Chuyên đề Phương trình vô tỉ

Chuyên đề : Phương trình vô tỉ ------------------------------------------ Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong dấu căn Các phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ I. Phương pháp biến đổi tương đương: Dạng1: (*) Chú ý: Điều kiện (*) được lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của f(x)0 và g(x) 0 VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Để phương trình có nghiệm thì 1 Dạng2: Chú ý: Không cần đặt điều kiện VD: Giải phương trình: Vậy phương trình có nghiệm x=-1 Dạng3: Chú ý: Không cần đặt điều kiện VD: Giải phương trình: Hoặc có thể trình bày theo cách khác như sau: - Tìm điều kiện để các bt có nghĩa Biến đổi phương trình Các bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phương trình sau: a/ e/ b/ g/ c/ h/ d/ k/ Bài2: Giải các phương trình sau: Bài3: Cho phương trình: a/ Giải phương trình với m=1 b/ Giải và biện luận phương trình Bài4: Cho phương trình: a/ Giải phương trình với m=1 b/ Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm Bài5: Giải và biện luận các phương trình sau: II. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 1: Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ Các phép thưởng đặt là: - Nếu bài toán có chứa và f(x) thì đặt t= , t0. Khi đó f(x)=t2 - Nếu bài toán có chứa , và =k(hằng số) thì đặt t= , t0 - Nếu bài toán chứa thì đặt t= Chú ý: Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ , nhất thiết phải tìm điều kiện đúng của ẩn phụ. Cách tìm ĐK: - Sử dụng tam thức bậc hai : VD: t= - Sử dụng BĐT: VD: t= + T2=()2 (3+x+6-x)(1+1)=18 t 3 + T2=()2 =3+x+6-x+2 VD1: Giải phương trình: Đặt t=. Khi đó phưong trình có dạng: t2 +t – 42 =0 Vì t nên t=6 Vậy phương trình có 2 nghiệm x=-5; x=5 VD2: Giải phương trình : Giải: Vì x=1 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế của phương trình cho , ta được: Đặt t=, Khi đó phương trình trở thành: 2t+ (không thoả mãn ĐK) Vậy phương trình vô nghiệm. VD3: Giải phương trình : Giải phương trình với m=1 Tìm m để PT có nghiệm. Giải: Điều kiện: Phương trình viết lại dưới dạng: Đặt t= x=2 m5 III. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 2: - Là phương pháp sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x - Phương pháp này được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1 BT thì các BT còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. - Khi đó ta thường được 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ hoặc vẫn theo ẩn x có biệt thức là 1 số chính phương VD: Giải PT: Giải: Đặt t=. Khi đó PT có dạng: (4x-1)t=2(x3+1) + 2x – 1 Thay trở lại ẩn x, ta được: Vậy PT có 2 nghiệm phân biệt IV. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 3: - Là phương pháp sử dụng k ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ Pt với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì k-1 pt nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. Chẳng hạn với PT : Đặt . Khi đó ta có hệ PT: VD: Giải PT: Giải: Điều kiện : x-10 Đặt . Khi đó ta có hệ: Giải hệ ta tìm được u=0,1,2 , thay trở lại ẩn x ta được: x=2,1,10 Vậy pt đã cho có 3 nghiệm 1,2,10 V. Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4: - Là phương pháp sử dụng 1 ẩn phụ chuyển pt ban đầu thành 1 hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẳn x Dạng1: Phương trình chứa căn bậc 2 và luỹ thừa bậc 2 (*) Cách giải: Điều kiện ax+b Đặt dy+e=. Khi đó chuyển phương trình về hệ 2pt 2ẩn x,y Nhận xét: Để sử dụng phương pháp trên cần khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thoả mãn ĐK(*) VD: Giải PT: Giải: Điều kiện: x+1. PT được viết đưới dạng: ở đậy a=b=c=d=. Thoả mãn điều kiện d=ac+ Đặt y+2=. Khi đó phương trình được chuyển thành hệ Do nên x+y+5>0 Thay x=y vào PT(1), ta có x2+3x+3=0: PT vô nghiệm Vậy PT đã cho vô nghiệm. Dạng2: PT có chứa căn bậc 3 và luỹ thừa bậc 3 Cách giải: Đặt dx+e=. Khi đó chuyển PT về hệ 2ẩn 2 PT VD: Giải PT: Đặt y=. Khi đó phương trình chuyển thành hệ Từ đó tìm được x=1; x=-2 Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phương trình sau: Bài2: Cho phương trình: a/ Giải phương trình với m=3 b/ Tìm m để pt có nghiệm c/ Tìm m để pt có nghiệm duy nhất Bài3: Cho phương trình: a/ Giải pt với m=9 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm Bài4: Cho phương trình : a/ Giải pt với m=-3 b/ Tìm m để pt có nghiệm Bài 5: Giải các pt sau: a/ Bài6: Giải các phương trình sau: Bài 7: Giải các phương trình sau: Bài8: Với giá trị nào của a thì các pt sau có nghiệm: Bài9: Giải và biện luận các phương trình sau: Bài10: Giải các phương trình sau: Bài11: Giải các phương trình sau: Bài12: Giải các phương trình sau: VI. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: * Hướng1: - Đưa pt về dạng f(x)=k - Xét hàm số y=f(k) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu(đb) - Nhận xét: + Với x=x0 thì f(x)=f(x0)=k nên x=x0 là nghiệm + Với x>x0 thì f(x)>f(x0)=k : ptvn + Với x<x0 thì f(x)<f(x0)=k : ptvn Vậy x=x0 là nghiệm duy nhất của pt * Hướng 2: - Đưa pt về dạng f(x)=g(x). - Xét hàm số y=f(x) và y=g(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là hàm đồng biến còn hàm y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến. Xác định x0 sao cho f(x0)=g(x0). - x=x0 là nghiệm duy nhất. *Hướng3: - Đưa pt về dạng f(u)=f(v) - Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu - Khi đó u=v với mọi u,v thuộc TXĐ Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phương trình sau: Bài2: Giải và biện luận pt: , với x-m VII. Phương pháp điều kiện cần và đủ: *Thường áp dụng cho các dạng toán. Tìm điều kiện của tham số để: - Pt có nghiệm duy nhất - Pt có nghiệm với mọi giá trị của 1 tham số - Pt nghiệm đúng với mọi x thuộc D - Pt tưong đương với 1 pt hoặc 1 bất ph khác * Cách làm: - Đặt ĐK để các biểu thức trong pt có nghĩa - Tìm ĐK cần - Tìm ĐK đủ VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Giải: Điều kiện: ĐK cần: Nếu pt có nghiệm x0 thì -x0 cũng là nghiệm của pt. Do đó để pt có nghiệm duy nhất thì x0=-x0 ĐK đủ: Với m=3 thì pt: Vì Do đó phương trình có nghiệm Vởy với m= 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất VD2: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x0 (1) Giải: *ĐK cần: G/s (1) có nghiệm với mọi x0 thì x=0 là nghiệm của (1), khi đó (1): * ĐK đủ: Với m=3 thì (1) có dạng: Vởy với m=3 thì (1) có nghiệm đúng với mội x0 VD3: Tìm a,b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Giải: *ĐK cần: giả sử pt có nghiệm với mọi x thì x=0 là nghiệm của pt . khi đó thay vào tìm được a=1; b=0 *ĐK đủ: Với a=1; b=0 thay vào pt ta có pt luôn đúgn với mọi x Vởy với a=1; b=0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x VD4: Cho 2 phương trình: (1) X4 +6x3+9x2-16 =0 (2) Giải: Giải (2): x=1 hoặc x=4 ĐK cần: G/s (1) tương đương với (2) thì x=1 là nghiệm của (1) .Thay vào tìm được m=1 ĐK đủ: với m=1, thay vào (1) Tìm được nghiệm là 1 và -4 Vởy với m=1 thì (1) tương đương với (2) Bài tập đề nghị: Bài1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: Bài2:Tìm a,b để pt sau có gnhiệm duy nhất: Bài3: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Bài4: Tìm m để pt sau nghiệm đúng với Bài5: Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng với mọi x Bài6: Cho phương trình và bất phương trình : Tìm m để phương trình và bất phương trình tương đương với nhau. VIII. Phương pháp đánh giá: Đánh giá dựa trên tam thức bậc hai, BĐT, GTTĐ,. VD1: Giải phương trình: Giải: Từ ĐK đánh giá VT luôn lớn hơn hoặc bằng 2 dựa trên tam thức bậc hai VD2: Giải phương trình: Giải: ĐK: đánh giá VT dựa trên BĐT Cosi, dấu = xảy ra khi x=1,-1 Do nên x=1 VD3: Giải pt: Bài tập đề nghị: Bài1: Giải các phương trình sau: Bài2: Giải các phương trình sau: Bài3: Giải các phương trình sau: -----------------------------------------------------------------------------------------------------