Chuyên đề Quỹ tích

QUỸ TÍCH I.DẠNG ĐƯỜNG TRUNG TRỰC 1 Cho điểm A thuộc (O). Kẻ tiếp tuyến xAy và lấy P di động trên xy. Tìm Quỹ tích trung điểm M của OP khi P di động trên xAy 2 Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, kẻ bán kính OC vuông góc với AB. Từ A vẽ dây lưu động AD cắt OC tại M a/ CM: O, B, M, D thuộc đường tròn b/ Tìm quỹ tích trung điểm I của BM khi D di động trên cung BC 3 Cho A cố định trên (O). Vẽ tiếp tuyến Ax lấy M di động trên Ax , vẽ tiếp tuyến MB. a/ CM: O,B, M, A thuộc đường tròn b/ Kẻ AP ^ MB, BQ ^ MA. AP cắt BQ ở H. CM: OBHA là hình thoi c/ Cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Tìm quỹ tích những điểm I khi M di động trên Ax 4 Cho đường tròn tâm (O). C di động trên (O) và A cố định trên (O). Tìm quỹ tích tâm M của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAC 5 Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB .Ax, By là hai tiếp tuyến của (O). M di động trên nửa tròn, Tiếp tuyến ở M cắt Ax , By ở A/, B/ a/ CM: A, A/, M, O và B, B/, M, O thuộc đường tròn và xác định tâm I và J của hai đường tròn đó b/ Tìm quỹ tích I, J khi M di động trên nửa đường tròn 6 Cho (O; R) và cung AB = 900. Dây CD song song với AB (C, D thuộc cung AB lớn) và ABCD là tứ giác lồi a/ Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? b/ Định vị trí của C, D để ABCD là hình vuông c/ Tìm quỹ tích trung điểm I của CD khi CD di động song song với AB 7 Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Vẽ góc xHy = 900 quay quanh H. Hx cắt AB tại D, Hy cắt AC tại E a/ CM: A, D, H, E thuộc đường tròn b/ Tìm qũy tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE 8 Cho góc xOy = 900 và điểm A cố định trong góc xOy, vẽ góc tAz = 900 quay quanh A sao cho At cắt Ox ở P, Az cắt Oy tại Q a/ CM: O,P, A, Q thuộc đường tròn b/ Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ 9 Cho góc xOy = 900. Lấy M trên Ox cố định và N di động trên Oy. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN 10 Cho góc xOy = 900 và A cố định trong góc xOy. Vẽ tam giác ABC vuông tại A có B di động trên Ox và C di động trên Oy. Tìm quỹ tích trung điểm M của BC 11 Cho tam giác ABC có N thuộc BC, kẻ ND song song AC ( D thuộc AB) và NE song song AB ( E thuộc AC) a/ CM: tứ giác ADNE là hình bình hành b/ Tìm quỹ tích giao điểm M của AN và DE khi N di động trên BC 12 Cho đoạn AB cố định và C di động trên AB. Vẽ cùng một phía với AB hai hình vuông ACDE và CBFG. Gọi O1 và O2 là tâm các hình vuông, O1A cắt O2B ở K a/ CM: tam giác AKB vuông cân b/ CM : tứ giác O1KO2C là hình chữ nhật c/ Tìm quỹ tích trung điểm M của O1O2 13 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Tiếp tuyến Ở C với nửa đường tròn cắt Ax và By ở D và E a/ CM: DE = AD + BE và góc DOE = 900 b/ Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi C chạy trên nửa đường tròn 14 Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax cắt Bc ở E, Ay cắt CD ở F, G là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật AEGF. Tìm quỹ tích tâm O của của hình chữ nhật AEGF 15 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, E là điểm bất kỳ nằm giửa A và B, Ce cắt AD ở I, đường thẳng vuông góc với CI ở C cắt AB ở K a/ CM: A. C, K, I thuộc một đường tròn tâm O và CI = CK b/ Tìm quỹ tích tâm O là trung điểm của IK 16 Cho (O) và hai đường kính AA/ và BB/ vuông góc với nhau. Lấy một điểm M tùy ý trên cung nhỏ AB. Đường thẳng A/M cắt BB/ ở I a/ CM: O, I, M, A cùng nằm trên một đường tròn b/ Tìm quỹ tích điểm tâm O/ của đường tròn qua 4 điểm trên khi M di động trên cung nhỏ AB 17 Cho hai điểm cố định A và B. Tìm quỹ tích tâm O của những đường tròn mà từ đó hai điểm A và B có thể vẽ được hai tiếp tuyến AA/ = BB/ ( A/, B/ là hai tiếp điểm) 18 Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm C trên AB. Vẽ cùng một phía đối với AB dựng các hình vuông ACDE và CBFG. Gọi O1 và O2 là tâm các hình vuông đó. Tìm quỹ tích trung điểm M của O1O2 khi C chạy trên A. 19 Một điểm C chuyển động trên đoạn thẳng AB cho trước, dựng hai tam giác đều ACD và BCE có cạnh AC và BC và cùng nằm về một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm của DE 20 Tìm quỹ tích tâm của một đường tròn luôn luôn đi qua hai điểm cố định cho trước 21 Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC, Tìm quỹ tích điểm P mà PB là phân giác của góc APC 22 Từ một đường tròn cho trước có hai điểm cố định A và B dựng hai dây cung biến thiên AC và BD có chiều dài bằng nhau. Hai dây cung trên cắt nhau ở trong hay ở ngoài đường tròn. Tìm quỹ tích giao điểm đó. II. DẠNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 1 Cho điểm A cố định thuộc đường thẳng d cố định. Tìm quỹ tích những điểm O là tâm của những đường tròn luôn luôn tiếp xúc với d ở A. 2 Cho tam giác ABC cố định, kẻ phân giác AD của góc A. Lấy M di động trên BC. Kẻ Mx // AD cắt AC tại E và AB ở F a/ CM: tam giác AEF cân b/ Tìm quỹ tích trung điểm P của EF khi M di động trên BC 3 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Tiếp tuyến Ở C với nửa đường tròn cắt Ax và By ở D và E a/ CM: DE = AD + BE và góc DOE = 900 b/ Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi C chạy trên nửa đường tròn 4 Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax cắt Bc ở E, Ay cắt CD ở F, G là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật AEGF. a/ Tìm quỹ tích tâm O của của hình chữ nhật AEGF b/ Tìm quỹ tích điểm G 5 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, E là điểm bất kỳ nằm giửa A và B, Ce cắt AD ở I, đường thẳng vuông góc với CI ở C cắt AB ở K a/ CM: A. C, K, I thuộc một đường tròn tâm O và CI = CK b/ Tìm quỹ tích tâm O là trung điểm của IK c/ Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với IK ở M, khi E di động trên AB, Tìm quỹ tích tâm M d/ Đặt BE = x. Tính CK, BK, IK theo x 6 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong (O;R). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC, AM cắt BC tại S. a/ CM:góc ASB = góc ACM b/ CM: tam giác ACM đồng dạng với tam giác ASC, đồng dạng tam giác BSM c/ CM: khi M di động thì AM.AS không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác MSC luôn luôn tiếp xúc với AC d/ CM: tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác MSC luôn luôn di động trên một đường cố định 7 Cho hình vuông ABCD. Lấy M trên BC và ngoài đoạn BC. Đường vuông góc với AM tại A cắt tia CD ở P. Dựng hình chữ nhật AMNP a/ CM: AMNP là hình vuông b/ Tìm qũy tích những điểm N khi M di động 8 Cho (O) đường kính AB = 4cm. Vẽ dây AN, trên AN lấy M sao cho AM.AN = 5. Từ M kẻ MI vuông góc với AB tại I. a/ CM: AM.AN = AI. AB b/ Tính AI c/ Tìm quỹ tích những điểm M 9 Cho tam giác ABC có phân giác trong là AI. Tại một điểm di động D trên cạnh BC ta vẽ một đường song song với AI, đường này cắt AC tại E và AB tại F. Tìm quỹ tích trung điểm M của EF khi d di động 10 Cho tam giác ABC cố định, kẻ phân giác AD của góc A. Lấy M di động trên BC. Kẻ Mx // AD cắt AC tại E và AB ở F.Tìm quỹ tích trung điểm P của EF khi M di động trên BC 11 Cho hình chữ nhật ABCD. Một góc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax cắt Bc ở E, Ay cắt CD ở F, G là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật AEGF. Tìm quỹ tích điểm G 12 Cho (O) đường kính AB = 4cm. Vẽ dây AN, trên AN lấy M sao cho AM.AN = 5. Tìm quỹ tích điểm M 13 Cho góc vuông xOy, trên Ox lấy điểm A cố định và A khác O, B di động trên Oy.Tìm quỹ tích điểm C sao cho tam giác ABC đều ( dựng tam giác đều OAD có đỉnh D bên trong góc xOy ) III. DẠNG ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1 Cho góc xOy = 900 và A cố định trên Ox, B di động trên Oy. Vẽ hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I a/ CM: A, O, I, B thuộc đường tròn b/ Kẻ IH ^ Ox, IK ^ Oy. CM : IH = IK c/ Tìm quỹ tích những điểm I khi B di động trên Oy 2 Cho hai đường thẳng cắt nhau tại A. Tìm quỹ tích tâm những đường tròn luôn luôn tiếp xúc với hai đường tròn ấy 3 Cho tam giác ABC Trên đường kéo dài của hai cạnh AB và AC lấy hai điểm di động M và N sao cho BM = CN và gọi O là trung điểm của BC, từ O kẻ Ox song song với AB và Oy song song với AC. Từ M và N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt Ox ở E và Oy ở F a/ CM : OE = OF b/ CM : tứ giác MENF là hình bình hành c/ Tìm quỹ tích trung điểm I của MN 4 Cho hình vuông ABCD. Lấy M trên BC và ngoài đoạn BC. Đường vuông góc với AM tại A cắt tia CD ở P. Dựng hình chữ nhật AMNP a/ CM: AMNP là hình vuông b/ Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình vuông AMNP. CM: tam giác CAN vuông tại C c/ Tìm qũy tích những điểm N khi M di động 5 Cho một điểm M di động trong một góc vuông xOy cố định. Gọi A và B là chân đường vuông góc vẽ từ M đến Ox, Oy. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với AB và trên đó về hai phía điểm M lấy hai điểm I, J sao cho MI = MJ = AB( I là điểm ở trong góc vuông xOy). a/ CM: góc AMJ = góc AOM b/ Tìm quỹ tích điểm I c/ Tìm quỹ tích điểm J 6 Cho một góc xOy = 900, trên tia Ox lấy một đoạn cố định OA và trên tia Oy lấy một điểm B di động. Dựng hình vuông ABCD với hai đường chéo cắt nhau tại I. Tìm quỹ tích điểm I khi B di động trên tia Oy 7 Cho tam giác ABC Trên đường kéo dài của hai cạnh AB và AC lấy hai điểm di động M và N sao cho BM = CN. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN 8 Cho hình vuông ABCD. Lấy M trên BC và ngoài đoạn BC. Đường vuông góc với AM tại A cắt tia CD ở P. Dựng hình chữ nhật AMNP. Tìm qũy tích những điểm N khi M di động 9 Cho một điểm M di động trong một góc vuông xOy cố định. Gọi A và B là chân đường vuông góc vẽ từ M đến Ox, Oy. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với AB và trên đó về hai phía điểm M lấy hai điểm I, J sao cho MI = MJ = AB( I là điểm ở trong góc vuông xOy). Tìm quỹ tích điểm I và J 10 Cho Ox và Oy là hai nửa đường thẳng cố định và vuông góc với nhau. Một tam giác vuông cân ABC có diện tích không đổi, hai đầu B và C của cạnh huyền di động trên Ox và Oy, hai đỉnh A và O nằm ngoài ở hai phía đối với BC. Tìm quỹ tích điểm A 11 Tìm quỹ tích tâm của một đường tròn luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau cho trước 12 Góc ở đỉnh của một tam giác cân là góc của hai đường thẳng cắt nhau cố định. Tìm quỹ tích trung điểm của cạnh đáy của tam giác cân ấy 13 Cho Ox và Oy là hai nửa đường thẳng cố định, một tam giác cân ABC có diện tích không đổi, góc ở đỉnh A bù với góc xOy, hai đầu B và C của cạnh đáy di động trên Ox và Oy, hai điểm A và O ở hai phía đối với BC. Tìm quỹ tích điểm A. IV. DẠNG ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1 Tìm quỹ tích tâm O của những đường tròn bán kính 2cm luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định 2 Cho đường thẳng xy cố định và điểm A cố định ngoài xy, kéo AB lấy BC = AB. Kẻ AH và CI cùng vuông góc với xy a/ CM: AH = CI b/ Tìm quỹ tích những điểm C khi B chạy trên xy 3 Cho 2 đường thẳng d1 và d2 cố định và song song với nhau. Tìm quỹ tích các đường tròn luôn luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng ấy 4 Cho hai đường thẳng p và q song song cố định. Cát tuyến xy cắt p và q ở A và B, kẻ MH ^ p và MK^ q a/ CM : MH = MK b/ Tìm quỹ tích trung điểm M của AB khi xy chuyển động song song với chính nó. 5 Cho đường thẳng d và A cố định không thuộc d, đường tròn (O) di động qua A và tiếp xúc với d ở B. Gọi M là trung điểm của AB và kẻ AH ^ d và MK ^ d a/ CM: MK = AH b/ Tìm quỹ tích M 6 Cho tam giác ABC có BC cố định và đĩnh A di động trên đường thẳng xy cố định song song với BC. Kẻ AH ^BC và GE ^ BC với G là trọng tâm của tam giác ABC a/ Tính tỉ số b/ Tìm quỹ tích điểm G 7 Cho tam giác ABC cố định và D di động trên BC và kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tìm quỹ tích trung điểm I của AD khi D di động trên BC 8 Cho hình bình hành ABCD cố định và I là một điểm di động trên đường chéo AC. Gọi M là điểm đối xứng của D qua I và O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành a/ CM : OI // MB b/ Tìm quỹ tích điểm M khi I di động 9 Cho đường thẳng xy cố định và điểm A cố định ngoài xy, kéo AB lấy BC = AB. Tìm quỹ tích những điểm C khi B chạy trên xy 10 Cho hai đường thẳng p và q song song cố định. Cát tuyến xy cắt p và q ở A và B, Tìm quỹ tích trung điểm M của AB khi xy chuyển động song song với chính nó. 11 Cho đường thẳng d và A cố định không thuộc d, đường tròn (O) di động qua A và tiếp xúc với d ở B. Tìm quỹ tích hình chiếu M của O xuống AB 12 Cho tam giác ABC có BC cố định và đĩnh A di động trên đường thẳng xy cố định song song với BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC 13 Cho hình bình hành ABCD cố định và I là một điểm di động trên đường chéo AC. Gọi M là điểm đối xứng của D qua I. Tìm quỹ tích M khi I di động 14 Tìm quỹ tích tâm của một đường tròn di động luôn luôn tiếp xúc với hai đường thẳng song song cho trước 15 Một điểm C chuyển động trên đoạn AB cho trước, dựng hai tam giác đều ACD và BCE có cạnh AC và BC nằm về cùng một phía với AB. Tìm quỹ tích trung điểm của DE 16 Một tam giác biến thiên có đáy cố định và diện tích không đổi. Tìm quỹ tích của đỉnh góc đối 17 Tìm quỹ tích trung điểm của một đọan thẳng có một đầu là một điểm cố định, còn đầu kia thi di động một đường thẳng cho trước 18 Tìm quỹ tích trung điểm của một đọan thẳng có hai đầu di động trên hai đường thẳng song song cho trước V. DẠNG ĐƯỜNG TRÒN 1 Cho điểm A di động trên (O) cố định, Gọi I là trung điểm của OA a/ CM: khi A di động trên (O) thì điểm I di động trên đường tròn cố định b/ Trên tia đối của tia AO lấy K sao cho AO = AK. CM: khi A di động trên (O) thì K di động trên đường tròn cố định 2 Cho A di động (O;R) có đường kính BC cố định. Gọi M, N là hình chiếu của O trên AB và AC, I là giao điểm của AO và MN a/ CM: tứ giác AMON là hình chữ nhật b/ CM: khi A di động trên (O) thì điểm I di động trên đường tròn cố định 3 Cho A di động trên (O;R) đường kính CB cố định . Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AB = AD.CM: khi A di động trên (O) thì D di động trên đường tròn cố định 4 Cho B di động trên (O;R) a/ Điểm A cố định nằm trong (O;R). Gọi I là trung điểm của AB. CM: khi B di động trên (O) thì I di động trên đường cố định b/ Điểm C cố định nằm ngoài (O;R). Gọi J là trung điểm của BC. CM: khi B di động trên (O) thì điểm J di động trên đường cố định 5 Tìm quỹ tích tâm O của những đường tròn có bán kính R và qua A cố định 6 Cho góc vuông xOy và đoạn AB = l( không đổi) với A và B di động trên Ox và Oy. Tìm quỹ tích trung điểm M của AB 7 Cho (O;R) và dây BC = l không đổi. Tìm quỹ tích trung điểm H của BC khi BC di động ( 0 < l < 2R) 8 Cho (O;R) và hai bán kính OA và OB vuông góc. M là trung điểm của AB. a/ CM: OM ^ AB b/ Tính AB và OM theo R c/ Tìm qũy tích M khi AB di động nhưng OA ^ OB 9 Cho (O) đường kính AB = 2R. Kẻ dây lưu động AC và kéo dài lấy CP = AC. Tìm quỹ tích những điểm P khi C chạy trên (O) 10 Cho (O:R). Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O;R). Đường trung trực của đường kính BC cắt AC tại K a/ CM: MK = R b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho tam giác MAB đều 11 Cho tam giác ABC có đỉnh A di động, cạnh BC cố định và đường trung tuyến BI = l ( l là một độ dài không đổi)và kéo dài CB lấy BO = BC a/ CM: OA không đổi b/ Tìm quỹ tích các đỉnh A của tam giác 12 Cho (O;R), BC là một dây cung cố định của đường tròn, A di động trên cung lớn BC. G là trọng tâm của tam giác ABC . Từ G vẽ đường thẳng song song với OA cắt OI tại J ( I là trung điểm của BC) a/ CM : J là điểm cố định b/ Tìm quỹ tích các điểm G 13 Cho đường tâm O đường kính AB cố định và tiếp tuyến Ax tại A với đường tròn. Một điểm m di động trên nửa đường tròn cùng bên với tiếp tuyến Ax. Tia BM gặp tia phân giác AT của góc MAx tại I. Tìm quỹ tích các điểm I khi M di động trên nửa đường tròn 14 Cho (O;R) có đường kính AB cố định và điểm C di động trên bán kính OB. Một cát tuyến vẽ từ C hợp với AB một góc 450 và cắt (O) tại E và E/ ( E ở phía trên AB) Đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ E/ cắt (O) tại F a/ CM: tam giác CE/F vuông cân b/ Tìm quỹ tích trung điểm I của EF khi C di động trên OB 15 Cho một góc xAy = 300 quay xung quanh điểm A cố định. Từ một điểm B cố định vẽ BM ^Ax và BN ^ Ay a/ CM: MN có độ dài không đổi b/ Tìm quỹ tích trung điểm I của MN 16 Cho (O;R) và ahai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ AC. Vẽ dây cung ML ^ CD tại E, dây MN ^ AB tại F và LA cắt NC tại I a/ CM: EF = R b/ CM: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MLN c/ Tìm quỹ tích trung điểm K của EF khi M di động trên cung nhỏ AC 17 Cho hai đường tròn đồng tâm bán kính R và r. Dựng dây cung BC của đường tròn lớn và tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại I. Các tiếp tuyến với đường tròn lớn tại B và C cắt nhau tại A. a/ Tìm quỹ tích điểm A khi BC di động b/ Đường thẳng AO cắt đường tròn lớn tại D và E. CM: 18 Cho hai đường tròn đồng tâm O bán kính R và R/ ( R/ > R). Tìm quỹ tích những điểm M mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến MP và MQ với hai đường tròn đồng tâm sao cho MP ^ MQ ( P và Q là hai tiếp điểm ) 19 Cho (O;R) và một điểm A cố định trên đường tròn. Dựng tiếp tuyến xAy với đường tròn. Từ một điểm M di động trên xy vẽ tiếp tuyến MB với (O) ( B là tiếp điểm ) a/ Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAB khi M di động b/ Cho AM =2R và BH cắt AM tại C, MO cắt AB tại D. CM: tam giác ACD đồng dạng tam giác MAB và tính AC, AD theo R 20 Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn và M là trung điểm của cung AC. AC cắt BM tại H, AM cắt BC tại E a/ CM: EH ^ AB b/ CM: tam giác ABE là tam giác cân c/ Khi C di động trên nửa đường tròn thì E di động trên đường nào 21 Cho (O;R) và A cố định thuộc (O) và C di động trên (O). Vẽ hình thoi OABC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC 22 Cho (O;R) và hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau a/ CM:ACBD là hình vuông b/ Lấy E thuộc cung BC. Trên tia đối của tia EA lấy EM = EB. Chứng tỏ ED là phân giác của góc AEB và ED // MB c/ Suy ra CE là trung trực của BM và M luôn luôn di động trên một đường cố định 23 Cho (O;R) và I là điểm chính giữa của cung AB của nửa đường tròn đường kính AB. C là điểm di động trên cung BI. Trên AC lấy CE = CF = CB ( E ở ngoài đường tròn (O)) a/ CM: IE = IB b/ Tìm quỹ tích những điểm E khi C di động trên cung BI c/ Gỉa sử số đo cung BC = 600. Kéo dài BE cắt (O) tại M. Tính AM theo R 24 Cho (O) và (O/) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một đường thẳng d qua A cắt (O) và (O/) ở E và F. Tìm quỹ tích trung điểm M của EF khi d quay quanh A 25 Một đọan thẳng biến thiên AP có chiều dài l không đổi, đầu A là tiếp điểm của nó với đường tròn O cho trước. Tìm quỹ tích của P 26 Một đoạn AP có đầu A là một điềm cố định nằm trong đường tròn O cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P di động trên đường tròn 27 Cho hình bình hành ABCD có CD cố định và BC là độ dài không đổi l. Tìm quỹ tích giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD khi B di động 28 Một dây cung bất kỳ AC có đầu A trùng với đầu đường kính AB cố định của một đường tròn cố định, trên đường kéo dài AC lấy một điểm P sao cho CP = AC. Tìm quỹ tích điểm P 29 Cho AB là một dây cung biến thiên trong một đường tròn O cố định và có chiều dài cho trước. Điểm P là giao điểm của hai tiếp tuyến đi qua A và B. Tìm quỹ tích của điểm P. VI .DẠNG ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG KÍNH 1 Cho A di động trên (O;R) có đường kính BC cố định. Kẻ OD ^ AB tại D. CM: khi A di động trên (O) thì D di động trên đường tròn cố định 2 Cho điểm A di động trên (O) và điểm cố định thuộc (O).Kẻ BH ^ OA tại H. CM: khi A di động trên (O) thì điểm H di động trên một đường cố định 3 Cho điểm A cố định nằm bên trong (O) và dây BC di động quay quanh A. Kẻ OI ^ BC tại I. CM: khi BC quay quanh A thì I di động trên đường cố định 4 Cho A cố định thuộc (O;R) và B di động trên (O). Gọi M là trung điểm của AB a/ CM: khi B di động trên (O) thì điểm M di động trên đường cố định b/ Kẻ đường kính AC, Gọi N là trung điểm của BC. CM: khi B di động trên (O) thì điểm N di động trên đường cố định 5 Cho điểm A cố định nằm trong (O) và dây BC quay quanh A. Gọi M là trung điểm của BC. CM: M di động trên đường tròn cố định khi BC quay quanh A 6 Cho đường thẳng d ^ AB tại A ( A và B cố định ) và C thuộc d. Kẻ AH ^ BC tại H a/ CM: H nằm trên đường tròn cố định b/ CM: khi C di động trên d thì trung điểm M của BH di động trên đường cố định 7 Cho (O) và điểm A cố định thuộc (O). vẽ dây lưu động AC. Tìm quỹ tích trung điểm I của AC khi C chạy trên đường tròn (O) 8 Cho (O) và điểm A cố định trong (O). Qua A vẽ dây lưu động BC. Tìm quỹ tích trung điểm M của BC khi BC quay quanh A 9 Cho (O) và điểm A cố định ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến lưu động ABC. Tìm quỹ tích trung điểm I của BC khi cát tuyến xoay quanh A. 10 Cho(O) và (O/) bằng nhau cắt nhau tại A và B. Cát tuyến qua A cắt (O) ở C và (O/) ở C/ a/ CM: BC = BC/ b/ Tìm quỹ tích trung điểm M của CC/ khi cát tuyến quay quanh A 11 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O). D di động trên cung BC. Vẽ CH ^ AB tại H, CH cắt BD ở G a/ Tìm quỹ tích điểm H khi D di động trên cung BC b/ CM: C và G đối xứng nhau qua AD 12 Cho (O) va(O/) tiếp xúc ngoài tại A. Từ A dựng hai tia Ax và Ay vuông góc và cắt (O) và (O/) ở P và Q. Tìm quỹ tích trung điểm M của PQ khi góc xAy xoay quanh A 13 Cho tam giác ABC, ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn (O) đường kính AB và nưả đường tròn (O/) đường kính AC. Qua A vẽ cát tuyến xy cắt (O) ở D và (O/) ở E a/ CM: đường vuông góc với DE ở trung điểm N của DE đi qua một điểm cố định b/ Tìm quỹ tích những điểm N khi xy quay quanh A 14 Cho điểm C di động trên cung AB lớn cố định (O;R). Dựng hình bình hành BACD a/ Tìm quỹ tích giao điểm M của BC và AD khi C di động b/ Định vị trí của C để AD dài nhất 15 Cho giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Qua A vẽ đường thẳng di động d. B/, C/ là hình chiếu của B và C xuống d a/ CM: đường tròn đường kính B/C/ qua một điểm cố định b/ Tìm quỹ tích trung điểm M của B/C/ 16 Cho (O;R) vẽ tiếp tuyến xBy với B cố định, A di động trên xy. Kẻ tiếp tuyến AC a/ Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC b/ H là hình chiếu vuông góc hạ từ B xuống OA. Tìm quỹ tích những điểm H 17 Cho hình vuông ABCD từ M di động trên AC kẻ MP ^ AB, MN ^ BC, AN cắt PD ở K. Tìm quỹ tích những điểm K khi M di động trên AC 18 Cho nửa đườn tròn đường kính AB và M di động trên nửa đường tròn. Trên AM lấy AI = MB. Tìm quỹ tích những điểm I khi M di động 19 Cho (O) và dây BC cố định, A di động trên cung BC lớn sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, M là điểm chính giữa cung BC. Tìm quỹ tích trung điểm N của AM khi A di động 20 cho góùc xOy = 900. A cố định trên Ox, B thuộc Oy sao cho OA = OB, Cát tuyến lưu động qua A cắt OB tại H. Đường thẳng vẽ từ B và vuông góc với AH ở I cắt Ox ở D a/ CM: OD = OH b/ Tìm quỹ tích những điểm I c/ CM: tứ giác IHOD nội tiếp và tìm quỹ tích tâm của đường