Chuyên đề Phương trình lượng giác - Thầy Đỗ Kim Sơn

Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Tiền GiangNKD Trường THPT Chuyên Tiền Giang Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn. Thầy Nguyễn Tuấn Ngọc. Nhóm học sinh lớp 10 Toán năm học 2009-2010: Phạm Trung Vinh Nguyễn Phúc Nghiệp KHÓA: 2009-2012 Kính thưa quý thầy cô và các bạn! Như chúng ta đã biết, lượng giác là một phần quan trọng trong toán phổ thông nói chung và toán chuyên nói riêng.Và hôm nay chúng em mang đến quyển chuyên đề này không ngoài mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức và khả năng làm toán. Không chỉ dừng lại ở các bài toán lượng giác, quyển chuyên đề còn bàn đến những ứng dụng to lớn của lượng giác vào việc giải một số bài toán đại số. Ở đa số các bài toán, chúng em đều có phần nhận xét cá nhân, những suy nghĩ và hướng đi mới. Do vậy mỗi phần, mỗi chương sẽ thực sự thể hiện cả một quá trình tìm tòi và suy nghĩ của chúng em. Sự tìm tòi có thể khác nhau nhưng đều có chung một mục đích: đó là đi đến sự tiến bộ. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng quyển chuyên đề khó có thể tránh được những thiếu sót. Rất mong tài liệu này sẽ nhận đựơc sự góp ý của thầy cô và các bạn. Một lần nữa, chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn đã đọc và cho góp ý, cũng như bỏ qua những thiếu sót trong lần viết chuyên đề này của chúng em. Tập thể học inh lớp 10 Toán 2009 - 2012 Phần đầu của chuyên đề ta sẽ xét các vấn đề chung của phương trình lượng giác (những kiến thức cơ bản về lượng giác, điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác và các bài toán liên quan đến việc tìm số k nguyên trong công thức biểu diễn nghiệm của phương trình). Trong chương này chúng tôi phân loại phương trình lượng giác theo cách giải nó. Phần cuối của chương dành để trình bày các phương pháp giải các hệ phương trình lượng giác cơ bản nhất. Các kiến thức lượng giác cơ bản : Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : ( với ,k Î Z ) ( với ,k Î Z ) ( với ,k Î Z ) ( với ,k Î Z ) ( với ,k Î Z ) Cung hơn kém k2π và kπ : Cung đối : Cung bù : Cung phụ : Cung hơn kém π/2 : Cung hơn kém π : Công thức cộng : Công thức nhân đôi : Công thức chia đôi : Công thức nhân ba : Công thức hạ bậc : Công thức theo : Công thức biến đổi tích thành tổng : Công thức biến đổi tổng thành tích : Các kết quả thường dùng : Các hằng đẳng thức trong tam giác : Điều kiện đối với một phương trình lượng giác : Cũng giống như khi giải các phương trình khác, việc đặt điều kiện khi giải phương trình lượng giác rất quan trọng. Ngoài các điều kiện thông thường đối với mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chẵn có mặt trong phương trình, riêng đối với phương trình lượng giác cần lưu tâm đặc biệt đến các diều kiện sau : Để tan x có nghĩa, điều kiện là Để cot x có nghĩa, điều kiện là Lược đồ chung để giải các phương trình lượng giác, cũng giống như khi giải các phương trình khác thường được tiến hành như sau : Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc tương ứng. So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đã đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai. Một số chú ý : Đối với các họ nghiệm theo tan và cot, nếu một vế của phương trình không chứa ẩn thì ta không cần đặt điều kiện. Để làm mất dấu trừ trước các hàm số lượng giác, ta dùng các cung đối cho hàm sin, tan và cot, dùng cung bù cho hàm cos. Xác định số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác : Các bài toán liên quan đến số k trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác nảy sinh trong các trường hợp sau đây : Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước nào đó của biến. Giải một số phương trình lượng giác dạng đặc biệt. Thông thường đối với các bài toán dạng xác định số k ta thường tiến hành như sau : Giải phương trình lượng giác như bình thường. Với nghiệm tìm được, để xác định số k tương ứng ta phải giải một bất phương trình đơn giản: Tìm nghiệm nguyên k thỏa mãn một bất phương trình. Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm sẽ suy ra các nghiệm cần tìm. Nhìn chung, việc xác định cụ thể các giá trị của tham số k nguyên trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác xuất hiện trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác. Nếu để ý thì dưới hình thức này hay hình thức khác thực chất đó là giải phương trình lượng giác có kèm theo một diều kiện phụ nào đó. Việc xác định các giá trị của tham số k qui về việc tìm nghiệm nguyên của một bất phương trình cụ thể nào đó. Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm cơ bản : Các họ nghiệm đặc biệt : Phương trình bậc nhất theo một hàm số lượng giác của u : Có dạng: Đối với các phương trình (1) và (2) cần có thêm điều kiện Chọn a sao cho Þ đưa về các họ nghiệm cơ bản để giải. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác của u : Có dạng: . Đặt Þ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0 Giải phương trình tìm t (xét điều kiện nếu có) Þ các họ nghiệm cơ bản, giải tìm x Các dạng khác : Dạng của phương trình Phương pháp giải Dạng 1 : Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x),trong đó f(x) là một biểu thức lượng giác nào đó. Đặt ẩn phụ t = f(x). Dạng 2 : Phương trình bậc nhất đối với và . Cách 1 : Biến đổi vế trái về dạng với ,a là số thực sao cho và . Cách 2 : Tìm nghiệm thỏa. Với thì đặt ta có:;.Đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t. Dạng 3 : Phương trình đối xứng với và : Đặt thì Dạng 4 : Phương trình thuần bậc hai đối với và : Với a2 + b2 + c2 ≠ 0 Cách 1 : Tìm nghiệm thỏa . Với thì chia hai vế của phương trình cho dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn . Cách 2 : Tìm nghiệm thỏa Với thì chia hai vế của phương trình cho dể đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn . Dạng 5 : Phương trình thuần bậc ba đối với và : Cách giải tương tự như phương trình thuần nhất bậc hai nhưng chia hai vế cho hoặc và chú ý áp dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm trong các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn (giống như bài toán mà ta vừa xét ở trên). Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự như việc giải một hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp thế. Ở đây ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau : Đường tròn lượng giác : * Các khái niệm cơ bản : Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị và trên đó ta đã chọn một chiều dương (thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) Cung lượng giác: (với A, B là 2 điểm trên đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B. Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định *Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác : Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng : Ta đưa số đo về dạng . Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ 0 đến . Ví dụ 1 : Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc. Định những điểm M biết sđ. Lời giải Ta có sđ.Suy ra có 4 điểm ngọn cung phân biệt ứng với: Đề ý ta thấy rằng trên đường tròng lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của hình vuông . Nhận xét : Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều m cạnh. Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát : Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác. Từ đó suy ra công thức tổng quát. Ví dụ 2 : Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát: Lời giải Ta biểu diễn các điểm ngọn cung của Ta biểu diển các điểm ngọn cung của Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có 6 điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công thức tổng quát là: Nhận xét : Qua bài toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới dạng một công thức tổng quát đơn giản hơn. Hơn nữa, đây còn là bài toán về việc giải hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các nghiệm ngoại lai. Ta xét một số bài toán sau : Bài toán 1 : Giải phương trình : Lời giải Điều kiện : Với điều kiện đó phương trình tương đương : , Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : và ,() Nhận xét : Đây là một bài có công thức nghiệm đơn giản cho phép ta có thể biểu diễn một cách chính xác trên đường tròn lượng giác. Tuy nhiên ta hãy xét thêm bài toán sau để thấy rõ màu sắc của bài toán biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác. Bài toán 2 : Giải phương trình sau : Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là : , (1) Với điều kiện (1) phương trình tương đương : So sánh các nghiệm này với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của phương trình là : và , Nhận xét : ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác đã ttrở nên khó khăn và khó chính xác. Do đó ta hãy xem phương pháp hai. Phương trình lượng giác có một vế là tổng hữu hạn : Cơ sở của phương trình : Dạng phương trình này có cơ sở là một số tổng hữu hạn ở dạng phức tạp được đưa về dạng giản đơn. Cần chú ý là ở đây chỉ nêu các trường hợp con, sử dụng các công thức đơn giản hơn để thu gọn các tổng tích phức tạp rồi áp dụng chúng vào việc giải phương trình lương giác chứ không đưa ra các phương pháp tổng quát. Bởi vì phần này sẽ được đề cập đến một cách rõ ràng và đầy đủ ở chương sau: “ Lượng giác ứng dụng vào giải toán Giải tích”. Một số công thức chính được dùng nhiều ở phương pháp này : Một số tổng hữu hạn & cách chứng minh nó : Nhìn vào kết quả ta cũng có thể đoán được là ta cần nhân 2 vế với Cũng tương tự như ta nhân 2 vế với . Cách 1 : áp dụng Cách 2 : ta có đẳng thức cần chúng minh tương đương với : Xét vế trái có : Hoàn toàn tương tự ta được : VT Nhân 2 vế với sin a Ta có : Áp dụng : Áp dụng : Áp dụng : Một số tích & cách chứng minh nó : Nhân 2 vế với Cách 1 : nhân 2 vế với Cách 2 : ta xét vế trái: VT VP Nhân 2 vế với Chú ý : Ở các công thức này ta có một mẹo nhỏ. Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là ta đã có thể biết được cách chứng minh. Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì ta phải làm sao? Ta cần sử dụng đến các công thức ở mục a). do đó ta cần ghi nhớ các công thức ở mục a. Ví dụ : Giải phương trình : Lời giải Điều kiện để phương trình có nghiệm : Áp dụng ta được nghiệm của phương trình là : Nhận xét : Ta nhận thấy nhờ có đẳng thức mà việc giải bài toán này trở nên dễ dàng hơn. Mặt khác cần chú ý rằng đối với các bài toán có điều kiện phức tạp như vậy ta chỉ cần đặt điều kiện tổng quát. Sau đó khi đã có được nghiệm rồi ta thế vào điều kiện tổng quát ban đầu để loại đi các nghiệm ngoại lai. Phương trình vô tỉ : Khi giải các PHTL mà ẩn số nằm dưới dấu căn, các điều kiện ràng buộc thường ở dưới dạng các bất phương trình lương giác. Dĩ nhiên ta có thể xem như là một hệ thống gồm các PTLG và bất PTLG. Nhưng rõ ràng đây là một dạng khó, phức tạp dễ mắc phải sai lầm mà ta có thể thấy ở các bài toán dưới đây : Bài toán 1 : (64II - Bộ đề thi Tuyển sinh). Giải phương trình : (1) Lời giải (1) Xét là nghiệm () Xét Với điều kiện (2) thì Thử lại với điều kiện (2) : Do thoả (2). Vậy ; với . Nhận xét : Hãy thử quan sát xem tại sao ta phải xét 2 trường hợp riêng là: và mà không gộp điều kiện lại là :. Nếu ta đặt : và thì điề kiện của bài toán khi ta chỉ xét 1 trường hợp là : Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu thì ta vẫn có hệ được thoả mãn. Do đó ta cần phải thật cẩn thận trong phương trình dạng này. Bài toán 2 : (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh). Tìm m để phương trình sau có nghiệm : Lời giải Hàm số y = là hàm tuần hoàn với chu kì nên ta chỉ cần tìm m để phương trình có nghiệm . Từ đó . Xét biểu thức: Đặt Khi đó và Phương trình có nghiệm Nhận xét : Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị. Bởi vì thật ra tập giá trị của m chính là miền giá tri của hàm . Đây là hàm đồng biến trong trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũng chính là giá trị 2 đầu của miền giá trị. Một số phương pháp khác giải phương trình lượng giác : Phương pháp tích số : Với điều kiện thì phương trình : Hay phương trình : Phương pháp đặt ẩn số phụ : Đặt f(x) = t, đưa phương trình về dạng phương trình đại số: f(t) = 0, giải tìm t, sau đó thế t = f(x), giải tìm x. Chú ý : Nếu thuận lợi ta cũng nên tìm điều kiện của t, khi đó ta chỉ cần nhận các nghiệm t thích hợp để giải tìm x (đây là điều kiện bắt buộc khi gặp các phương trình chứa tham số). Nếu điều kiện của t tìm quá khó khăn thì ta không cần phải xác định điều kiện này, nhưng khi đó gần như ta phải xét hết các nghiệm t tìm được để giải tìm x. Phương pháp chặn (phản chứng) – Phương pháp tổng các số hạng không âm : Phương pháp chặn : Phương trình Đặc biệt : Phương trình : (có 6 phương trình dạng này) Phương pháp tổng các số hạng không âm : Phương trình : Đặc biệt : Phương pháp đối lập : Phương trình : , các tính chất : f(x) ³ c và g(x) £ c, ta có thể dùng các bất đẳng thức đại số hay các bất đẳng thức lượng giác để chứng minh. Các dạng phương trình lượng giác hay gặp : Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : Dạng 1 : Phương trình không có tham số Ví dụ 1 : Giải phương trình sau .(1) Lời giải Ví dụ 2 : Giải phương trình lượng giác sau : .(1) Lời giải Dạng 2 : Phương trình có tham số Đối với dạng toán này, nếu ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện cho ẩn phụ là rất quan trọng. Nó có thể ảnh hưởng đến kết quả của cả bài toán. Chính vì thế, khi gặp những phương trình có tham số nói chung và phương trình lượng giác có tham số nói riêng thì khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn phụ. Ta sẽ xét một vài ví dụ minh họa sau : Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc . Lời giải Ta nhận thấy với mọi m thì m + (1 – m) = 1 ≠ 0, vậy với mọi m thì không thể thỏa mãn (1). Nên đặt , thì (1) có dạng : Khi thì Vậy bài toán trên trở thành tìm m để hệ có nghiệm. Ta có và có bảng biến thiên sau : Vậy hệ (1) và (3) có nghiệm Û min f(t) ≤ 2m ≤ max f(t) với -1 ≤ t ≤ 1 Û -2 ≤ 2m ≤ 6 Û -1≤ m ≤ 3 Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là -1 ≤ m ≤ 3. Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau : có nghiệm trên . Lời giải Ta có – ( m – 1) + 3 – 2m = 4 – 3m. nên ta xét hai trường hợp : Nếu thì (1) có dạng : Do Vậy khi chọn k = 0 thì x = 2a . Từ đó suy ra khi tồn tại nghiệm của (1) thuộc . Nếu thì chắc chắn Đặt . Khi đó Khi đó (1) có dạng : Xét hệ Ta có : và ta có bảng biến thiên sau : Hệ (2) và (3) có nghiệm Kết hợp hai trường hợp đã xét suy ra các giá trị cần tìm của m là 1 ≤ m ≤ 2. Ví dụ 3 : Giải và biện luận theo m phương trình . (1) Lời giải Vì b + c = m + (1 – m) = 1 ≠ 0 nên với mọi m thì không thỏa mãn (1) Đặt thì (1) trở thành : Xét biệt thức . Từ đó suy ra : Nếu thì D’ < 0 Þ (2) vô nghiệm Þ (1) vô nghiệm Nếu thì D’ = 0. Khi đó (2) Û t = 2. Do đó : Nếu thì D’ > 0. Khi đó Đặt và thì . Nhận xét : Qua các ví dụ trên, ta thấy khi xét phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x dưới dạng tham số thì việc sử dụng cách 2 có vẻ như rất hiệu quả. Loại 3 : Áp dụng vào việc tìm cực trị của hàm số dạng Trong đó Trong những bài toán dạng này, để tìm cực trị ta sẽ sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x. Ta xét vài ví dụ sau : Ví dụ 1 : Tìm cực trị của hàm số trên . Lời giải Gọi là một giá trị tùy ý của hàm số, tức là phương trình sau (ẩn x) (1) có nghiệm. Vì "x Þ "x. Do đó: Vì (2) có nghiệm nên ta có Từ (3) suy ra max y = 1 và min y = -2. Ví dụ 2 : Cho hàm số . Tìm a để Lời giải Gọi là giá trị tùy ý của hàm số. Khi đó phương trình sau (ẩn x) có nghiệm. Chú ý rằng "x nên : Vì (1) có nghiệm nên Gọi t1 và t2 là hai nghiệm của phương trình (3). Không mất tổng quát giả sử t1 < t2 Khi đó Nếu vậy thì Từ đó Theo định lí Viéte thì từ (4) Đó là hai giá trị cần tìm của a. Bài tập tự rèn luyện Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau . . . . . . . . . . Bài 2 : Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm . . . . . Bài 3 : Giải và biện luận các phương trình sau . . . . . . . . Bài 4 : Định m để các phương trình sau có nghiệm . . . . . Bài 5 : Định m để các phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện tương ứng với . với . với . với Bài 6 : Xét hàm số . Tìm a để min y < -1. Bài 7 : Cho phương trình Giải phương trình với . Tìm m để (1) vô nghiệm. Định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của phương trình Bài 8 : Giả sử và c là 1 số bất kì. Chứng minh rằng trong 2 phương trình sau  ít nhất có một phương trình có nghiệm. Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin x và cos x : Dạng 1 : Phương trình không có tham số Ví dụ 1 : giải phương trình lượng giác sau Lời giải Nếu thì từ (1) ta có (vô lí) Nếu thì chia 2 vế của (1) cho ta được Ví dụ 2 : giải phương trình sau . Lời giải Điều kiện : Các nghiệm này thỏa (*) nên là nghiệm của (1). Dạng 2 : Phương trình có tham số Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Lời giải Xét hệ Vậy khi m = 1 thì hệ có nghiệm Do đó m = 1 là một giá trị thỏa đề bài Xét m ¹ 1 khi đó và Ta có biệt số (2) có nghiệm Kết hợp cả hai trường hợp suy ra (1) có nghiệm . Ví dụ 2 : Giải và biện luận theo m phương trình Lời giải Xét hệ Từ đó ta xét hai trường hợp có thể xảy ra như sau : Nếu m = 0 thì (1) trở thành Nếu m ¹ 0 thì theo lập luận trên không thỏa (1) do đó Ta có biệt số Nếu m > 2 : (2) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm Nếu m = 2 : Nếu m < 2, m ¹ 0 . Bài tập tự rèn luyện Bài 1 : giải các phương trình lượng giác sau . . . . . . . . . . Bài 2 : Định tham số để các phương trình sau có nghiệm. có nghiệm. có nghiệm. có nghiệm thỏa . Phương trình đối xứng với sin x và cos x Dạng 1 : Phương trình không có tham số Ví dụ 1 : Giải phương trình Lời giải Đặt (2) trở thành Do đó Ví dụ 2 : giải phương trình Lời giải Đặt Khi đó (2) trở thành Nếu t = 1 thì Nếu thì Dạng 2 : Phương trình có tham số Ví dụ 1 : Tìm m để phương trình Lời giải Ta có Đặt Khi đó (2) trở thành Bài toán trở thành : Tìm m để hệ có nghiệm Ta thấy với mọi m thì (3) luôn có hai nghiệm phân biệt t1 và t2 Mặt khác theo định lí Viéte thì t1t2 = -1 vì thế luôn tồn tại nghiệm thỏa (4) Vậy với mọi m thì phương trình (1) luôn có nghiệm. Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình Lời giải Ta có Đặt Khi đó (2) trở thành Bài toán trở thành : Tìm m để hệ có nghiệm Ta có và ta có bảng biến thiên sau : Vậy hệ (3) và (4) có nghiệm Bài tập tự rèn luyện Bài 1 : Giải các phương trình sau . . . . . . . . . . Bài 2 : giải và biện luận theo m phương trình . Bài 3 : Định m để phương trình Lượng giác hóa một số phương trình đại số : Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không! Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng. Các biểu thức thường được lượng giác hóa Biểu thức đại số Cách chọn ẩn phụ hoặc hoặc hoặc (giống ) (giống ) (giống ) (giống ) Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1 : Giải phương trình Lời giải Điều kiện : Đặt với . Khi đó ; Ta có phương trình : Đặt Vì : Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được : (*) Phương trình (*) có các nghiệm là : (loại) Với Với Vậy là nghiệm của phương trình : Vì Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : và . Ví dụ 2: Giải phương trình với tham số Lời giải Chia cả hai vế của phương trình cho , ta được : . Vì nên tồn tại góc để cho . Thu được phương trình : Hàm số là hàm nghịch biến và ta có : . Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình Lời giải Điều kiện : Đặt với Khi đó ; Phương trình đã cho có dạng lượng giác là : (1) Vì (do nên ) Biến đổi (1) được Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : . Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm Lời giải Điều kiện : Vì : sao cho : và với Xét hàm số : nghịch biến trên đoạn và Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn khi và chỉ khi : . Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm Giải : Điều kiện : Phương trình (1) có nghiệm khi m > 0 (Nhận xét : để đặt ẩn phụ) Đặt với