4. Giải bất phương trình + < (*) Giải. điều kiện: x 2 Với điều kiện đó (*) x + 1 + x – 2 + 2 < x + 3 < (– x + 4) Nhận xét. Phương pháp này ngắn gọn nhưng trong nhiều trường hợp phép nâng lũy thừa sẽ dẫn đến những bất phương trình đại số bậc cao không giải được. Khi đó ta phải áp dụng phương pháp khác. Bài tập áp dụng: 1) Giải các bất phương trình: a) – < b) < 21 + x c) d) e) f) g) k) l) m) 2) Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) x b) < x – m c) – > 2. Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa): Ví dụ 1. Giải bất phương trình + 2 3x + 4 (*) Giải. (*) – 3x + 11 + 2 – 15 0 Đặt t = ... Ví dụ 2. Giải bất phương trình x + < x (1) trong đoạn [0; 1] Giải. Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên: (1) 1 + 2x < (1 – ) (2) Đặt t = x, 0 t (2) trở thành: – 2t – 1 > 0 so sánh với điều kiện 0 t ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải bất phương trình ( + 1) + ( + 1) + 3x > 0 (1) Giải. TXĐ: x – 1 _ nếu x 0: VT 2 > 0 bất phương trình nghiệm đúng x 0 _ nếu – 1 x 0 Đặt t = , ta được: – 3t + 2 > 0 Nhận xét x [– 1; 0) t < 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1 x Ví dụ 4. Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm + 2 Giải. _ nếu a < 0: bất phương trình vô nghiệm _ nếu a = 0: bất phương trình có nghiệm x = 0 _ nếu a > 0: điều kiện 0 1 Đặt = cosy, y [0; ]. Ta được: + – 2 2a + 2asiny 4 siny (*) để (*) có nghiệm y [0; ] ta phải có 4 – 2a 0 0 < a 2 Kết luận: điều kiện của a là 0 a 2 Bài tập áp dụng: 1) Giải các bất phương trình: a) + > 5 b) + < c) + 2 – 2) Tìm a để bất phương trình sau đúng với x [– 2; 4]: – 4 – 2x + a – 18 3. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm): Nhận xét. Xét hàm số f(x), x D. Đặt M = , m = . f(x) có nghiệm x D M . f(x) đúng với x D m . f(x) có nghiệm x D m . f(x) đúng với x D M Ví dụ 1. Giải bất phương trình: + < 9 Giải. Xét f(x) = + – 9, x f ’(x) = + > 0, x > f(11) = 0, < 0 f(x) < 0 x < 11 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 11. Ví dụ 2. Tim m để bất phương trình + – (*) có nghiệm. Giải. đk: – 3 x 6 Đặt u = + , u [3; 3] (*) trở thành: + u + m Xét f(u) = + u + , u [3; 3] = f(3) = Vậy để bất phương trình đã cho có nghiệm ta phải có m . Chú ý. Ngoài ra ta có thể dùng bất đẳng thức để đánh giá. Ví dụ 3. Giải bất phương trình + 2 (*) Giải. đk: . nếu x < 1: (*) + 2 đúng. . nếu x = 1: (*) đúng. . nếu x = 4: (*) đúng. . nếu x > 4: (*) + 2 vô nghiệm. Vậy nghiệm của (*) là x (; 1] {4}. Ví dụ 4. Giải bất phương trình + (x – 3) Giải. đk: x 1 Nhận xét: + (x – 3) + , x 1 (Bunhia) Do đó + (x – 3) Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. Bài tập áp dụng: 1) Giải bất phương trình + < 4x – 9 + 2 2) Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: a) mx – m + 1 b) x – m > m + 1 3) Giải và biện luận theo a > 0 bất phương trình – – 4) Tìm a để bất phương trình – m vô nghiệm. 4. Phương pháp đồ thị: _ Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm như sau: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ + Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm dưới đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta được tập nghiệm. Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: – > m Giải. Đặt u = 0, v = 0 Ta được: Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < . Ví dụ 2. Cho bất phương trình: – 6x + m + 2 Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn với độ dài l thỏa mãn: 2 l 4. Giải. Xét đồ thị hàm số y = , y 0. Ta có: có đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng 3. Còn đồ thị hàm y = – 6x + m + 2 là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 3 Độ dài đoạn nghiệm l = 2 parabol đi qua điểm (2; 2) 2 = 4 – 12 + m + 2 m = 2 + 6 Độ dài đoạn nghiệm l = 4 parabol đi qua điểm (1; ) = 1 – 6 + m + 2 m = 3 + Vậy điều kiện của m là 3 + m 6 + 2 Bài tập áp dụng: 1) Cho bất phương trình – 2x + 5 a) Tìm m để bất phương trình vô nghiệm. b) Tìm m để tập nghiệm là một đoạn với độ dài là 2. 5. Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp này thường áp dụng để tìm điều kiện của tham số sao cho tập nghiệm của bất phương trình thỏa mãn một tính chất T nào đấy. Gồm 2 bước: b1: Nếu tập nghiệm thỏa mãn tính chất T thì tham số phải thuộc tập nào đó (đk cần). b2: Loại những giá trị của tham số trong làm cho nghiệm của bất phương trình không thỏa mãn tính chất T (đk đủ). Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình – 2x + m (*) nghiệm đúng x [– 4; 6]. Giải. +) đk cần: (*) nghiệm đúng x [– 4; 6] (*) nghiệm đúng với x = 1 m 6. +) đk đủ: m 6 ta có VT 5, x [– 4; 6] VP 5, x [– 4; 6] Vậy điều kiện cần và đủ của m là m 6 Bài tập áp dụng: 1) Tìm a để bất phương trình x + > 1 nghiệm đúng x [; 1] III. Luyện tập: 1) Giải bất phương trình: > 2 + Giải. đk: – 2 x 4 Xét f(x) = – – 2 f ’(x) 0, x (– 2; 4) f(1) = 0 f(x) > 0 4 x > 1 2) Giải bất phương trình: < 2x + 9 Giải. đk: (1) Với điều kiện đó ta có: = = 2x + 2 + Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành < hay x < Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là: [; ) \ {0} Bài tập áp dụng: 1. Giải các bất phương trình a) – 2 > b) x + > 2, + – + 4x – 6 = 0. (ĐH GTVT CSII 2000)