Chuyên đề: Số Phức - Trường THPT Lê Quý Đôn, Hải Phòng

ĐẶT VẤN ĐỀ Số phức đóng vai trò quan trọng như là công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp. Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vực và quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết trên quan điểm áp dụng các tính chất của số phức. Số phức cũng là chuyên đề quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi ĐH – CĐ. Nhận thức được điều đó, tổ toán trường THPT Lê Quý Đôn mạnh dạn đưa ra một số quan điểm về chuyên đề số phức, tiến hành hội thảo cùng các đồng nghiệp trong cụm và các trường bạn trong thành phố góp ý xây dựng. Chúng tôi rất mong được sự góp ý chân thành từ các bạn đồng nghiệp để để chuyên đề được hoàn thiện hơn, hội thảo thành công tốt đẹp. CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 8: SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( Hẹn năm sau) III. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ CÁC ĐỀ THI ĐH – CĐ ĐÃ QUA PHẦN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC 1. Khái niệm số phức Số Phức (dạng đại số) có dạng với a, b, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, i là số ảo, i2 = –1. z là số thực Û phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0). z là số thuần ảo Û phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0). Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo. Hai số phức . Tập hợp các số phức kí hiệu là và . 2. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức z = a + bi (a, b xác định một điểm M(a; b) hay xác định một véc tơ trong mặt phẳng (oxy). Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian véc tơ hai chiều. Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức. y O a b 3. Tổng hai số phức, hiệu hai số phức . . Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số phức z là –z . Vậy –z = -a – bi. Véc tơ biểu diễn số phức z, véc tơ biểu diễn số phức z' thì véc tơ biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ biểu diễn số phức z – z’. 4. Nhân hai số phức. . . 5. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số ; . z là số thực Û ; z là số ảo Û . 6. Môdul của số phức. Số thực gọi là môdul của số phức z = a + bi. với là điểm biểu diễn số phức z. . ; ; . 7. Chia hai số phức. Số nghịch đảo của số phức z là số phức thoả mãn . Kí hiệu ; (z ¹ 0); ; 8. Căn bậc hai của số phức. là căn bậc hai của số phức khi và chỉ khi Û . Số 0 có một căn bậc hai là số w = 0. Số z có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w. Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là . Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là . 9. Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C, A ). * Tính , là 1 căn bậc hai của D. * : pt(*) có hai nghiệm phân biệt . * : pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) . Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì cũng là nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại. 10. Dạng lượng giác của số phức. Mỗi góc lượng giác gọi là một Acgumen của số phức z. Khi đó số phức với gọi là dạng lượng giác của số phức z. . 11. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Cho . Khi đó . . 12. Công thức Moa–vrơ: ,. . 13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Số phức , (r > 0) có hai căn bậc hai là . Mở rộng: Số phức (r > 0) có n căn bậc n là PHẦN II. BÀI TẬP VẤN ĐỀ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA MỘT SỐ PHỨC Để tìm phần thực, phần ảo của một số phức ta đưa số phức đó về dạng đại số. 1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a. b. c. Bài giải a. Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19. b. Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là 1. c. Vậy phần thực của z là , phần ảo của z là VÍ DỤ 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau a. b. Bài giải a. Ta có suy ra Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 32. b. Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là . Suy ra: . Vậy phần thực của z là , phần ảo của z là VÍ DỤ 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức Bài giải Ta có Vậy phần thực của z là , phần ảo của z là . VÍ DỤ 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức Bài giải Ta có . Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là . VÍ DỤ 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức Bài giải Tổng trên là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có ...(Hs làm tiếp). VÍ DỤ 6. Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết và . Bài giải Gọi phần thực, phần ảo của z lần lượt là x, y . Ta có (1) (2). Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4. VÍ DỤ 7(KD.2010). Tìm số phức thỏa mãn và là số ảo. Bài giải Giả sử số phức z đó là z = x+iy, (1). Ta lại có là số ảo (2). Từ (1) và (2) có hệ phương trình Vậy có 4 số phức z thoả mãn là . VÍ DỤ 8 CĐ 2010. Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của số phức . Bài giải Giả sử số phức z đó là z = x+iy, . Ta có , . Suy ra . Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5. VÍ DỤ 9. Tìm các căn bậc hai của số phức . Bài giải Giả sử w = x+iy, là căn bậc hai của số phức khi và chỉ khi hoặc . Vậy có hai căn bậc hai của số phức là . 1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a. b. c. Bài 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau a. b. c. biết Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết và Bài 4. Cho thỏa mãn: , , . Tìm phần thực phần ảo của số phức Bài 5. Cho số phức . Tìm điều kiện của x; y để số phức là số thuần thực. Bài 6. Biết số là một số thuần ảo, hãy tìm . Tìm phần thực và phần ảo của số phức Viết số phức sau dưới dạng a+bi. a) b) c) d) e) f) Cho các số phức . Tính a) b) c) d) e) f) Tìm x, y sao cho a) b) Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử, với a, b, c Î R: a) b) c) d) e) f) g) h) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau a) b) c) d) Tìm các căn bậc hai của các số phức sau. e) f) g) h) i, –i VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC PHƯƠNG PHÁP Biến đổi Sau đó sử dụng linh hoạt công thức Moa–vrơ. Sau đây là một số ví dụ cơ bản. 2.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Viết số phức dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một acgument của z. Bài giải Biến đổi . Suy ra z có một acgument là . VÍ DỤ 2. Viết số phức dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một acgument của z. Bài giải Biến đổi . Suy ra z có một acgument là . Nhận xét: Thường học sinh hay nhầm lẫn là dạng lượng giác và z có một acgument là . VÍ DỤ 3. Tìm một acgument của số phức . Bài giải Biến đổi: Suy ra . Vậy z có một acgument là . Các em H.S thường gặp phải khó khăn khi cố gắng khai triển luỹ thừa . Khi gặp luỹ thừa bậc cao, ta nên đưa về dạng lượng giác, sau đó vận dụng công thức Moa–vrơ. Chúng ta sẽ bàn kĩ hơn về ứng dụng dạng lượng giác được trình bày trong VẤN ĐỀ 6, 7 áp dụng cho một số bài toán: Chứng minh đẳng thức lượng giác, giải hệ phương trình... 2.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Tìm một Acgument của số phức sau: a) b) 4 – 4i c) d) e) f) Tìm phần thực, phần sảo của các số phức sau: a) b) c) d) Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau a) b) c) d) e) f) Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau: a) b) c) d) e) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau. a) b) c) d) e) f) , biết Chứng minh a) b) c) d) . Chứng minh là số ảo. VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC Trong mục này ta xét việc giải phương trình trong đó ẩn số của mỗi phương trình là một số phức z. Chú ý rằng các phương trình mẫu mực, các phương pháp giải mẫu mực trong phương trình với các hệ số và ẩn số là số thực được chuyển thể nguyên vẹn sang phương trình phức. Điểm khác biệt với phương trình trong tập số thực là phương trình phức bậc n luôn có n nghiệm, tính cả nghiệm bội. Không có trường hợp phương trình vô nghiệm. Sau đây ta xét một số ví dụ cơ bản sau. 3.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ Dạng 1. Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất. VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau trên tập số phức: b. c. Bài giải a. . b. Vậy phương trình có nghiệm là . c. Vậy VÍ DỤ 2. Giải các phương trình sau. b. Bài giải Khai triển vế trái và thu gọn ta đưa phương trình về dạng Vậy phương trình có nghiệm là ĐK: Thực hiện quy đồng vế trái của phương trình ta được phương trình Vậy phương trình có nghiệm là . Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng . Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng . Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C, A ). * Tính , là 1căn bậc hai của D * : pt(*) có hai nghiệm phân biệt . * : pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) . Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ số thực, z là nghiệm của pt(*) thì cũng là nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại. Không có trường hợp phương trình bậc hai vô nghiệm. VÍ DỤ 1. Giải phương trình trên tập số phức:. Bài giải Pt: Ta có: Gọi là căn bậc hai của 2i khi đó ta có Khi đó, có một căn bậc hai là 1 + i. Vậy (1) có hai nghiệm là . Nhận xét: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lý Viét vẫn đúng trong trường hợp xét phương trình bậc 2 trên tập hợp số phức. VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau trên tập số phức . Bài giải Cách 1. Giải theo biệt thức Cách 2. Nhẩm nghiệm. Ta có: Vậy phương trình đã cho có nghiệm z = 1 và . VÍ DỤ 3. Cho a, b, c là ba số phức phân biệt khác 0 và . Chứng minh rằng nếu một nghiệm của phương trình có môđul bằng 1 thì . Bài giải Giả sử là các nghiệm của phương trình với . Theo định lý Viét ta có suy ra Bởi vì . Suy ra (đpcm). Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai VD4.(Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – 2009). Giải phương trình sau trên tập số phức . Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu. Trước khi giải ta nên đặt ĐK cho phương trình. Bài giải Với điều kiện z i, khi đó pt: Ta có Gỉa sử là căn bậc hai của khi đó ta có hệ sau để xác định x, y: có một căn bậc hai là 2 – i. Pt(1) có hai nghiệm là , . Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là , . VÍ DỤ 5. Giải phương trình với z là số phức:. Phương trình trên là phương trình bậc 4 phải có đủ 4 nghiệm ( Tính cả nghiệm bội ). Trong phương trình có biểu thức chung nên ta giải như sau. Bài giải Đặt , ta có pt: Vậy phương trình đã cho tương tương với: . KL: Pt có 4 nghiệm là . VÍ DỤ 6. Giải phương trình với ẩn z là số phức: . Bài giải Vì z = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có Đặt giải pt: + Nếu , ta có: Vì , có căn bậc hai là 3+i và -3-i, nên . + Nếu , ta có : Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là . Phương trình trên xuất phát từ phương trình bậc 4 đối xứng hoặc bán đối xứng quen thuộc trong tập số thực dạng , Sau đây ta xét một số ví dụ khác được suy ra từ những phương trình thường gặp trong tập số thực như dạng: Bậc 4 trùng phương. Dạng với . Dạng . Dạng Nhẩm nghiệm sau đó hạ bậc bằng phép chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ HoocNe. Phương trình quy về dạng tích bằng 0. VÍ DỤ 7. Giải phương trình . HD: Đặt VÍ DỤ 8. ( Dạng bất thường). Giải phương trình HD. Sử dụng phương pháp tìm phần thực, phần ảo số phức VÍ DỤ 9. Tìm giá trị tham số sao cho a. Chỉ có đúng một nghiệm phức b. Chỉ có đúng một nghiệm thực c. Có ba nghiệm phức Bài giải Kí hiệu phương trình Do các hệ số của phương trình (2) đều là số thực và có biệt thức . * Nếu thì pt(2) có hai nghiệm thực. * Nếu thì pt(2) có một nghiệm thực, không có nghiệm phức. * Nếu thì pt(2) có hai nghiệm phức, không có nghiệm thực. Do vậy a. Phương trình (1) Chỉ có đúng một nghiệm phức . b. Phương trình (1) chỉ có đúng một nghiệm thực . c. Phương trình (1) có ba nghiệm phức 3.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức  . Bài 2. Tìm những số thực a, b để có thể phân tích rồi giải phương trình trên . Giải các phương trình sau trên tập số phức ( x là ẩn) a) b) c) d) e) . Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn) a) b) c) c) e) Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn) a) b) c) d) e) f) g) h) i) Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn) a) b) c) Giải các phương trình sau trên tập số phức a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) l) m) Giải các phương trình sau trên tập số phức a) b) c) d) e) f) Giải các pt sau trên tập số phức biết chúng có một nghiệm thuần ảo. a) b) Tìm m để phương trình sau: a) Chỉ có đúng một nghiệm phức. b) Chỉ có đúng một nghiệm thực. c) Có ba nghiệm phức. Tìm m đê phương trình sau: có ít nhất một nghiệm thực. Tìm tất cả các số phức z sao cho là số thực. Giải các phương trình trùng phương a) b) c) d) Cho là nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức sau a) b) c) d) e) f) Cho là hai nghiệm của phương trình: . Tính giá trị của các biểu thức: a) b) c) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng là a) và b) và Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm a) b) c) d) e) f) g) h) i) Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện: . Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều kiện: . Cho là nghiệm phương trình . Tính giá trị của biểu thức sau a) b) c) VẤN ĐỀ 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BÀI TOÁN: TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – MAX, MIN MÔĐUL PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ: Tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo Giả sử số phức z có dạng . Từ giả thiết đề bài ta thiết lập biểu thức giữa x, y. Sau đây là một số biểu thức thường gặp. Biểu thức Đường tương ứng Đường thẳng Đường parabol Đường hyperbol Đường tròn Elíp. 4.1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn a. b. c. d. là số thuần ảo. Bài giải Giả sử và là điểm biểu diễn của z. a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường thẳng có phương trình là Mở rộng: khi giả thiết đề bài sửa thành ta biến đổi được và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn số z là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ bờ là đường thẳng . b. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một parabol có phương trình là Mở rộng: ta sẽ kết luận như thế nào nếu biểu thức lien hệ là ? c. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là hai hyperbol có phương trình và . d. là số thuần ảo khi phần thực bằng 0 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường tròn có phương trình . Mở rộng: ta kết luận như thế nào nếu hệ thức tìm được là ? 4.1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a. Phần thực của z bằng -2 b. Phần ảo của z bằng 3 c. Phần thực của z thuộc d. Phần ảo của z thuộc e. Phần thực của z thuộc và phần ảo của z thuộc Bài 2. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: . b. c. d. Bài 3. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. b. là số thực c. d. e. là số ảo f. g. h. i. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: Sử dụng các quỹ tích hình học cơ bản Chú ý rằng, mỗi số phức z = x + yi tương ứng với một điểm M(x;y) trong mặt phẳng phức oxy, và ngược lại. Môdul là khoảng cách giữa hai điểm tương ứng M(x; y) và Mo(xo; yo) tương ứng với hai số phức z, zo. Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học. Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi Đường trung trực của đoạn thẳng M1M2, với M1, M2 tương ứng với z1, z2. Đường tròn tâm Mo, bán kính R, với Mo là điểm ứng với zo. Elip tâm sai là F1, F2 tương ứng với M1, M2 và khoảng cách F1F2 = 2c. Hyperbol tâm sai là F1, F2 tương ứng với M1, M2 và khoảng cách F1F2 = 2c 4.2.1.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z biế a. b. c. d. Bài giải Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi. Xét hai điểm A(2;-3) và B(-1;1) Nhận thấy . Tương tự . Vậy giả thiết Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Xét điểm I(-4;2) Từ giả thiết: Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-4;2), bán kính R = 5. Xét hai điểm và Giả thiết Suy ra tập hợp các điểm M là Elip có tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ dài trục nhỏ 2b = 6. phương trình chính tắc là: Xét hai điểm và Giả thiết: . Suy ra tập hợp các điểm M là Hypebol có tiêu cự 2c = 4, độ dài trục thực 2a = 3, độ dài trục ảo 2b = . Phương trình chính tắc là : . VÍ DỤ 3. Trong các số phức z thỏa mãn , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài giải Tập số phức z thoả mãn hình tròn tâm I( 1; -1 ), bán kính R = 2 có phương trình là . Môđul là khoảng cách từ gốc O(0; 0) đến điểm M(x; y) tương ứng với số phức z. Số phức z có môđul nhỏ nhất ứng với điểm A(x; y) (trên hình vẽ). Điểm A trên hình vẽ thoả mãn hệ sau Giải hệ phương trình trên ta suy ra được điểm A. VÍ DỤ 4. Cho số phức thỏa mãn . Tìm GTLN- GTNN của Bài giải. Đặt . Ta có Như vậy giá trị P lớn nhất là tại điểm tương ứng với số phức . P nhỏ nhất là tại , . Do . Như vậy tập hợp số phức w là hình tròn tâm I(1; 0 ), bán kính , (Bỏ điểm I) giá trị là khoảng cách từ gốc O đến điểm M(x; y) thuộc hình tròn tương ứng với số phức z. 4.2.2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 4. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn: a. b. c. d. Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn a. , hãy tìm số z có môđun nhỏ nhất. b. |z – 2+3i| = Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 6. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện a. là số thuần ảo, hãy tìm số z sao cho nhỏ nhất. b. . Tìm số phức z thỏa mãn nhỏ nhất. Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn: Bài 8. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức trong các trường hợp sau: 1/ 2/ 3/ , 4/ , Bài 9. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức trong các trường hợp sau: 1/ 2/ 3/ Bài 10. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức w, trong các trường hợp sau: a. với b. với . c. với với d. với e. với và . Bài 11. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau: a. Một acgumen của bằng b. Một acgumen của bằng một acgumen của Bài 12. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho có một acgumen bằng . VẤN ĐỀ 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC 5.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình hai ẩn Z1, Z2 sau trên tập các số phức Bài giải Ta có . Hệ phương trinh trình đã cho tương đương với hệ Theo định lý Viet, Z1 và Z2 là các nghiệm của phương trình sau( xét trên tập số phức) Giải PT(3) ta có : Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình hai ẩn Z, W trên tập các số phức : Bài giải Biến đổi Vậy hệ đã cho tương tương với hệ sau . Theo định lý Viet thì Z, W là các nghiệm của phương trình bậc hai sau ( xét trên tập số phức) Giải pt(3) ta có Vậy hpt có nghiệm là 5.2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Giải các hệ phương trình sau trong tập số phức: a) b) c) d) e) f) g) h) i) VẤN ĐỀ 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Một phương trình ẩn phức với có thể giải bằng cách tách phần thực phần ảo. Ta luôn đưa phương trình về dạng: Như vậy việc giải phương trình ẩn phức quy về việc giải hệ phương trình đại số (*). Từ nhận định trên, ta có thể tiến hành quy trình ngược lại. Giải hệ phương trình đại số (*) quy về giải phương trình với ẩn phức. Chú ý rằng cho số phức thì có n số phức w thoả mãn (số phức w gọi là căn bậc n của z), và w được tính bởi công thức . Sau đây là một số VD và bài tập minh hoạ. 6.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình sau . Thường thì hầu hết các em học sinh lầm tưởng hệ trên là hệ đối xứng (Ta thường gọi là hệ đối xứng loại 2). Nếu nhận dạng hệ có vế trái đẳng cấp bậc 3 thì cũng gặp nhiều khó khăn vì phương trình bậc 3 thu được không có nghiệm hữu tỷ. Để ý thấy vế phải của hệ phương trình là 1, 1, vế trái của hệ có bậc 3 nên ta xuất phát từ số phức . Bài giải Ta tìm số phức sao cho Khai triển vế trái . Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w. Mặt khác w là căn bậc ba của số nên . Vậy hệ phương trình có ba nghiệm là VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình Ta nhận thấy vế trái của hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, vế phải của hệ là các hệ số nếu ta nhân hai vế của phương trình hai trong hệ với 4. Bài giải. Ta tìm số phức sao cho . Khai triển vế trái Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w. Mặt khác w là căn bậc bốn của số nên . Hệ phương trình có 4 nghiệm là Lời bàn: Qua hai ví dụ trên chúng ta thấy có thể đưa ra rất nhiều các ví dụ khác với bậc của vế trái là một số nguyên dương n tuỳ ý và vế phải là các hằng số dương cho trước. VÍ DỤ 3.(Việt Nam 1996). Giải hệ phương trình Bài giải Trước hết, ta nhận thấy điều kiện cho x, y là . Đặt . Hệ phương trình đã cho trở thành Nhận thấy là bình phương Mô đun số phức . Đặt , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta có Giải phương trình Suy ra . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm VÍ DỤ 4. Giải hệ phương trình Bài giải Trước hết, ta nhận thấy điều kiện cho x, y là . Đặt . Hệ phương trình đã cho trở thành Nhận thấy là bình phương Mô đun số phức . Đặt , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta có Giải phương trình . tương tự như VD4 ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho. VÍ DỤ 5.(Tạp chí Kvant). Giải hệ phương trình Bài giải. Nhận thấy là bình phương Mô đun số phức . Đặt , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế với vế với phương trình thứ nhất ta có Ta có , , nên phương trình trên được viết dưới dạng Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là . 6.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là a. b. Bài 2. Giải hệ phương trình sau, ẩn là : Bài 3. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là a. b. Bài 4. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là a. b. c. Bài 5. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là a. b. c. VẤN ĐỀ 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Dạng lượng giác của số phức có thể biến đổi bằng hai cách: Sử dụng công thức Moa – Vrơ cho ta biểu thức góc bội của acgumen Sử dụng các phép toán thông thường của số phức: cộng, trừ, nhân, chia cho ta một biểu thức khác Thực hiện phép so sánh phần thực, phần ảo cho những đẳng thức lượng giác. Chú ý rằn