Chuyên đề Phương trình mặt phẳng - Nguyễn Đức Lợi

Phương trình mặt phẳng GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 1 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Phương trình mặt phẳng:  Định nghĩa : Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 , trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng  Nếu ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 thì có véctơ pháp tuyến là ( ; ; )n A B C   Phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận ( ; ; )n A B C  ,  0n    làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.  Nếu ( ) có cặp vectơ 1 2 3 1 2 3( ; ; ) , b ( ; ; )a a a a b b b    không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên ( ) thì vectơ pháp tuyến của ( ) được xác định ,n a b        Các trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng : Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:  D = 0 khi và chỉ khi ( ) đi qua gốc tọa độ.  A=0 , B 0 , C 0 , D 0 khi và chỉ khi ( ) song song với trục Ox  A=0 , B = 0 , C 0 , D 0 khi và chỉ khi ( ) song song mp (Oxy )  A,B,C,D 0 . Đặt , ,D D Da b c A B C       Khi đó ( ) : 1x y z a b c     (Các trường hợp khác nhận xét tương tự) II. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho ( 1 ): 1 1 1 1 0A x B y C z D    và ( 2 ): 2 2 2 2 0A x B y C z D     ( ) // ( ’)  1 1 1 2 2 2 1 2 ( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C D kD     ( ) ≡ ( ’)  1 1 1 2 2 2 1 2 ( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C D kD     ( )cắt ( ’)  1 1 1 2 2 2( ; ; ) ( ; ; )A B C k A B C Đặc biệt : ( )  ( ’) 1 2 1 2 1 2 1 2. 0 . . . 0n n A A B B C C        Phương trình mặt phẳng GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 2 III: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : Khoảng cách từ điểm Mo(xo;yo;zo) đến mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = 0 2 2 2 ( , ( )) o o oo Ax By Cz D d M A B C        B. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN ĐÁP SỐ: Bài 1:Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(2; 1; -1) và vuông góc với đường thẳng được xác định bởi 2 điểm B(-1; 0; 4) và C(0; -2; 1). HD: mp cần tìm có vtpt n BC   . ĐS: ( ) x-2y+3z+3 = 0. Bài 2: Cho tam giác ABC có A(-1 ; 2 ; 3), B(2 ; -4 ; 3), C(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua D(1;-1;2) và song song với mp(ABC). HD: mp cần tìm có vtpt n AB AC     =(-18; -9; 39). ĐS: ( ) 6x+3y-13z+23 = 0. Bài 3:Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua hai điểm A(2; -1; 4), B(3;2;-1) và vuông góc với mặt phẳng   : 2 3 0x y z     . HD: mp cần tìm có vtpt ( ) (11; 7; 2)n AB n         . ĐS: ( ) 17x-7y-2z-21 = 0. Bài 4:a,Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(1; 0; 5), và song song với mặt phẳng   : 2 17 0x y z     . b, Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua 3 điểm B(1;-2;1), C(1;0;0), D(0;1;0). c,Tính góc nhọn tạo bởi 2mawtj phẳng ( ) và ( ) HD: a,mp cần tìm có vtpt ( )n n    , ptmp ( ) là:2x-y+z-7=0. b, vtptn BC BD      ĐS: (  ) x+y+2z-1 = 0. c, 060 3     Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 1;2;3), B(-1;-2;3), C(0;2;-2), D( 7;-9;4) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Tính đọ dài đường cao hạ từ D của tứ diện ABCD.. HD: a,mp cần tìm có vtpt n AB AC     , ptmp (ABC) là:10x-5y-2z+6=0. b, ( , ( )) 129d D ABC  Bài 6: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a. Viết phương trình các mặt phẳng (ACD), (BCD). ĐS: (ACD): 2x + y + z -14 = 0. (BCD): 18x + 4y + 9z -126 = 0. b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua AB và song song với CD. ĐS: (α) : 10x + 9y + 5z -74 = 0. Phương trình mặt phẳng GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 3 Bài 7: Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a. Viết phương trình các mặt phẳng (ABC). ĐS: (ABC): x + y + z - 9 = 0. b. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mp(ABC). ĐS: x + y + z - 10 = 0. Bài 8: Viết phương trình mặt phẳng (α) a. Đi qua A(1; 2; 3) và song song với các mặt phẳng tọa độ. ĐS: x – 1 = 0; y – 2 = 0; z – 3 = 0. b. Đi qua A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng : x + y + z = 0. ĐS: (α) : x + y + z - 6 = 0. Bài 9: Viết phương trình mặt phẳng (α) a. Đi qua A(1; 2; 3), B(1; 6; 2) và vuông góc với mặt phẳng : 3x + y + 2z = 0. b. Đi qua M(3; 1; -1), N(2; -1; 4) và vgóc với mặt phẳng : 2x - y + 3z - 1 = 0. ĐS: - x + 13y + 5z - 5 = 0. Bài 10: Cho A(1; -1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5) a. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). ĐS: (ABC): 12x - 2y + 11z - 47 = 0. b. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua OA và vuông góc với mặt phẳng : x + y + z = 0. ĐS (α) : 2x - y - z = 0 Bài 11: Cho A(1; -1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB. ĐS: 2x + y - 2z + 6 = 0. Bài 12: Cho A(1; -1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5) a. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC. ĐS: -3x + 4y + 4z - 5 = 0. b. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α). ĐS d = 10 41 C. BÀI TẬP: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2) c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. e) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. f) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC). Phương trình mặt phẳng GV: Nguyễn Đức Lợi – Tổ Toán Tin ducloi0207@gmail.com 4 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : a) Mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-3) và có vtpt (1; 3;5)n   b) Mặt phẳng (P) đi qua B(3,-1,4) và song song với mặt phẳng x-2y+5z-1=0 c) Mặt phẳng (P) đi qua C(1,-1,0) và song song với mặt phẳng yOz d/. Mặt phẳng (P) đi qua D(5,-1,-3)và vuông góc với đthẳng d: 1 3 1 2 1 3 x y z      Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau : a) (P) đi qua M(2 ;3 ;2) và song song với giá hai véctơ (1;1; 2); ( 3;1;2)u v     b) (P) đi qua hai điểm M(1 ;-2 ;1), N(-1 ;1 ;3) và song song với trục Oy c) (P) đi qua điểm M(1 ;-1 ;2) và chứa đường thẳng 2 1 3( ) : 2 1 1 x y zd       d) (P) đi qua M(2 ;-1 ;1), N(-2 ;3 ;-1) và vuông góc với mp (Q): 4x - y  2z  1 = 0 e) (P) đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(4;-1;2) trên các mp tọa độ. f) (P) đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của M(4;-1 ;2) trên các trục tọa độ Bài 4: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x – y+2z - 4=0 và(Q):x - 2y- 2z+ 4=0 a) Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau. b) Tìm tọa độ giao điểm A,B,C của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ Ox,Oy,Oz. c) Tính khoảng cách tử gốc tọa độ O đến mặt phẳng (P) d) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O và tiếp xúc với mp(Q) Bài 5:Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1;-1) và mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 2 = 0 a) Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P). Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z +5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 a) Chứng tỏ hai mặt phẳng đó cắt nhau b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và đi qua A(-1;2;3). c) Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 7: Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P): 3 2 3 7 0x y z    và A(3; -2; -4). a) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với (P). b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng của A qua mặt phẳng (P). Bài 8: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P):2x+ky +3z –5 =0và(Q):mx-6y -6z+2=0 a) Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau, khi đó hãy tính khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và (Q) b) Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q), hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d).