Chuyên đề Rèn kỹ năng vận dụng tam giác đồng dạng để chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 8

Chuyên đề: Rèn kỹ năng vận dụng tam giác đồng dạng để chứng minh hệ thức hình học của học sinh lớp 8 A.Đặt vấn đề I.Lí do chọn đề tài Trong chương trình THCS có nhiều dạng toán, một trong những dạng toán và khó và thương gặp khi giải toán là chứng minh đẳng thức. Việc chứng minh một đẳng thức A = B hay a.d = b.c trong số học không khó và có thể áp dụng một số phương phát như sau : - Chứng minh VT - VP = 0 - Biến đổi vế trái về vế phải - Biển đổi vế trái và vế phải về cùng một kết quả chúng Nói chung việc chứng minh một đẳng thức số thì không khó đối với học sinh, nhưng việc chứng minh một đẳng thức trong hình học THCS thì vẫn còn là một câu hỏi. Liệu có thể sử dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức trong số học vào để chứng minh một đẳng thức trong hình học hay không , nếu được thì cần áp dụng như thế nào? Qua thời gian giảng dạy toán THCS và kiến thức vốn có bản thân, học hỏi kinh nghiệm của những người thầy đi trước tôi rút ra một kinh nghiệm để giải các bài toán dạng chứng minh đẳng thức tích trong hình học. Như ta đã biết đẳng thức a.d = c.b có thể viết dưới dạng các tỉ lệ thức như sau mà trong hình học thì khi nói đến các tỉ lệ thức thì ta liên tưởng đến ngay các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đường phân giác trong tam giác; Định lý Talét. Vậy để làm được các bài toán như trên đã đặt ra thì giáo viên phải nắm các kiến thức trên một cách chắc chắn, và phải truyền đạt cho học sinh hiểu một cách tường minh các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đường phân giác trong tam giác; Định lý Talét. Sau đây tôi xin minh hoạ bằng cách hướng dẫn học sinh giải một số bài toán dạng trên trong chương trình Toán Hình học 8. II.Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp 8 trường THCS III.Nhiệm vụ : 1) Nâng cao chất lượng khi giảng dạy nội dung này 2) Rèn cho học sinh những thói quen chứng minh hệ thức như các phép biến đổi tương đương ; các phép bình phương hai vế, các cách chia một đoạn thẳng thành nhiều đoạn thẳng …. IV.Phương pháp nghiên cứu 1) Phương pháp phân tích 2) Phương pháp tổng hợp 3) Phương pháp so sánh 4) Phương pháp tổng hợp 5) Phương pháp sơ đồ hoá B.Nội dung nghiên cứu 1.Trước hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về các chứng minh hai tam giác đồng dạng . - Nắm được các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, các tính chất của đường phân giác trong tam giác và định lí ta lét , hệ quả của định lí ta lét - Nắm được các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông * Trong phần đòi hỏi giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh giúp học sinh nắm kiến thức và bước đầu vận dụng kiến thức .Theo tôi đây là cong vệc dễ nhưng rất khó. Vì thực tế hiện nay học sinh thương xa vào chơi điện tử nên rất ngại học ,tôi chỉ nói đến vấn đề học thuộc định lí thôi các em cũng không học được.Tôi cho rằng biện pháp hữu ích nhất là “lạt mềm buộc chặt”.Cụ thể : +) Khi lên lớp giáo viên phải dạy học sinh những kiến thức thật cơ bản và trọng tâm vận dụng phương pháp ôn cũ dạy mới và một công việc vô cùng quan trọng là giáo viên thường xuyên kiểm tra vở làm bài tập của học sinh .Kết hợp động viên các em thông qua các bài tập câu hỏi dễ và có các điểm tốt khen các em . * Sau đó giáo viên cần nâng cao rèn luyện kỹ năng chính minh thành thạo các dạng bài tập thường gặp vừa sức với mỗi đối tượng học sinh. 2) Giáo viên cần trang bị cho học sinh những kỹ năng cơ bản như vẽ hình , ghi GT và KL ,khai thác GT và hiểu kết luận và biến đổi kết luận ,GT theo những cách khác nhau, để từ đó tìm ra điểm tiếp xúc với GT và KL . 3)Một nhiệm quan trong khi dạy phần này là người giáo viên luôn phải đặt ra các câu hỏi mang tính lôgic để hướng dẫn học sinh tường bước suy luận tìm lời giải ,trong nhiều trương hợp có thể dùng các phép suy luận như : Phân đi lên ; phân tích đi xuống mà một phương pháp không thể thiếu là” chuyển động hai đầu ” 4) Khi hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên phải tuân theo các quy tắc nhất định ví dụ như các bước tìm lời giải bài toán, chẳng hạn : Bứơc1: Tìm hiểu đề Bước 2: Tìm lời giải Bước 3:Lập chương trình giải Bước 4: Trình bày lời giải Bước 5: Kiểm tra lời giải và nghiên cứu sâu lời giải Sau đây tôi xin minh hoạ các vấn đề nói trên bằng các bài tập cụ thể . Ví dụ 1 (Bài 39 SGK T8_2 tr 79) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ).Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Chứng minh rằng : OA.OD = OB.OC Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Dựa vào nội dung của bài toán vẽ hình và ghi GT,KL của bài toán - GT của bài toán là gì ? - KL của bài toán là gì ? - Kết luận này còn có thể viết ở dạng nào khác không ? - Điều này gợi cho ta nhớ tới định lí ta lét ; tam giác đồng dạng và hệ quả định lí ta lét - Ta thấy nếu (2) đúng thì (1) cũng đúng vì ta đã dùng phép biến đổi tương đương - GT cho AB //CD , từ điều kiện này ta rút ra được gì không ? - Để có các tỉ lệ thức trên ta cần có tam giác đồng dạng - Trước hết từ hệ thức cho ta dự đoán sau : OAB OCD hoặc OAC OBD - Hai tam giác OAB và OCD có những yếu tố nào về góc bằng nhau hoặc những yếu tố nào về cạnh tỉ lệ với nhau rồi ? - GV yêu cầu học sinh bảng trình bày lời giải Nhận xét : Ta thấy để chứng minh OA.OD = OB .OC ta đã phải biến đổi hệ thức này thành các hệ thức dưới dạng tỉ lệ Nó gợi ý cho chúng ta nhơ tới tam giác đồng dạng ,Vậy còn cách nào để có được ngay hệ thức (2) không GT ABCD (AB// CD) , O = AC BD KL OA.OD = OB.OC ABCD là hình thang ( AB//CD) OA.OD = OB.OC (1) (2) Học sinh phát hiện các cặp góc bằng nhau Và chọn được OAB OCD Vì : AOB = COD ( đổi đỉnh ) ABO = CDO ( so le trong ) OAB OCD HS: ta có thể vận dụng hệ quả của định lí ta lét trong tam giác OAB và có CD// AB. Ví dụ 2: ( Bài 48 SBT T8 _ 2 tr 75) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng : AH2 = BH.CH Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GV yêu cầu học sinh đọc đề - GV đọc đề - Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những điều kiện của bài toán đã cho ? - GV hướng dẫn học sinh phân tích để chứng minh AH2 = BH.CH AH.AH = BH.CH ? - Để có được hệ thức ta phải tìm ra hai tam giác đồng dạng - Lấy hai cạnh trên hai tử và hai cạnh trên hai mẫu lập thành hai tam giác và ta kiểm tra xem hai tam giác đó có đồng dạng hay không ?hoặc ghép hai cạnh trong một tỉ số để được các tam giác đồng dạng -GV yêu cầu học sinh chứng minh Nhận xét : Ngoài kết quả AH2= BH.CH, ta còn có thể chứng minh được các hệ thức sau : AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC AB.AC = AH.BC Tam giác ABC vuông tại A nên: B + C = 900 (1) Tương tự : HAB + B = 900 (2) HAC + C = 900 (3) Từ (1) và (2) C = HAB Từ (1) và (3) B = HAC Hai tam giác HAB và HCA có: C = HAB B = HAC Vậy HAB HCA AH2 = BH.CH Ví dụ 3: Tam giác ABC, phân giác AD. Qua B kẻ Bx sao cho CBx = BAD .Tia Bx cắt tia AD tại E .Chứng minh rằng : BE2= DE.AE Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Hãy vẽ một hình vẽ thoả mãn những điều kiện của bài toán đã cho -GT của bài toán là gì ? - KL của bài toán là gì ? - Gv kết luận này còn có thể biểu diễn ở dạng nào khác không ? - GV muốn có hệ thức ta cần chứng minh điều gì ? - GV ta có sơ đồ sau BE2= DE.AE BE . BE = DE . AE ABE BDE HS: BAD = CAD ; CBx = BAD BE2= DE.AE BE . BE = DE . AE ABE BDE *Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra cho học sinh như sau - Để chứng minh đẳng thức a,b = c.d hoặc a2 = b.c, ta áp dụng khái niệm khái niệm hai tam giác đồng dạng, đường phân giác trong tam giác - Nừu đẳng thức có dạng a,b = c.d ta có thể lập được hai cặp tam giác đồng dạng nhưng chỉ có một cặp là đồng dạng Nhưng một vấn đề đặt ra là nêu vào các dạng bài toán chứng minh hệ thức phức tập hơn thì sao ? Chúng ta nghiên cứu tiếp các loại toán phức tập hơn để thấy rõ các phương pháp trên Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) .Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O .Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M,N .Chứng minh : a) OM = ON b) (*) Hoạt động của GV Hoạt động của HS Theo các làm bài tập 20 (sgk_tr68) Ta sẽ chứng minh được câua của bài toán này - Ta thấy MN = 2OM nên kết luận bài toán này được biến đổi như sau + = + = 1( vì OM = ON ) (**) Vậy để chứng minh hệ thức (*) ta sẽ chứng minh hệ thức (**) - Ta thấy = (1) ( vì OM//CD) = (2) Từ (1) và (2) ta sẽ chứng minh được (**) - GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh Học sinh lên bảng chứng minh Qua bài toán này ta rút ra được như sau :Để chứng minh tổng các tỉ số bằng một số không đổi nào đó ta chuyển các tỉ số đó về cùng một đường thẳng,để tính tổng các tỉ số . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC trung tuyến AD, trọng tâm G. Một đường thẳng qua G cắt hai cạnh AB và AC tại E và Q .Chứng minh rằng :+ = 3 Hoạt động của GV Hoạt động của HS -Ta chuyển tỉ số trong vế trái của đẳng thức về đường thẳng AG . - Vì sao lại chọn AG ? -Kẻ BN và CM song song với EQ (M,N thuộc AD) ND = MD Và = ; = + = + = Bài toán chuyển về tính AM + AN theo AG Ta dễ dàng biến đổi để chứng minh được AM + AN = 3AG - GV yêu cầu học sinh lên bảng làm theo hướng dẫn Học sinh lên bảng làm *Qua bài toán này ta rút ra được gì ? Qua bài toán ta rút ra được kỹ năng sau : Chọn đường thẳng để ta ra các đường thẳng song song ,chuyển các tỉ số trên cùng một đường thẳng đã chọn Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có B = 2C .Chứng minh rằng : AC2 = AB(AB + BC) Hoạt động của GV Hoạt động của HS - GV: Kết luận của bài toán còn biến đổi như thế nào ? - Hệ thức (*) cho ta thấy để vận dụng được tam giác đồng dạng hay định lí ta lét ta cần thay AB + BC = AE - Khi đí hệ thức (*) trở thành hệ thức nào ? - Điều này gợi ý cho ta tạo thên điểm E sao cho BC = BE - Như vậy trên tia đối của tai BA ta lấy điểm E sao cho BC = BE Lấy điểm E trên tia đối của BA sao cho BC = BE nên : Tam giác BEC cân tại B,do đó B = 2E = 2BCE E = C Do đó tam giác ABC đồng dạng với tam giác ACE GV yêu cầu học sinh lên bảng làm HS: AC2 = AB(AB + BC) AC.AC = AB( AB + BC) = (*) *Qua bài toán này ta thấy để chứng minh hệ thức hình có nhiều bài toán ta phải biết thay đổi góc và đọc thẳng để chứng minh hệ thức . Ví dụ 7: Cho tam giác ABC phân giác AE.Chứng minh rằng AE2 = AB.AC- BE.CE Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Ta thay đổi kết luận bằng cách như sau AE2 = AB .AC – BE.CE AE .AE = AB.AC - BE.CE Tách đoạn AE thành hiệu của hai đoạn thẳng AE = AF - EF ,thay AE.AE = AE.AF - AE.EF Khi đó ta có : AE.AF - AE.EF = AB.AC - BE.CE điều này gợi cho ta chứng minh AE.AF = AB.AC và AE.EF = BE.CE Điều này gợi cho ta tạo ra điểm F sao cho ABF AEC ,như vậy ta cần tạo ra ABF = AEC Hướng dẫn : Trên nửa mặt phẳng bờ là AB có chứa điểm C sao cho ABx = AEC , Bx cắt tia đối của tia EA tại F . Dễ dàng chứng minh được các cặp tam giác ABF, AEC và BEF, AEC đồng dạng Gv yêu cầu học sinh lên bảng làm Học sinh lên bảng trình bày *Qua bài toán này ta thấy không phải lúc nào cũng chứng minh một hệ thức hình học mà chỉ dựa vào GT đã có mà còn phải biết mò mẫm biến đổi để tạo ra được các cặp tam giác đồng dạng ( Phương pháp phân tích của Ptoneme) Bài tập ứng dụng Bà1: (Bài54 SBT T8_2 tr76) : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, ABD = ACD . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC .Chứng minh rằng : EA.ED = EB .EC Bài 2:(Bài 55 SBT T8 _ tr77) :Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH Bài3: Cho hình bình hành ABCD, F trên cạnh BC. Tia à cắt BD và DC lần lượt ở E và G .Chứng minh AE2 = EF.EG Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH,phân giác BD.Gọi I là giao điểm của AH vàBD .Chứng minh rằng AB.BI = BD.HB Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của H trên AB,AC .Chứng minh rằng AM.AB = AN.AC Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD,E là trung điểm của AB. Tia DE cắt AB tại F cắt CB tại G .Chứng minh FD2 = EF.FG Bài 7: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 600. Một đường thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của tia BA, DA tương ứng tại M,N .Chứng minh rằng :BM.DN Bài 8:Cho tam giác ABC nhọn,các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H .Chứng minh rằng : a) AE.AC = AF.AB b) EB là phân giác của góc FEB c) BH.BE + CH.CF = BC2 Bài 9:Cho tam giác ABC nhọn .Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H .Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M và N sao cho AMC = ANB = 900 .Chứng minh rằng tam giác AMN cân . Kết luận Qua năm học 2008 - 2009 do liềm đam mê nghề dạy học cũng như học môn toán , tôi đã được tiếp cận nhiều đối tượng học sinh khác nhau .Bản thân tôi từ phía chủ quan cũng như từ kính nghiệm thức tiễn tôi đã không ngừng nghiên cứu và thay đổi phươn pháp dạy học theo chương trình đổi mới .Những vấn đề tôi nêu trên còn nhiều thiếu sót .Tôi mong các đồng chí và bạn bè góp ý kiến giúp tôi để tôi ngày một hoàn thiện hơn.