Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên - Trường THCS Liên Châu

chuyên đề: phương trình nghiệm nguyên A> Mục tiêu : - Nắm được các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên - Rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo B> Tài liệu sử dụng Toán nâng cao một số chuyên đề toán 9 - Tác giả Bùi Văn Tuyên Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên - Tác giả Vũ Hữu Binh C> Nội dung I> Lý thuyết 1. Giải phương trình chứa các ẩn x,y,z. với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ nguyên (x,y,z,) thỏa mãn phương trình đó Giải phương trình với nghiệm nguyên gồm 2 bước. Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0,z0,) suy ra các ẩn phải nhận các giá trị nào đó. Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khẳng định tập nghiệm của phương trình. Chú ý: Với các bài toán mà các biến đổi đều tương đương ta cần bước 2. 2.Phương pháp và ví dụ minh họa a) Phương pháp dùng tính chất chia hết Dạng 1: Phương pháp phát hiện tính chia hết của 1 ẩn. Ví dụ: Giải phương trình với nghiệm nguyên 3x + 17y = 159 (1) Giải: Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn (1) Ta thấy 159 3 và 3x 3 nên 17y 3 vì (17,3)=1 do đó y 3 Đặt y = 3t ( t Z ) thay vào phương trình (1) ta có: 3x + 17.3t = 159 x+17t=53 Do đó ( t Z ) Đảo lại: Thay biểu thức x và y vào (1), phương trình được nghiệm đúng Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên (x,y) được biểu thị bởi công thức ( t là số nguyên tùy ý) Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : xy-x-y=2 (1) Bài giải: (1) x(y-1)-y=2 x(y-1) - (y-1) = 3 (y-1)(x-1)= 3 Vì x,y nguyên nên x-1 , y-1 là các số nguyên và là ước của 3. Do vai trò của x,y là như nhau trong phương trình nên giả sử xy x-1 y-1 x-1 3 -1 y-1 1 -3 Do đó x 4 0 y 2 -2 Ta có: Nghiệm nguyên của phương trình (4;2);(2;4);(0;-2);(-2;0) Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình. xy-x-y=2 (1) Từ (1) x(y-1)=y+2 Ta thấy y 1 (vì nếu y = 1 thì ta có 0.x=3 vô lí) Do đó: x= Do x nguyên nên là số nguyên. do đó y-1 là ước của 3 y-1=-1 y-1=1 y-1=3 y-1=-3 y=0 y=2 y=4 y=-2 x=-2 x=4 x=2 x=0 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (-2;0);(4;2);(2;4);(0;-2) b) Phương pháp xét số dư từng vế Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên (1) x2 - y2 = 1998 (2) x2 + y2 = 1999 Bài giải: (1) Ta có: x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư bằng 0 hoặc 1 nên x2 - y2 chia cho 4 có số dư là 0;1;3 còn vế phải chia cho 4 dư 2 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên (2) x2 ; y2 chia cho 4 có số dư 0;1 nên x2+y2 chia cho 4 có số dư là 0;1;2 , còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 9x+2=y2 +y (1) Bài giải: Phương trình (1) 9x + 2 = y(y+1) Ta thấy vế trái của phương trình là số chia cho 3 dư 2 nên y(y+1) chia cho 3 dư 2. Chỉ có thể y = 3k+1; y+1= 3k+2 (k nguyên) Khi đó: 9x+2 = (3k+1)(3k+2) 9x = 9k(k+1) x = k(k+1) Thử lại x = k(k+1) ; y = 3k + 1 thỏa mãn phương trình đã cho Đáp số: ( k là số nguyên tùy ý) c) Phương pháp dùng Bất đẳng thức Dạng 1: Phương pháp sắp thứ tự các ẩn Ví dụ: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng Bài giải: Gọi 3 số nguyên dương phải tìm là x,y,z ta có: x+y+z = x.y.z (1) Vì x,y,z có vai trò như nhau trong phương trình nên giả sử 1 Do đó xyz = x+y+z 3z Chia 2 vế của BĐT cho số dương z ta được xy3 Do đó x.y { 1;2;3} Với x.y = 1, ta có x=1, y=1 thay vào (1) được 2 + z = z (loại) Với x.y = 2 , ta có x =1 ; y= 2 thay vào (1) ta được z= 3 Với x.y = 3 , ta có x = 1 ; y=3 , thay vào (1) ta được z= 2 ( Vì trái với sắp xếp y) Vậy ba số phải tìm là: 1;2;3 Dạng 2: Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình Bài giải: Do vai trò bình đẳng của x và y . Giả sử x y Ta có: nên y >3 (1) Mặt khác do nên Do đó: nên y 6 (2) Từ (1) và (2) Với y =4 ta được: nên x =12 Với y = 5 ta được loại vì x không là số nguyên Với y = 6 ta được nên x = 6 Vậy các nghiệm của phương trình là: (4;12);(12;4);(6;6) Dạng 3: Phương pháp chỉ ra nghiệm nguyên Ví dụ: Tìm các số tự nhiên x sao cho 2x+3x = 5x (1) Bài giải: Phương trình (1) (2) Với x = 0 thì Vế trái của (2) bằng 2, loại Với x =1 thì Vế trái của (2) là : đúng Với x2 thì nên (loại) Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: x = 1 Dạng 4: Sử dụng điều kiện 0 để phương trình bậc hai có nghiệm Ta viết phương trình: f(x,y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai với 1 ẩn, chẳng hạn đối với x, khi đó y là tham số . Điều kiện cần để phương trình có nghiệm là 0 ( Để có nghiệm nguyên, ta cần là số chính phương) Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y + xy = x2 + y2 (1) Giải: Viết (1) thành phương trình bậc hai đối với x: x2 - (y+1)x+(y2 - y) = 0 (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm là 0 = y2 +2y+1 - 4y2+4y = -3y2 +6y +1 0 3y2 - 6y -1 0 3(y-1)2 4 Do đó (y-1)2 1 y-1 -1 0 1 y 0 1 2 Vậy Với y =0 thay vào (2) được x2 - x = 0 , ta có x1 = 0, x2 = 1 Với y = 1 thay vào (2) được x2 - 2x = 0 ta có x3 = 0, x4 = 2 Với y=2 thay vào (2) được x2 - 3x + 2 = 0 ta có x5 = 1, x6 = 2 Thử lại, các giá trị trên nghiệm đúng phương trình (1) Đáp số (0;0); (1;0); (0;1);(2;1);(1;2);(2;2); d)Phương pháp dùng tính chất của số chính phương Phương pháp 1: Sử dụng tính chất về chia hết của số chính phương Các tính chất thường dùng: - Số chính phương không tận cùng bằng 2;3;7;8 - Số chính phương chia hết cho nguyên tố p thì chia hết cho p2 - Số chính phương chia cho 3 có số dư bằng 0;1 - Số chính phương chia cho 4 có số dư bằng 0;1 - Số chính phương chia cho 8 có số dư bằng 0;1;4 Ví dụ: Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của 2 số nguyên liên tiếp Bài giải: Giả sử 9x+5 = n(n+1) với n nguyên thì: 36x + 20= 4n2 + 4n 36x +21 = 4n2 + 4n + 1 3.(12x+7) = (2n+1)2 Số chính phương (2n+1)2 3 thì cũng chia hết cho 9 Ta lại có 12x+7 không chia hết cho 3 nên 3(12x+7) không chia hết cho 9 Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để thoả mãn Phương pháp 2: Tạo ra bình phương Ví dụ:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 4x = 19 - 3y2 (1) Bài giải: 2x2 + 4x +2 = 21 - 3y2 2(x+1)2 = 3(7-y2) (2) Ta thấy 3(7-y2) 2 7-y2 2 ( Vì (2;3)=1) y lẻ ( (2;7)=1) Ta lại có: 7-y2 0 nên chỉ có thể y2 = 1 Khi đó (2) có dạng: 2(x+1)2 = 18 Ta được x+1 = 3 do đó x1= 2; x2 = -4 Các cặp số (2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1) thỏa mãn (2) nên là nghiệm của phương trình đã cho. Phương pháp 3: Xét các số chính phương liên tiếp Hiển nhiên giữa 2 số chính phương liên tiếp không tồn tại số chính phương nào do đó với mọi số nguyên a,x ta có: - Không tồn tại x để a2<x2<(a+1)2 - Nếu a2<x2<(a+2)2 thì x2 = (a+1)2 Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số nguyên k cho trước, không tồn tại số nguyên dương x sao cho: x(x+1) = k(k+2) Bài giải: Giả sử x(x+1) = k(k+2) với k nguyên , x nguyên dương ta có x2+x= k2+2k x2 + x + 1 = k2+2k +1 = (k+1)2 Do x>0 nên x2<x2 + x + 1= (k+1)2 (1) Cũng do x >0 nên (k+1)2 = x2 + x +1 < x2 + 2x +1 = (x+1)2 (2) Từ (1) và (2) x2 < (k+1)2<(x+1)2 vô lí Vậy không tồn tại số nguyên dương x để x(x+1 ) = k(k+2) Phương pháp 4: Sử dụng tính chất : Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là một số chính phương Ví dụ: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương : x.y=z2 (1) Bài giải: Giả sử (x,y,z)= 1 nếu bộ ba số (x0,y0,z0) thỏa mãn (1) có ƯCLN bằng d. Giả sử x0 = dx1; y0 = dy1; z0= dz1 thì bộ ba số (x1,y1,z1) là nghiệm của (1) Với (x,y,z)=1 thì x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau, vì nếu trong ba số x,y,z có ước chung là d thì số còn lại cũng chia hết cho d. Ta có: z2 = xy mà (x;y)=1 nên x = a2; y = b2 với a,b N* suy ra z2 = xy = (ab)2 do đó z = ab Như vậy ( t là số nguyên dương tùy ý ) Thay vào (1) ta có đúng. Vậy tập hợp các nghiệm nguyên dương của (1) là: Phương pháp 5: Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phương thì môt trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0 Ví dụ: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 + xy + y2 = x2y2 (1) Bài giải: Từ (1) thêm xy vào 2 vế của phương trình ta có x2 + 2xy +y2 = x2y2 + xy (x+y)2 = xy(xy+1) Ta thấy xy và xy+1 là 2 số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương nên tồn tại một số bằng 0 Xét xy=0, từ (1) có x2 + y2 = 0 nên x = y= 0 Xét xy+1= 0 ta có xy= -1 nên (x,y) = (1;-1)=(-1;1) Thử lại 3 cặp số (0;0); (1;-1); (-1;1) đều là nghiệm của phương trình đã cho e) Phương pháp lùi vô hạn ( nguyên tắc cực hạn) Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x3 + 2y3 = 4z3 (1) Bài giải: Ta thấy: x chia hết cho 2, đặt x = 2x1( với x1 nguyên) thay vào (1) ta có: 8x13 + 2y3 = 4z3 4x13 + y3 = 2z3 (2) do đó y chia hết cho 2.Đặt y = 2y1 ( Với y1 nguyên) thay vào (2) ta có 4x13 + 8y13 = 2z3 (3) 2x13+4y13 = z3 do đó z chia hết cho 2 Đặt z = 2 z1 Với z1 nguyên thay vào (3) rồi chia hai vế cho 2 ta được: x13 + 2y13 = 4z13 (4) Như vậy nếu x,y,z là nghiệm của (1) thì x1,y1,z1 cũng là nghiệm của (1) trong đó x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1 Lập luận tương tự như trên x2. y2, z2 cũng là nghiệm của (1) trong đó x1=2x2; y1= 2y2; z1 = 2z2. Cứ tiếp tục như vậy ta đi đến x, y , z chia hết cho 2k với k là số tự nhiên tùy ý, điều này chỉ xảy ra khi x = y= z = 0. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình (1) là ( 0;0;0) III.Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 11x+18y=120 (1) Giải:Ta thấy 11x66.đẵt=6k(k nguyên)thay vào 1 ta được 11k+3y=20y=y=7-4k+ đặt t=k-1(t nguyên) suy ra k=3t+1do đó y=7-4(3t+1)+t=3-11t x=6k=6(3t+1)=18t+6 thay vào1 pt được nghiệm đúng vậy các nghiêm nguyên của pt1 được biểu thị bởi công thức Bài 2; Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 5x - 3y = 2xy - 11 Giải: Biểu thị y theo x: ( 2x +3)y = 5x + 11 Dễ thấy 2x + 3 0 ( Vì x nguyên), do đó: Để y Z phải có x+5 2x + 3 2(x+5) 2x+3 2x + 3 + 7 2x+3 7 2x +3 Ta có: 2x+3 1 -1 7 -7 x -1 -2 2 -5 y 6 -1 3 2 Thử lại, các cặp giá trị trên của (x,y) đều thỏa mãn phương trình đã cho. Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Giải: Nếu y thỏa mãn phương trình thì -y cũng thỏa mãn , do đó ta giả sử y 0 (1) (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2 Đặt x2 + 3x + 1 = a, ta được : (a-1)(a+1) = y2 a2 - 1 = y2 (a+y)(a-y) = 1 Suy ra a+y = a-y, do đó y = 0 Thay vào (1) được : x1 = 0; x2 = -1; x3 = -2 ; x4 = -3 Đáp số: (0;0); (-1;0); (-2;0); (-3;0) Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10z = 3 Giải: Ta thấy 10z 3 nên z 3. Đặt z = 3k ta được: 6x + 15y + 10.3k = 3 2x + 5y + 10k =1 Đưa về giải phương trình hai ẩn x,y có các hệ số tương ứng 2 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau. 2x + 5y = 1 - 10k Đặt ( t nguyên). Ta có: y = 1-2t x = -5k-(1-2t) + t = 5t - 5k -2 z = 3k Nghiệm của phương trình: (5t-5k-2;1-2t;3k) với t, k là số nguyên tùy ý. Bài 5: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: Giải: Nhân hai vế của phương trình với 6xy: 6y + 6x + 1 = xy. Đưa về phương trình ước số: x(y-6) - 6(y-6) = 37 (x-6)(y-6) = 37 Do vai trò bình đẳng của x và y, giả sử , thế thì x-6 y-6 -5 Chỉ có một trường hợp: Đáp số (43;7); (7;43) iv.Bài tập về nhà Bài toán 1: Một hình chữ nhật có các kích thước đo bằng số nguyên. Nếu số chỉ của chu vi bằng số chỉ diện tích thì kích thước của hình chữ nhật đó là bao nhiêu ? Bài toán 2: Bạn tuấn sinh năm nào ? biết rằng năm 2000 vừa qua tuổi của tuấn bằng tổng các chữ số của năm sinh. Bài toán 3: Tại một cuộc họp, một nhà toán học tuyên bố: “ số các nhà toán học tham gia tại đây là một số có hai chữ số, số này bé hơn hai lần tích 2 chữ số của nó 9 đơn vị”. Hỏi có bao nhiêu nhà toán học tham dự cuộc họp ? Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau: a) b) Bài toán 5: Giải phương trình với x, y là các số tự nhiên khác nhau, p là số nguyên tố cho trước. Bài toán 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình Bài toán 7: Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình a) b) Bài toán 8: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình 5x-3y=2xy-11 d) b) e) c) g) Bài toán 9: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình a) c) b) d) Bài toán 10: Giải phương trình nghiệm nguyên a) b) Bài toán 11: Giải các phương trình sau a) c) b) d)