Chuyên đề Phương trình lượng giác (1)

KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tan2a = tan(a - b) = 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a = sin2a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos .cos cosa - cosb = -2.sin .sin sina + sinb = 2.sin .cos sina - sinb = 2.cos .sin 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] 6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x rad -p - - - - - - - 0 p độ -180o -150o -135o -120o -90o -60o -45o -30o 0 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o sin 0 - - - -1 - - - 0 1 0 cos -1 - - - 0 1 0 - - - -1 tan 0 1 || - -1 - 0 1 || - -1 - 0 cot || 1 0 - -1 - || 1 0 - -1 - || II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1£ a £ 1) sinx = a Û; k Î Z +sinx = sina Û; k Î Z ( a = sina) sinx = 0 Û x = kp; k Î Z sinx = 1 Û x = + k2p; k Î Z sinx = -1 Û x = -+ k2p; k Î Z 2.Phương trình cosx=a.( -1£ a £ 1) cosx = a Û; k Î Z +cosx = cosa Û; k Î Z ( a = cosa) cosx = 0 Û x = + kp; k Î Z cosx = 1 Û x = k2p; k Î Z cosx = -1 Û x = p+ k2p; k Î Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: + + 4.Phương trình cotx=a. TXĐ: + + III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c () đặt: phương trình trở thành: *Chú ý +Phương trình có nghiệm khi +Nếu thì: 2.Phương trình : (1) +Nếu a = 0: +Nếu c = 0: +Nếu : BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) b) c) d) Giải. a) b) c) sin = 1 d) sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 Bài 2.Giải các phương trình: a) b) c) sin = - 1 d) e. f. g. h. i. Bài 3.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Bài 4.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau : a) b) c) d) Baøi giaûi : a) b) c) Sin = 1 d) sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc : a) b) c) Sin = - 1 d) Câu 3(3đ) : Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ d) 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 4(3đ) : Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ d) 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 5(3đ) : Giải các phương trình sau: a. b. c. d. a) b) c) 0.25đ*2 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ d) 0.25đ*2 0.25đ 0.25đ*3 Câu 6(3đ) : Giải Phương trình a. b. c. cos2x + sinx +1=0 a/ b c. Câu 7 a. b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 c.2 cos2x -3cosx +1 =0 Đáp án a b c. câu 8. a. Giải các Phương trình sau: b.sin2x +3sinx cosx -5 cos2x= 0 a/ b/ (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) (0 Câu9: Giải các Phương trình sau a. b. c. Đs a. b. x=k3600 c. Câu 10.(2đ) : Giải Phương trình a. tan(x +200) = b. sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 DS a. x=100 +k1800 b. c. Câu 11(2đ) : Giải Phương trình a. b. 1a) 1b) (0,25) (0,25*2) Câu 12(2đ) a. b.sin(2x + ) = - Đáp án : a. b. Câu 13(2đ) a. b.cos(2x + ) = - c. 2 Đáp án : a. b. c. h. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 1. Bài 2. , Bài 3. Bài 4. (1) Điều kiện: Bài 5. (*) Điều kiện: C2 Bài 6. Bài 7. Bài 8. Bài 9. Bài 10. Ta có: Đặt: Phương trình trở thành: loại Bài 11. Bài 12. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình có nghiệm: Bài 13. Bài 14. Bài 15. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình có nghiệm là: Bài 16. Vậy,phương trình có nghiệm là: Bài 17. Bài 18. Bài 19.Cho phương trình: (*) a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm. b.Giải phương trình khi m = -1. Giải. a. (*)có nghiệm khi: b.Khi m = -1 phương trình trở thành: Bài 20. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Giải. Ta có: (**) a. khi phương trình trở thành: b.Phương trình có nghiệm khi: Bài 21.Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. p. q. Bài 22. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 24. Cho phương trình: (*) a.Giải phương trình khi b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. (1) Điều kiện: Ta có: Bài 2. (*) Cách 1: Cách 2: Cách 3: Cách 4: Bài 3. Bài 4. (1) Điều kiện: Bài 5. (*) Điều kiện: Bài 6. (*) Điều kiện: Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: Bài 7. Bài 8. Bài 9. Bài 10. (1) Điều kiện: Đặt: phương trình trở thành: Vậy,phương trình có nghiệm: Bài 11. (*) Điều kiện: Vậy,phương trình có nghiệm: Bài 12. Bài 13. (*) Bài 14. (*) Ta thấy: Thay vào phương trình (*) ta được: không thỏa mãn với mọi k Do đó không là nghiệm của phương trình nên: Vậy,phương trình có nghiệm: , Bài 15. (1) Điều kiện: Ta có: Vậy,phương trình có nghiệm: , Bài 16. Đặt: phương trình trở thành: Vậy,phương trình có nghiệm: , Bài 17. (1) Điều kiện: C2: Đặt: Bài 18. (1) Điều kiện: Vậy,phương trình có nghiệm: Bài 19. (*) Điều kiện: Ta có: Vậy,phương trình có nghiệm: Bài 20. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau ; ; ; 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện: Khi đó (do ) Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Ta có Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó Đối chiếu với điều kiện ta được Vậy phương trình có nghiệm là Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Nhận thấy , do đó phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ (2003_A); 3/ (2003_B); 4/ (2003_D); 5/ (2004_B). 2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác. ; ; ; + Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó phương trình đã cho trở thành Với thì Với thì Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó phương trình đã cho trở thành Giả sử , khi đó (vô lí) Do đó phương trình tương đương với Vậy phương trình có nghiệm là Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó thoả mãn điều kiện, do đó ta được Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vô lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện. Giải (2) ta được , (với ) Vậy phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó Giả sử , thay vào (*) ta được (vô lí) Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện. Giải (*) ta được Ví dụ 5: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện phương trình tương đương với + Đối chiếu điều kiện (1) Giả sử Do nên Lại do nên Từ đó . Suy ra với thoả mãn phương trình + Đối chiếu điều kiện (2) Giả sử Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại thoả mãn (3). Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ ; 3/ 4/ 5/ 3. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) 3.1 Kiến thức cơ sở + Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG được biểu diễn bởi một điểm trên ĐTLG; được biểu diễn trên ĐTLG bởi 2 điểm đối xứng nhau qua O; được biểu diễn trên ĐTLG bởi 3 điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh một tam giác đều nội tiếp ĐTLG; được biểu diễn trên ĐTLG bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp ĐTLG. + Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”). Những điểm đánh dấu “o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện. 3.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D) Giải phương trình O y x Lời giải: Điều kiện Khi đó phươngtrình đã cho trở thành Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A) Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó phương trình đã cho trở thành o y x Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Khi đó Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác Ta được nghiệm của phương trình là O x y . Các bài tập tương tự 1/ ; 2/ ; 3/ ; 4/ ; 5/ (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A). II. Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế. Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau 1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào? Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả. Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác”là ngắn gọn hơn cả. 2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày. Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không? Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm nhưng yêu cầu học sinh phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác. Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là 3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào? Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán. Với những bài toán không áp dụng được theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3. Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhauthì phương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh. Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp hơn ( ví dụ 1, ví dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này). III. Hướng phát triển chuyên đề: Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện. Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm số mũ, lôga rít và hàm số dưới dấu căn PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2002 - 2011 [ĐH A02] Tìm : [ĐH B02] [ĐH D02] Tìm : [Dự bị 1 ĐH02] Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc [Dự bị 2 ĐH02] [Dự bị 3 ĐH02] [Dự bị 4 ĐH02] [Dự bị 5 ĐH02] Cho phương trình : a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm. [Dự bị 6 ĐH02] [ĐH A03] [ĐH B03] [ĐH D03] [Dự bị 1 ĐH A03] [Dự bị 2 ĐH A03] [Dự bị 1 ĐH B03] [Dự bị 2 ĐH B03] [Dự bị 1 ĐH D03] [Dự bị 2 ĐH D03] [ĐH B04] [ĐH D04] [Dự bị 1 ĐH A04] [Dự bị 2 ĐH A04] [Dự bị 1 ĐH B04] [Dự bị 2 ĐH B04] [Dự bị 1 ĐH D04] [Dự bị 2 ĐH D04] [ĐH A05] [ĐH B05] [ĐH D05] [Dự bị 1 ĐH A05] Tìm [Dự bị 2 ĐH A05] [Dự bị 1 ĐH B05] [Dự bị 2 ĐH B05] [Dự bị 1 ĐH D05] [Dự bị 2 ĐH D05] [ĐH A06] [ĐH B06] [ĐH D06] [Dự bị 1 ĐH A06] [Dự bị 2 ĐH A06] [Dự bị 1 ĐH B06] [Dự bị 2 ĐH B06] [Dự bị 1 ĐH D06] [Dự bị 2 ĐH D06] [ĐH A07] [ĐH B07] [ĐH D07] [Dự bị 1 ĐH A07] [Dự bị 2 ĐH A07] [Dự bị 1 ĐH B07] [Dự bị 2 ĐH B07] [Dự bị 1 ĐH D07] [Dự bị 2 ĐH D07] [ĐH A08] [ĐH B08] [ĐH D08] [CĐ 08] [Dự bị 1 ĐH A08] [Dự bị 2 ĐH A08] [Dự bị 1 ĐH B08] [Dự bị 2 ĐH B08] [Dự bị 1 ĐH D08] [Dự bị 2 ĐH D08] [ĐH A09] [ĐH B09] [ĐH D09] [CĐ 09] [ĐH A10] [ĐH B10] [ĐH D10] [ĐH A11] [DB A11] [ĐH B11] [ĐH D11] [DB D11] -------------------------------------------------------------------------------- HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 Bài Hướng dẫn giải Kết qủa 1 A.2002 Tìm : (1) Điều kiện : (1) Vì Nên nghiệm của phương trình : 2 B.2002 3 D.2002 Tìm : (1) Ta có : (1) Vì 4 DB 1 2002 Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc : (1) (1) (2) với Ta có : Bài toán thành : Xác định m để phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn (2) Đặt Số nghiệm của (2) là số giao điểm của d và (P) 1 1 o Khảo sát hàm số : BBT Phương trình (2) có ít nhất một nghiện trên đoạn 5 DB 2 2002 (1) Điều kiện : (1) 6 DB 3 2002 (1) Điều kiện : (1) 7 DB 4 2002 (1) Điều kiện : Ta có : (1) 8 DB 5 2002 Cho phương trình : a) Giải phương trình với b) Tìm a để phương trình trên có nghiệm. Giải. a)Với , phương trình thành : (1) vì : (1) b) (2) Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm : 9 DB 6 2002 (1) Điều kiện : (1) Vì : ; 10 A2003 (1) Điều kiện : (1) * * ( vô nghiệm ) 11 B2003 (1) Điều kiện : (1) 12 D2003 (1) Điều kiện : (1) So với điều kiện : Nghiệm của (1) : 13 DB 1 A2003 Điều kiện : 14 DB 2 A2003 Điều kiện : 15 DB 1 B2003 * ; * 16 DB 2 B2003 (1) Điều kiện : (1) Vì : Nên nghiệm của phương trình : 17 DB 1 D2003 (1) Điều kiện : (1) 18 DB 2 D2003 (1) Điều kiện : (1) 19 B2004 Điều kiện : 20 D2004 21 DB 1 A2004 22 DB 2 A2004 (1) TXĐ : Chú ý : ; (1) (2) Đặt : ; ,khi đó : (3) ( nhận xét và suy ra : ) (3) 23 DB 1 B2004 24 DB 2 B2004 Điều kiện : (1) 25 DB 1 D2004 26 DB 2 D2004 (1) Đặt với (1) Với 27 A2005 28 B2005 29 D2005 30 DB 1 A2005 Tìm của : (chia 2 vế cho 2) Vì Vì 31 DB 2 A2005 32 DB1 B2005 33 DB 2 B2005 (1) Điều kiện : (1) 34 DB 1 D2005 (1) Điều kiện : (1) 35 DB 2 D2005 Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến Ta có : Nghiệm của (1) : 36 A2006 (1) điều kiện : (1) vì : Nghiệm của (1) 37 B2006 (1) Điều kiện : Ta có : (1) 38 D2006 39 DB 1 A2006 (1) Ta có (1) 40 DB 2 A2006 41 DB 1 B2006 (1) điều kiện : (1) 42 DB 2 B2006 ; 43 DB 1 D2006 44 DB 2 D2006 45 A2007 46 B2007 47 D2007 48 DB 1 A2007 (1) điều kiện : (1) 49 DB 2 A2007 50 DB 1 B2007 51 DB 2 B2007 (1) điều kiện : (1) 52 DB1 D2007 53 DB1 D2007 (1) điều kiện : (1) 54 A2008 (1) Điều kiện : và (1) Chú ý : (1) 55 B2008 56 D2008 57 CĐ 2008 58 DB 1 A2008 (1) điều kiện : (1) 59 DB 2 A2008 60 DB 1 B2008 61 DB 2 B2008 62 DB 1 D2008 63 DB 2 D2008 (1) điều kiện : (1) 64 A2009 (1) điều kiện : (1) ; 65 B2009 66 D2009 67 CĐ 2009