Chuyên đề Số chính phương

SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1) Định nghĩa: Là số có dạng . 2) Tính chất: Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1 Nếu a=3k thì ; Nếu thì Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào Số chính phương không thể có tận cùng là 2, 3, 7, 8. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương. nếu a, b chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương. HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d + Do + Do Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương. 3) Bài tập Chứng minh rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chính phương. HD: Chứng mnh rằng tổng các bình phương của 2 hoặc 3 số nguyên lẻ không chính phương. HD: Chứng minh rằng một số chẵn bất kì không phải là bội của 4 thì không thể phân tích thành 2 số chính phương. HD: Do vế trái chẵn nên hai số a và b có cùng tính chẵn lẻ suy ra (a-b) và (a+b) cùng chẵn. Khi đó vế phải chia hết cho 4. Cho phương trình 13x2 +2 =y2 không có nghiệm nguyên. HD: + x và y cùng tính chẵn lẻ + Khi y chẵn: + Khi y lẻ : Tìm để là chính phương. HD: + + n=2: 25 là chính phương. + n=0 ho ặc 1 thì không thoả mãn Chứng minh rằng không tồn tại để 24n+41 là chính phương. HD: G/s 24n+41=t2 + Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3 + Nếu t không chia hết cho 3 thì Chứng minh không tồn tại để 7.10n+4 là chính phương. HD: Chứng minh rằng tích của 2 số tự nhiên khác không liên tiếp không chính phương. HD: có n2<n(n+1)<n2+2n+1=(n+1)2 Tìm n2 + 3n là chính phương. HD: Dễ thấy n=0;1 đúng. Ngoài ra, có n2+2n+1<n2+3n<n2+4n+4 hay (n+1)2<n2+3n<(n+2)2 Tìm để n2 + 3 chia hết cho 5. Tìm để n! + 97 là chính phương. HD: Nếu thì n!+97 có tận cùng là 7 nên không chính phương. Nếu n=4 thì 24+97=121=n2 Nếu thì đều không thoả mãn. Chứng minh rằng tích của 4 cố tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương. Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không? HD: a) . Vì nên nếu S(N)=1994 thì b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương. HD: nhưng không chia hết cho 25. Chứng minh rằng không tồn tại để n2+n+2 chia hết cho 3. HD: G/s để n2+n+2=3k khi đó n2+n+2-3k=0có nghiệm nguyên dương Có là số chính phương. Điều này vô lí vì Gọi N=2.3.4…Pn là tích của n số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng cả 3 số N, N-1, N+1 đều không là số chính phương. HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương. Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó Nếu th ì N-1 không chính phương. Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương. Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6. HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b)+b2 ; Với chữ số hàng chục của 20n(5n+b) chẵn do đó chữ số hàng chục của b2 lẻ nên b=4; 6. Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn. HD: Xét (10a+b)2 =20a(5a+b)+b2 với b lẻ, ĐPCM Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là chẵn. HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25. Vì a(a+1) chẵn . Ta có ĐPCM. Tìm để 2x+5y chính phương. HD: G/s + Nếu x=0 thì 1+5y=k2 suy ra k chẵn + Nếu k lẻ và k không chia hết cho 5. y=0: , vì k không chia hết cho 5 nên Từ giả thiết suy ra x chẵn, x=2n Và từ giả thiết suy ra + Nếu y=2t thì 2n+1=25t-1 chia hết cho 3 + Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1) nếu y>1 thì 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ. Vậy y=1 suy ra x=2. Đáp số x=1; y=2. Tìm 1 số có 2 chữ số biết: Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương. Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương. HD:a) , vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11. do đó a+b chia hết cho 11. +) Vì 0<(a-b)<8, chính phương hay (a-b) chính phương, suy ra hoặc a-b=1 hoặc a-b=4 ĐS: số 65 Tìm số chính phương biết HD:. Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91. Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2+a=3b2+b thì a-b và 2a+2b+1 là các số chính phương. HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2. Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1). Mặt khác (1). Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1. Từ đó ta được ĐPCM * Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) là chính phương Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là số chính phương. HD: G/s 1+p+p2+p3+p4=n2. Dễ thấy 4p4+4p3p2<4n2<4p4+p2+4+4p3+4p+8p2 hay (2p2+p)2<(2n)2<(2p2+p+2)2 suy ra 2n =2p+p+1 suy ra p=3. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên p, q là tổng của hai số chính phương thì tích pq cũng là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính phương thì tích m.n cũng là tổng của 4 số chính phương. HD: (a2+b2+c2+d2)(m2+n2+p2+p2)=(am-bm-cp-dq)2+ +(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính phương. Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính phương. Tìm để a2+a+1589 chính phương. Chứng minh rằng nếu 8n+1 và 24n+1 là chính phương thì 8n+3 là hợp số Chứng minh rằng n3+1 không chính phương với mọi n lẻ và n>1. Tìm biết nó là một bội của 11 v à b+c=a, bc ch ính phương. Chứng minh rằng nếu thì không chính phương Tìm tất cả các số chính phương có dạng . ĐS: 198025 và 198916 Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương. ĐS: a=26m2+22m+4 hoặc a=26m2+30m+8 Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại. Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng ta có thể biểu diễn lập phương của một số nguyên dương bất kì dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Tìm các chữ số a,b,c sao cho với mọi số nguyên dương n, ta có trong đó có n chữ số a, n chữ số b và n chữ số c. ĐS: (a,b,c)=(0,0,0); (1,5,3); (4,8,6);((9,9,9) Tìm số chính phương lớn nhất sao cho sau khi gạt bỏ 2 chữ số cuối cùng của nó ta được một số chính phương, biết rằng có ít nhất 1 trng 2 chữ số bị gạt bỏ là khác0. ĐS: n2=1681 Hãy xét xem số và k lẻ có phải là một số chính phương không? ĐS: a không là số chính phương Chứng minh rằng số , không phải là số chính phương với mọi số k nguyên dương. Cho dãy số (un) với n là các số tự nhiên lớn hơn 1, xác định bởi Chứng minh rằng dãy số đã cho không chứa một số chính phương nào. Chứng minh rằng bất kì một số lẻ nào hoặc một bội của 4 đều có thể viết dưới dạng hiệu của hai số chính phương. Cho các số Chứng minh rằng A+B+C+8 là một số chính phương. Đặt S1=1.2.3; S2=2.3.4; S3=3.4.5;… S1=n(n+1)(n+2); v à S=S1+S2+S3+…+Sn Chứng minh rằng 4S+1 là số chính phương. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau và khác 0. ĐS: 7744 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị . ĐS: 8281 Tìm tất cả các số có 4 chữ số sao cho số đó vừa là số chính phương vừa là một lập phương. ĐS: 4096 Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước số dương của p4 là một số chính phương.. ĐS: p=3 Chứng minh rằng a2+b2 không thể nào là một số chính phương, với a, b là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng 22p + 22q không bao giờ là số chính phương, với p, q là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương a và b, tích số (36a+b)(a+36b) không thể là một luỹ thừa của 2. Xác định tất cả các cặp số nguyên (a,b) sao cho 2 số a2+4b và b2+4a đều là những số chính phương. Chứng minh rằng không có một luỹ thừa nào của số 2 có thể viết được dưới dạng tổng của 2 hay nhiều số nguyên dương liên tiếp. Với n là số nguyên dương bất kì, ta viết Dĩ nhiên m và r không phụ thuộc n. ví dụ, n=20, tức m=4, r=0,4721…Chứng minh rằng nếu n là bội của m thì hoặc n là số chính phương, hoặc n bé hơn một số chính phương 1 đơn vị, hoặc n là tích của 2 số nguyên liên tiếp. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n4+n3+1 là số chính phương. Cho a1=14, a2=144, …, an=144…4, với n số 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho an là số chính phương. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương a,b,c ta có thể tìm được số nguyên dương n sao cho n3+cn2+bn+c không phải là số chính phương. Gọi p là số nguyên tố, a, b là các số nguyên dương và . Tìm tất cả các số p để a hoặc b là những số chính phương. Gọi X là tập hợp {1,2,3,…,2001}. Tìm số n bé nhất sao cho nếu cho một tập con gồm n phần tử của X thì ta luôn có thể tìm được một phần tử là luỹ thừa của 2 hoặc tìm được hai phần tử có tổng là luỹ thừa của 2. Tìm tất cả những số nguyên dương sao cho số đó không thể viết được thành tổng của ít nhất hai số nguyên dương liên tếp. Cho d là một số nguyên dương không bằng 2, 5, 13. Chứng minh rằng ta có thể tìm được 2 số phân biệt a và b trong tập hợp {2,5,13,d} sao cho ab-1 không phải là số chính phương. Cho a và b là 2 số nguyên dương sao cho ab+1 chia hết cho a2 + b2. Chứng minh rằng là một số chính phương. Với mỗi số nguyên dương n, ta kí hiệu f(n) là số tất cả các cách biểu diễn n như một tổng các luỹ thừa của 2 với số mũ nguyên và không âm. Các biểu diễn khác nhau về thứ tự sắp xếp các số hạng của tổng được xem như giống nhau. Ví dụ như f(4)=4, Vì 4= 22=21+21 = 21+ 20+ 20=20 + 20+ 20+ 20. Chứng minh rằng với , ta có: . Tìm điều kiện để số tự nhiên n có tính chất như sau: Khi viết chính số đó vào sau nó thì ta nhận được một số chính phương. Cho . Chứng minh rằng nếu thì A là chính phương. Chứng minh rằng tổng bình phương của n số nguyên liên tiếp không thể là số chính phương với n=3, 4,5,6,7. Người ta viết liên tiếp cacs số 1,2,…,1992 thành dãy nhưng theo một thứ tự tuỳ ý ta nhận được một số có nhiều chữ số. hỏi số đó có thể là số chính phương không? HD: gọi A là số nhận được. ta có: Như vậy A chia hết cho 3 và A không chia hết cho9. do đó A không chính phương. BẤT ĐẲNG THỨC VỚI SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho n là số chính phương có chữ số cuối cùng khác 0 và sau khi xoá bỏ hai chữ số cuối thì số thu được vẫn là số chính phương. Chứng minh rằng . HD: G/s n=k2 thoả mãn các điều kiện của bài ra. Khi đó ta có là số chính ph ương, tức 100a=m2, (1). Từ (1) suy ra a=l2, (2). Do nên từ suy ra hay k>10 l (3) Do k, l nguyên, nên từ (3) có Từ , nên từ (4) có (5) Mặt khác, . Nhưng nên ta có (6) Do , kết hợp (7) Do k chính phương nên từ (7) suy ra Bài 2: n là số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho là một số chính phương. Chứng minh rằng . HD: G/s: . Vì nên ta có n(n+1)(2n+1)=6m2 (1). Ta xét các TH sau: + n=6k, khi đó từ (1) suy ra k(6k+1)(12k+1)=m2 (2) Do (k, 7k2+18k+1)=1 nên k phải chính phương, và do k>1 nên + Nếu n=6k+1 thì từ (1) suy ra (6k+1)(3k+1)(4k+1)=m2 (3) Vì các số 3k+11, 4k+1, 6k+1 đôi một nguyên tố cùng nhau nên t ừ (3) suy ra 3k+1=x2, 4k+1=y2, 6k+1=z2 (4) Chú ý rằng nếu k=1,2,3,4 thì (1) đều không thoả mãn. Từ đó suy ra . Các TH còn lại xét hoàn toàn tương tự. Vậy ta luôn có . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi n=24. Bài 3: Cho P chính phương có n+4 chữ sô. Biết rằng n chữ số đầu tiên và 4 chữ số cuối cùng của P cũng đều làm thành các số chính phương khác 0. Chưng minh rằng . HD Đặt P=A2 và các số chính phương có n và 4 chữ số nói trên tương ứng là B2 và C2( A, B, C nguyên dương). Khi đó ta có A2=100B2+C2=(100B)2+C2 (1) Do C2 có 4 chữ số nên . Từ (1) suy ra (A-100B)(A+100B)=C2 (2) Do . Vậy từ (2) có . Ta có 200B=(A+100B)-( A-100B), theo trên suy ra Như vậy từ (1) suy ra . Mặt khác 24019801 cũng là số chính phương nên B ĐT đã được chứng minh. Bài 4: G/s a, b là các số nguyên dương sao cho 15a+16b và 16a-15b đều là số chính phương,. Đặt d=min(15a+16b, 16a-15b). Chứng minh : . HD: G/s a, b các số nguyên dương sao cho Ta có m4+n4 =(15a+16b)2+(16a-15b)2=481(a2+b2) (1) Suy ra Có 481=13.37 mà 13=3.4+1; 37=4.9+1, vậy 13 và 37 là các số nguyên tố có dạng 4k+1. Áp dụng nhận xét: “ nếu x, y là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện , trong đó p là số nguyên tố có dạng p=4k+1 thì ” , suy ra . Do (13, 37) =1 nên . Từ đó suy ra (15a+16b)chia hết cho 4812, (16a-15b) chia hết cho 4812. Vì 4812=231361 nên 15a+16b và 16a-15b đều chia hết cho 231361. Từ đó . Vậy . DÃY SỐ VÀ TÍNH CHẤT CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Cho dãy số u1, u2, … xác định như sau: Tìm tất cả các giá trị của n để un là số chính phương. HD: Với mỗi , ta đặt vn=un-un-1 (1) Khi đó nếu thì vn-1=un-1-un-2 (2). Từ (1) và (2) ta có : (3) Theo cách xác định dãy số un , thì , ta có (4) Từ (3) và (4) suy ra: vn- vn-1=0 hay vn=nvn-1 Ta thấy v2=u2-u1=2 suy ra v3=3v2=3.2=3! Bằng quy nạp suy ra (5) Với : (6) Từ (5) và (6) ta có hay . (7) Do u1=1! Nên ta có: (8) Ta có (9) Ta có . do đó (10) mọi số chính phương đều có tận cùng là 0,1,4,5,6,9 vì thế từ (10) suy ra thì un không thể là số chính phương. Ta có: u1=1!; u2=1!+2!=3 không chính phương; u3= 1!+2!+3!=9=32 ; u4=33 không chính phương. Tóm lại trong dãy nói trên chỉ có 2 số hạng u1 và u3 là chính phương. Bài toán tổng quát: Cho dãy số xác định như trên và một số nguyên . Hãy tìm tìm tất cả các giá trị của n để un là dãy luỹ thừa p của một số tự nhiên nào đấy. Bài 2: Dãy số được xác định như sau: Chứng minh rằng với mọi n=0, 1, 2, 3,… thì un2-1 chia hết cho 2 và thương là số chính phương. HD: Ta có: , có 8=2.4; 288=2.144 nên kết luận của bai toán đúng khi n=0; n=1 Khi : Cho n=2,3,…,n ta có: , cộng vế với vế ta được (2) Ta có (3) Vì mọi số hạng của dãy đều nguyên dương nên từ (3) suy ra Đặt (nguyên dương). Thay vào (3) ta có: (4) Từ (4) suy ra và thương trong phép chia đó là số chính phương. Chú ý: Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp hàm đặc trưng, tức là xét phương trình , phương trình luôn có 2 nghiệm là Để Un có dạng . Từ đó tìm được ta biến đổi được Bài 3: Cho dãy số xác định như sau: Chứng minh rằng, với mọi n nguyên dương, số An=4unun+2+1 là số chính phương. HD: Dùng phương pháp quy nạp hãy chứng minh . Khi đó Bài 4: Cho dãy số xác định như sau: Lập dãy số mới như sau: . Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số chính phương. HD: Bằng quy nạp, chứng minh: khi đó ta có ĐPCM. Bài 5: Dãy xác định như sau: . Chứng minh rằng số là số chính phương. HD: Đặt Như vậy A= S2005 (1) Rồi chứng minh (2) bằng quy nạp. Bài 6: Dãy số không âm thoả mãn điều kiện sau: u1=1 Chứng minh rằng mọi phần tử của dãy số là số chính phương. HD: + Cho m=n=0 thì từ t/c ii) ta có u0=0 +Cho m=1, n=0 ta lại có: u2=4u1=4 mà u1=1=12; u0=0 nên bằng quy nạp ta lại chứng minh được un= n2.Thật vậy: Với m=k; n=0 thì từ t/c ii) có: u2k=4uk, theo GT quy nạp ta có u2k=4k2 (1) Với m=k; n=1, theo t/c ii) ta có: (2) Theo (1) và theo gt quy nạp th ì u2=22, uk-1=(k-1)2. Thay vào (2) ta được uk+1=(k+1)2. vậy n=k+1 đúng. Theo nguyên lí quy n ạp ta được điều cần chứng minh. Bài 7: Dãy số được xác định như sau: Tìm tất cả các số hạng của dãy mà là số chính phương. HD: G/s . từ đó suy ra (1) Từ đó suy ra . Từ đó suy ra (2). Khi đó q=5, p=7 suy ra k=12. Thử lai đúng. Vậy số hạng u12 là số chính phương duy nhất trong dãy. Bài 8: Dãy số nguyên u1, u2, … có tính chất như sau: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho với mọi n=1,2,3,…, số M + 4unun+1 là chính phương. HD: Đặt vn = un+2-un+1-un, n=1,2,3,… khi đó từ điều kiện đã cho ta viết un+2- un+1- un=un+1-un-un-1+2un, hay vn=vn-1+2un, n=2,3,… Khi đó . Ta suy ra (1) từ đây chứng tỏ là hằng số không phụ thuộc vào n. gọi M là hằng số đó, tức là . Ta được điều phải chứng minh. Bài 9: Dãy số xác định như sau: Chứng minh rằng mọi số hạng lẻ của dãy là số chính phương. HD: Đặt suy ra vn>0 với mọi n=1,2,3,… và ta có Từ (1) suy ra (2). ( Chứng minh bằng quy nạp) Ta có : Từ (2) suy ra nếu n lẻ thì do , nên un=m2 là số chính phương. Như vậy mọi số hạng lẻ của dãy đều là số chính phương. Bài 10: Cho dãy số nguyên dương xác định như sau: Chứng minh rằng với mọi n=0,1,2,… thì số là số chính phương. HD: Dùng phương pháp quy nạp chứng minh . Áp dụng điều đó và công thức truy hồi ta được (3) Đẳng thức (3) chứng tỏ PT bậc hai (4) có nghiệm nguyên un+1.Do đó biệt thức phải chính phương. Ta có: vậy A n chính phương. Bài 11: Dãy xác định như sau: Với mọi n=1,2,3,… thì ở đây qua để chỉ phần nguyên của số . Chứng minh rằng có vô số số hạng của dãy là số chính phương. HD: áp dụng công thức khai triển nhị thức Niutơn , ta thấy khi m lẻ thì . Từ (1) và (2) suy ra . Vì thế . Do ym>0 nên ta có BĐT sau: (3) Từ (3) suy ra . Vì là hai số nguyên dương liên tiếp, nên từ bất đẳng thức trên ta có (4) Mặt khác, lại có: (5) từ (4) và (5) ta có: (6). Rõ ràng ứng với các số nguyên dương lẻ m khác nhau thì xmym là khác nhau. Vậy dãy khi m=1, 3, 5, 7, … là dãy vô hạn. Dãy vô hạn này là một dãy on của dãy đã cho. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài 12: Xét hàm số Cho là số tự nhiên. Xét dãy sau đây: m, f(m), f(f(m)),…Chứng minh rằng trong dãy trên chứa vô hạn số chính phương.