Chuyên đề Phương trình đường thẳng với tam giác

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VỚI TAM GIÁC I-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG CÙNG TÊN MỖI ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,hai đường cao BB’ và CC’ tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa trung tuyến AM của ∆ABC Các bước giải 1- Viết phương trình đường thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d1) làm vtpt 2- Giải hệ phương trình : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C 3- Viết phương trình đường thẳng (d4) - chứa cạnh AB :Đi qua A và vuông góc với (d2) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d2) làm vtpt 4- Giải hệ phương trình : pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh B 5-Xác định tọa độ trung điểm M của BC ,viết pt đường thẳng AM : đi qu A có vtcp là AM uuur . Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1), hai đường trung tuyến BM và CN tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AC của ∆ABC Các bước giải 1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua điểm G -Tứ giác BGCA’ là hình bình hành nên từ đây xác định được tọa độ các đỉnh B,C 3-Viết phương trình đường thẳng (d3) :đi qua A’ và song song với (d1) 4-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C 5-Xác định tọa độ trung điểm M của GA’,điểm M cũng là trung điểm của BC nên ta xác định được tọa độ của đỉnh B 6-Viết phương trình đường trung trực của cạnh AC : đi qua M và có vtpt là BC uuur . VD: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x-2y+1=0 và y-1=0. Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AC. Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1), hai đường phân giác trong của các góc: ABC và ACB tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh BC của ∆ABC Các bước giải Luyện thi Đại học 1 1-Xác định tọa độ các điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d1) 2- Xác định tọa độ các điểm A2 đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2) 3-Viết phương trình tổng quát đường thẳng (d3) đi qua A1 và A2 – đây là đường thẳng chứa cạnh BC (Vì ∆CAA1 và ∆BAA2 cân nên A1 và A2 nằm trên đường thẳng BC) 4- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh C 5- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh B 6-Xác định tọa độ trung điểm M của BC 7-Viết pt đường thẳng (d4) đi qua M và vuông góc với BC , (d4) là trung trực của BC VD: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 . a. Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. b. Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh BC của ∆ABC Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1), hai đường trung trực của các cạnh AB, BC tương ứng có phương trình là : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2). a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C. b/Viết phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh AC của ∆ABC. Hướng dẫn : Các bước giải 1- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng (d1). 2-Xác định tọa độ đỉnh C đối xứng với điểm A qua điểm H. 3- Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc K của điểm C trên đường thẳng (d2). 4- Xác định tọa độ đỉnh B đối xứng với điểm C qua điểm K. 5-Xác định tọa độ trung điểm M của AC,Viết pt đường thẳng (d3): qua M và vuông góc với AC, (d3) là đường trung trực của cạnh AC. II-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG KHÁC TÊN CÙNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường cao BB’ và trung tuyến BM tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C . b/Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC của ∆ABC Các bước giải 1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ đỉnh B 2- Viết phương trình đường thẳng (d3) - chứa cạnh AC :Đi qua A và vuông góc với (d1) tức là nhận vtcp của đường thẳng (d1) làm vtpt 3-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ của trung điểm M của cạnh AC Luyện thi Đại học 2 4-Xác định tọa độ đỉnh C (M là trung điểm AC) VD: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 . a) Tính tọa độ điểm A. b) Viết phương trình của các cạnh của tam giác ABC. Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường cao BB’ và phân giác trong của góc ABC tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phương trình tổng quát của đường thẳng chứa trung tuyến CM của ∆ABC Các bước giải 1- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ đỉnh B 2- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2) ,ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC 3-Viết phương trình đường thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’ 4-Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh AC : đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d1) 5-Giải hpt : pt của (d3) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh C 6-Xác định tọa độ trung điểm M của AB,Viết phương trình trung tuyến CM. Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1 ;y1) ,đường trung tuyến BM và đường phân giác trong của góc ABC tương ứng có phương trình là: ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) a/Tìm tọa độ các đỉnh B,C b/Viết phương tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB của ∆ABC Các bước giải 1-Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ của đỉnh B 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2), ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC 3-Viết phương trình đường thẳng (d3) – chứa cạnh BC : đi qua hai điểm B và A’ 4- Viết phương trình đường thẳng (d4) đi qua A và song song với đường thẳng (d3) 5- Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4) được tọa độ của đỉêm D,ta có tứ giác ABCD là hình bình hành 6-Xác định tọa độ trung điểm M của BD,điểm M cũng là trung điểm của AC , xác định được tọa độ đỉnh C 7- Viết phương trình đường thẳng AB Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh AC tuơng ứng có phương trình là: ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Các bước giải Luyện thi Đại học 3 1-Xác định tọa độ đỉnh C: Điểm C đối xứng với điểm A qua (d2) 2-Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua (d1),ta có ∆BAA’ cân tại đỉnh B nên A’ nằm trên đường thẳng BC 3-Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’. 4- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ của đỉnh B Luyện thi Đại học 4 III-TAM GIÁC ABC BIẾT TỌA ĐỘ ĐỈNH A VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAI ĐƯỜNG KHÁC TÊN MỖI ĐƯỜNG ĐI QUA MỘT TRONG HAI ĐỈNH CÒN LẠI Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường cao BB’ và trung tuyến CM tương ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Các bước giải 1-Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2) 2-Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1) 3-Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ đỉnh C. 4-Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A và song song với (d1) 5-Giải hpt : pt của (d2) và pt của (d4),xác định tọa độ giao điểm P của (d2) và (d4) ,ta có tứ giác ABPK là hình bình hành. 6-Xác định tọa độ trung điểm M của PK ,ta có M cũng là trung điểm của AB .Xác định được tọa độ của đỉnh B. Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,đường cao BB’ và phân giác trong của góc ACB tuơng ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C. Các bước giải 1- Viết phương trình đường thẳng (d3) –chứa cạnh AC : Đi qua A và vuông góc với (d1). 2- Giải hpt: pt của (d2) và pt của (d3) được tọa độ đỉnh C. Xác định tọa độ điểm A’đối xứng với điểm A qua (d2) ,ta có ∆CAA’ cân tại đỉnh C nên A’ nằm trên đường thẳng BC. 3- Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’ 4- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ đỉnh B Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và phân giác trong của góc ACB tuơng ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C . Các bước giải 1- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d2) được tọa độ giao điểm K của (d1) và (d2) 2- Viết phương trình đường thẳng (d3) đi qua A và song song với (d2) 3- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ giao điểm P của (d1) và (d3),tứ giác APCK là hình bình hành 4- Xác định tọa độ trung điểm M của PK,điểm M cũng là trung điểm của AC,xác định được tọa độ của đỉnh C. 5- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d2) , ta có ∆CAA’ cân tại đỉnh C nên A’ nằm trên đường thẳng BC 6- Viết phương trình đường thẳng (d4) –chứa cạnh BC : đi qua hai điểm C và A’ 7- Giải hpt: pt của (d1) và pt của (d4) được tọa độ của đỉnh B Luyện thi Đại học 5 Bài toán 4*: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ∆ABC có A(x1;y1) ,trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh BC tuơng ứng có phương trình : ax+by+c=0 (d1) , a’x+b’y+c’=0 (d2) -Tìm tọa độ các đỉnh B,C Các bước giải 1-Viết phương trình đường thẳng (d3) đi qua điểm A và vuông góc với (d2) 2- Giải hpt : pt của (d1) và pt của (d3) được tọa độ giao điểm D của (d1) và (d3),tứ giác ABCD là hình bình hành.Gọi N là trung điểm của BC,ta có 2AD BN= uuur uuur 3-Điểm B nằm trên (d1) nên có tọa độ : 22 2 2( , ) ( , ) ax cB x x y b − − = . Điểm N nằm trên (d2) nên có tọa độ .. Đây thực chất là hệ hai phương trình hai ẩn : x2 ; x3 Tìm được x2; x3 tức là tìm được tọa độ của các đỉnh B ,C MỘT VÀI LƯ Ý RẤT QUAN TRỌNG : 1/Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường cao BB’ (hay CC’) hoặc trung trực của cạnh AB (hay trung trực của cạnh AC) Thì nghĩ tới viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng đó 2/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường trung tuyến BM (Hay trung tuyến CN) Ta phải nghĩ tới tạo thành một hình bình hành ,kẻ song song.Vì trung tuyến liên quan đến trung điểm, hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường – có sự liên quan với nhau 3/ Giả thiết cho tọa độ đỉnh A và phương trình đường phân giác trong của một góc của tam giác .Ta phải nghĩ tới lấy đối xứng điểm A qua đường phân giác đó để tạo thành tam giác cân và có A’ nằm trên đường thẳng BC.Vì phân giác trong liên quan đến tam giác cân. Những liên tuởng nhu trên giúp ta nhanh chóng tìm được định hướng cho lời giải bài toán. --------------- Hết ------------ Luyện thi Đại học 6