Chuyên đề Tán sắc dị thường và mô hình của lí thuyết tán sắc

TÁN SẮC DỊ THƯỜNG VÀ MÔ HÌNH CỦA LÍ THUYẾT TÁN SẮC NHỮNG KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Hiện tượng tán sắc dị thường. Hiện tượng tán sắc quan sát được khi cho chùm ánh sáng trắng qua một lăng kính thủy tinh là hiện tượng tán sắc thông thường, trong đó góc lệch của các tia ló tăng dần theo trật tự màu: đỏ, da cam, vàng, lục, lam, chàm, tím. Từ đó, ý kiến cho rằng có sự tăng chiết suất của thủy tinh khi bước sóng ánh sáng giảm được xem là lí thuyết về sự tán sắc. Thực ra đây chẳng phải là một lí thuyết gì độc đáo, mà chỉ là những kết luận tất yếu suy ra từ định luật khúc xạ ánh sáng. Thậm chí Cauchy còn đi xa hơn thế. Ông mò ra được một công thức thực nghiệm mô tả khá chính xác sự phụ thuộc đó. Theo Cauchy, chiết suất của một chất trong suốt có thể diễn tả bởi công thức (1) trong đó A, B, C là các hằng số có trị số khác nhau đối với những chất khác nhau. Các hằng số đó có thể xác định được bằng thực nghiệm, bằng cách đo cẩn thận chiết suất của môi trường ứng với ba bức xạ có bước sóng biết trước, nằm đủ xa nhau. Thực tế cho biết, khi đã xác định được ba hằng số một cách chính xác, thì chiết suất đối với bất kì bức xạ nào trong vùng ba bước sóng đó đều có thể tính được với mức chính xác tới hàng phần nghìn. Tóm lại, với mỗi môi trường trong suốt, đường cong tán sắc là một đường đơn điệu (đường liền trên hình 1). Hình 1 n Tuy nhiên, năm 1862 LeRoux phát hiện một hiện tượng lí thú khác hẳn: khi cho ánh sáng trắng qua một lăng kính rỗng chứa hơi aiốt (một thứ khí có màu tía), thì nhận thấy chùm tia ló da cam lệch về đáy nhiều hơn tia ló màu lam. Tia lam nằm sát tia đỏ, còn tia da cam nằm sát tia chàm (hình 2). Quy tắc chiết suất tăng khi bước sóng ánh sáng giảm không còn đúng nữa. LeRoux gọi hiện tượng là tán sắc dị thường. Hiện tượng hấp thụ lựa lọc. Điều độc đáo là, sự đảo lộn trật tự màu sắc trong tán sắc dị thường không xảy ra một cách tùy tiện, mà chỉ xảy ra cho vùng bức xạ nào bị chính môi trường của chất làm lăng kính hấp thụ lọc lựa. Trong trường hợp lăng kính chứa hơi aiốt kể trên, các bức xạ vàng lục không ló ra khỏi lăng kính. Chúng bị hơi aiốt hấp thụ. Với những bức xạ nằm ngoài vùng hấp thụ, người ta vẫn quan sát được sự tăng của chiết suất khi bước sóng ánh sáng giảm. Đường cong tán sắc cho toàn miền ánh sáng khả kiến là đường gián đoạn (cho trên hình 1) Hình Hình 2 Khảo sát hiện tượng tán sắc dị thường đối với nhiều chất trong cả vùng hồng ngoại lẫn tròng tử ngoại, Kunt rút ra một kết luận quan trọng là chất nào gây ra tán sắc dị thường ở vùng bức xạ nào thì cũng hấp thụ lựa lọc tại vùng bức xạ đó. Rồi ta sẽ thấy, hiện tượng hấp thụ lọc lựa mới là nguyên nhân thật sự của tán sắc dị thường. n, k 2,4 2,0 1,6 1,2 0,4 0,48 0,56 0,64 0,72 Hình 3 k n Như vậy, hiện tượng tán sắc thường của thủy tinh trong suốt hóa ra lại chỉ là trường hợp riêng của tán sắc, khi truyền qua lăng kính là các bức xạ nằm xa vùng hấp thụ mạnh của chất đó. Sự biến thiên của chiết suất trong miền hấp thụ lựa lọc. Hiện tượng tán sắc dị thường luôn đi kèm hiện tượng hấp thụ lọc lựa là một điều rất hấp dẫn các nhà vật lí, nhưng cũng là một thách thức lớn đối với những ai muốn xét xem trong miền hấp thụ đó chiết suất của môi trường thay đổi theo bước sóng như thế nào. Thực vậy, thông thường muốn xác định chiết suất ta chỉ việc chiếu xiên một chùm sáng đơn sắc hẹp từ chân không lên mặt môi trường. Song, với một môi trường hấp thụ mạnh ánh sáng thì, chùm tia khúc xạ hầu như tắt hẳn ngay khi ánh sáng vừa mới đi sâu vào môi trường được chừng vài phần milimet, khiến ta không thể xác định được góc khúc xạ. Rất may, chiết suất môi trường lại ảnh hưởng trực tiếp đến bước sóng ánh sáng do đó ảnh hưởng trực tiếp đến độ rộng vân giao thoa. Rojdestvenski đã đo thành công chiết suất của các chất theo độ rộng vân giao thoa nhờ một thiết bị gọi là khúc xạ kế giao thoa, và do đó ông đi sâu được vào miền bức xạ bị môi trường hấp thụ mạnh. Kết quả đo được cho ta một điều bất ngờ thứ hai của tán sắc dị thường. Đó là, trong miền hấp thụ, chiết suất của môi trường tăng khi bước sóng tăng. Trên hình 3 cho đường cong tán sắc và đường cong hấp thụ kèm theo của xyanin. MÔ HÌNH LÍ THUYẾT TÁN SẮC. 2.1. Một vài kiến thức bổ trợ. Biểu diễn các hàm điều hòa dưới dạng e mũ. Theo cách viết Euler , thì mỗi hàm điều hòa hoặc là hệ số phần ảo hoặc phần thực của hàm mũ . Mặt khác các phép tính với các hàm e mũ bao giờ cũng thuận tiện hơn nhiều so với các hàm lượng giác. Vì vậy các hàm điều hòa sẽ được viết dưới dạng e mũ. Ở kết quả cuối cùng ta sẽ lấy hệ số của phần thực hoặc phần ảo làm đại lượng cần tìm. Ngoài ra, trong cách viết dưới dạng hàm e mũ thì độ lệch pha có thể được đưa ra khỏi hàm điều hòa:. Điều đó tương đương với việc biên độ là một đại lượng phức. Khi đó được xác định từ các hệ số phần ảo và phần thực của biên độ phức: suy ra b. Chiết suất của môi trường đối với sóng điện từ. Trong thuyết điện từ của Maxwel, chiết suất của môi trường liên quan với độ điện thẩm (hằng số điện môi) và độ từ thẩm theo hệ thức (2) Với các đa số các môi trường truyền sáng thì , nên có thể viết (3) Về mặt thực nghiệm hệ thức này khá đúng cho hầu hết các chất trong suốt, trừ trường hợp của nước. c. Chiết suất phức. Khi chùm sáng đơn sắc truyền trong môi trường có hấp thụ ánh sáng thì cường độ chùm sáng giảm theo hàm mũ trong đó l là bề dày của lớp môi trường, k là hệ số hấp thụ, có thứ nguyên là m-1. Do đó biên độ sóng giảm theo qui luật . Nếu ở lối vào môi trường (nơi có l = 0), biểu thức sóng có dạng thì khi đi sâu vào một lớp có bề dày l, biểu thức sóng là (4) trong đó là bước sóng ánh sáng trong môi trường, liên hệ với bước sóng ánh sáng trong chân không theo hệ thức . Nếu kể cả sự yếu đi của biên độ vì hấp thụ, ta có (5) Đặt một tham số mới (6) thay cho k, ta được (7) Như vậy trong môi trường hấp thụ ánh sáng, biếu thức sóng có thể được viết một cách đơn giản, tương tự như biểu thức trong môi trường trong suốt, nếu ta đưa vào một đại lượng phức , trong đó phần thực vẫn là chiết suất thông thường, còn hệ số phần phức liên quan chặt chẽ với hệ số hấp thụ k. Có thể gọi n* là chiết suất phức. 2.2. Mô hình của lí thuyết tán sắc. Theo quan điểm thuyết sóng ánh sáng, thì tán sắc ánh sáng thực chất là kết quả tương tác của môi trường với trường điện từ ánh sáng. Sau đây là nội dung chính trong lí thuyết tán sắc cổ điển do Laurentz nêu ra sau khi có thuyết điện từ của Maxwel. Tưởng tượng có một ánh sáng đơn sắc tần số rọi vào một môi trường gồm các nguyên tử (phân tử) giống nhau. Xem rằng mỗi nguyên tử chỉ chứa một electron liên kết còn đủ lỏng lẻo với phần còn lại của nguyên tử, khiến nó có khả năng dao động cưỡng bức với sóng điện từ trong miền khả kiến và tử ngoại với một biên độ đáng kể. Khi chưa có sóng điện từ rọi tới, hệ nguyên tử thực hiện một dao động riêng với tần số (8) và electron chịu một lực chuẩn đàn hồi khi nó lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng (9) Do dao động, hệ nguyên tử phát sóng điện từ khiến năng lượng của hệ giảm, Ngoài ra nguyên tử có thể va chạm với những nguyên tử bên cạnh, cũng làm cho năng lượng của hệ giảm. Cả hai nguyên nhân đó làm dao động của hệ tắt dần. Điều đó tương đương với việc electron chịu một lực cản, gọi là lực cản điện từ. Xem lực cản đó tỷ lệ với vận tốc chuyển động của electron, ta có (10) Khi có sóng điện từ ngoài với tần số rọi tới, electron chịu một lực cưỡng bức (đúng ra là phần còn lại của nguyên tử cũng chịu một lực như electron nhưng ngược chiều. Song do khối lượng của nguyên tử quá lớn nên nó dịch chuyển không đáng kể, khiến ta có thể xem chỉ có electron dao động cưỡng bức) (11) Áp dụng định luật II của Newton, ta có (12) Chia các số hạng cho m và chuyển vế (13) trong đó hệ số được gọi là hệ số tắt dần. Xem vectơ điện trường tại nơi khảo sát có biểu thức , đồng thời khi hệ nguyên tử dao động cưỡng bức thì bán kính vectơ cũng có biểu thức . Khi đó . Thay tất cả vào phương trình (13), ta được (14) Biểu thức phức của biên độ chứng tỏ electron dao động lệch pha so với điện trường một lượng nào đó. Độ lớn của được xác định từ các phần thực và phần ảo của biên độ phức. (15) Để tìm manh mối của chiết suất môi trường ta giả thiết rằng trong môi trường này các phân tử không có momen lưỡng cực tĩnh. Nhưng khi electron dao động và lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng thì có momen lưỡng cực tức thời, và nó cũng biến thiên điều hòa Momen lưỡng cực tính cho một đơn vị thể tích môi trường (chứa No phân tử loại đang xét) bằng (16) Tĩnh điện học cho ta biết giữa các vectơ điện cảm , cường độ điện trường và vectơ phân cực có hệ thức (17) Suy ra độ thẩm điện có biểu thức (18) Độ thẩm điện là đại lượng phức. Do đó, chiết suất cũng là một lượng phức. Rõ ràng là nếu hệ số bằng không thì cả độ thẩm điện lẫn chiết suất n đều là thực. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng hệ số liên quan trực tiếp tới hiện tượng hấp thụ. Thực vậy, khi nguyên tử (phân tử) dao động cưỡng bức dưới ảnh hưởng của điện trường sóng tới thì nó phát sóng điện từ thứ cấp cùng tần số. Tuy nhiên sóng này không chỉ được phát theo phương sóng tới mà phát theo mọi phương, khiến cho sóng theo phương ban đầu bị suy giảm. Ngoài ra nguyên tử còn va chạm với các nguyên tử xung quanh khiến năng lượng dao động giảm dẫn đến sự giảm của cường độ sóng thứ cấp. Các nguyên nhân đó đều làm suy giảm sóng trên đường truyền, tương đương với một sự hấp thụ sóng tới. Điều đó có nghĩa là ta có thể đặt biểu thức của chiết suất phức trong trường hợp này y như trường hợp truyền sáng trong môi trường có hấp thụ ánh sáng (19) Biến đổi biểu thức của (20) Bình phương hai vế của n* và đồng nhất nó với biểu thức của , đồng thời chuyển 1 sang vế trái, ta được (21) Cân bằng các hệ số phần thức và phần ảo, ta có (22) (23) Hệ phương trình này hoàn toàn có thể giải được để tìm n và riêng rẽ. Tuy nhiên, ta có thể lập luận như sau để tìm chúng nhanh hơn. Vấn đề là chiết suất của đa số môi trường đều có trị số cỡ đơn vị, tức là có thể viết , trong khi đó, theo (4), có trị số rất nhỏ. Thực vậy, ngay cả với những môi trường hấp thụ rất mạnh ánh sáng, cường độ sáng giảm tới 100 lần khi qua lớp môi trường cỡ 1mm, thì do bước sóng ánh sáng chỉ cỡ 10-6m, cũng chỉ vào khoảng phần nghìn. Nhờ thế ta có thể bỏ qua ở vế trái của (22). Khi đó ta có (22a) đồng thời xem , thì từ (23) ta có (23a) Suy ra hệ số hấp thụ (24) Đây chính là biểu thức giải tích diễn tả sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ và chiết suất vào tần số của ánh sáng tới. 2.3. Giải thích hiện tượng hấp thụ lọc lựa và tán sắc dị thường. Đường cong hấp thụ. Phép khảo sát cực trị của k cho thấy k đạt cực đại khi tần số của ánh sáng tới tiến tới bằng tần số dao động riêng của hệ nguyên tử và giảm rất nhanh khi xa . Đường cong tán sắc. Phép khảo sát cực trị của n cho thấy n đạt cực trị tại hai tần số: + n = nmax tại tần số kí hiệu là + n = nmin tại tần số kí hiệu là + Phía bên trong dải tần số đó, chiết suất của môi trường tăng khi tần số giảm, tức là chiết suất tăng khi bước sóng tăng. + Phía bên ngoài dải tần số đó thì ngược lại, chiết suất của môi trường tăng khi bước sóng tăng, tức là có tán sắc thường. Vậy là, việc khảo sát mối tương tác (đã được đơn giản hóa) của sóng điện từ ánh sáng với hệ điện tích của nguyên tử đã đưa đến các kết quả phù hợp với thực nghiệm. Nơi nào có hấp thụ lọc lựa nơi đó có tán sắc dị thường. Và như vậy nơi không có hấp thụ lọc lựa thì có tán sắc thông thường. Đến đây ta mới có thể khẳng định hiện tượng tán sắc ánh sáng là một trong những hiện tượng bênh vực cho tính sóng của ánh sáng. Nói phép khảo sát được đơn giản hóa là hàm ý rằng trong thực tế, mỗi nguyên tử, phân tử có thể nhiều electron có thể tham gia vào các dao động cưỡng bức khi có sóng điện từ rọi tới. Các electron lớp trong, do liên kết chặt chẽ hơn với hạt nhân nguyên tử, sẽ chỉ có biên độ dao động đáng kể khi bị kích thích bằng các bức xạ vùng tử ngoại xa hoặc vùng tia rơnghen. Ngoài ra, sóng điện từ vùng hồng sẽ kích thích dao động của các hạt nhân trong các phân tử. Sẽ có nhiều tần số cộng hưởng khác nhau nằm trong các miền quang phổ khác nhau. Khi đó trong biểu thức của độ phân cực sẽ có nhiều số hạng. Tuy nhiên, mỗi khi tần số ánh sáng tới tiến gần đến một tần số cộng hưởng của hệ nguyên tử thì ta chỉ cần quan tâm đến một số hạng của là đủ. Như vậy, chắc phải quan sát được tán sắc dị thường trong vùng hồng ngoại và cả trong miền tia rơnghen nữa. Một chi tiết thú vị nữa trong hiện tượng tán sắc là ở sát ngay bên trái mỗi dải hấp thụ chiết suất của hơi natri có trị số nhỏ hơn 1. Điều đó có thể hiểu được trên cơ sở công thức (15) về độ lệch pha giữa dao động của electron và của sóng tới. Có nghĩa là có độ lệch pha giữa sóng thứ cấp do electron dao động phát ra và sóng tới, khiến cho songs tổng hợp lệch pha so với sóng tới. Cụ thể là nếu tần số sóng tới lớn hơn tần số cộng hưởng, , dao động của electron và do đó sóng thứ cấp sớm pha. Sóng rổng hợp sớm pha, tựa như truyền nhanh hơn sóng tới và có thể nhanh hơn vận tốc ánh sáng trong chân không, chiết suất nhỏ hơn 1. Ngược lại, trong miền , sóng thứ cấp và dó đó sóng tổng hợp trễ pha so với sóng tới, sóng truyền với vận tốc nhỏ hơn. 2.4. Sự hạn chế của thuyết sóng ánh sáng trong vấn đề hấp thụ và tán sắc. Tuy nói hiện tượng tán sắc bênh vực tính sóng của ánh sáng, nhưng có những chi tiết không thể giải thích bằng lí thuyết đã nêu. Điển hình là trường hợp nguyên tử natri. Nó chỉ có một electron hóa trị, tức là một electron liên kết đủ lỏng lẻo với hạt nhân và do đó chỉ một electron có khả năng dao động cưỡng bức với biên độ đáng kể khi có ánh sáng miền khả kiến và miền tử ngoại gần rọi vào. Nghĩa là theo lí thuyết đã trình bầy thì sẽ chỉ có một vùng bức xạ gây hấp thụ cộng hưởng và chỉ một vùng đó có tán sắc dị thường. k n 1,0 Hình 4 Thực tế không phải vậy. Trong miền khả kiến và miền tử ngoại gần, hơi natri gây ra nhiều dải hấp thụ, hơn nữa lại là các giải hấp thụ kép. Phép đo chiết suất của hơi natri cho thấy bên trong mỗi dải hấp thụ đó vẫn có tán sắc dị thường, còn ở giữa hai dải hấp thụ là tán sắc thường (hình 4). Qui luật về tán sắc dị thường đi kèm với hấp thụ cộng hưởng vẫn đúng, nhưng hiện tượng một electron có nhiều tần số cộng hưởng trong một trường lực là điều không thể giải thích được. Hiện tượng này chỉ có thể hiểu được trên cơ sở các tiên đề Bohr về các trạng thái dừng, nghĩa là chỉ có thuyết lượng tử mới có thể giải thích đầy đủ được mọi khía cạnh của hiện tượng tán sắc và hấp thụ. Bài tập 1. Một chùm ánh sáng trắng rọi lên mặt bên của một lăng kính có tiết diện là một tam giác đều. Chiết suất của lăng kính phụ thuộc bước sóng theo biểu thức , trong đó bước sóng tính theo met. Hỏi để mọi bức xạ thấy được trong chùm qua hết được mặt bên kia lăng kính, góc tới phải thỏa mãn điều kiện gì? ĐS I1 Hình 5 I2 I3 A B C D M 2. Ba chùm sáng đơn sắc song song hẹp bước sóng đi song song với nhau rọi lên ba điểm chính giữa I1, I2, I3 của các mặt AB, BC, CD của một lăng kính thủy tinh trong suốt có tiết diện thẳng là một hình thang cân. Hai góc đáy dưới bằng 60o và chiều dài các mặt AB, BC, CD trong tiết diện thẳng là bằng nhau. Chiết suất của lăng kính đối với bức xạ bằng . Một màn M đặt sau lăng kính, song song với đáy và cách đáy AD một khoảng đúng bằng bề dầy lăng kính. a. Xác định khoảng cách giữa ba giao điểm của màn với các tia ló. b. Giả sử ba chùm sáng trên là ánh sáng trắng, trong đó bức xạ nằm trong miền ánh sáng lục. Mô tả hiện tượng quan sát được trên màn. c. Lăng kính được chiếu sáng như trong câu b. Sau đó xoay lăng kính quanh một trục vuông góc với mặt phẳng hình vè tai điểm I2 đi một góc nhỏ theo chiều kim đồng hồ. Xác định các thay đổi trong các quang phổ trên màn. Đáp số c: + Chấm sáng chính giữa bắt đầu nhuốm màu quang phổ, sắc tím ở phía trái, sắc đỏ ở phía phải. + Quang phổ bên trái (do chùm sáng qua I3 tạo thành) bị đẩy toàn bộ sang trái. + Quang phổ bên phải (do chùm sáng qua I2 tạo thành) cũng bị đẩy toàn bộ sang trái. Giao thoa nhiều chùm tia. Tán sắc dị thường Các định luật quang hình học trong cách nhìn nhận của quang học sóng Học thuyết có tính mô hình của Huyghens. Học thuyết về giao thoa của các sóng thứ cấp của Fresnel. Nhiễu xạ ánh sáng và nhiễu xạ tia X Nhiễu xạ ánh sáng qua một lỗ tròn. Phương pháp đới Fresnel. Nhiễu xạ ánh sáng qua khe hẹp. Phương pháp giản đồ vectơ. Cách tử nhiễu xạ. Cũng do dùng thấu kính hội tụ mà các hình nhiễu xạ một khe này chồng khít lên nhau tại mặt phẳng tiêu của thấu kính. Tại mỗi điểm trên mặt phẳng tiêu có sự chồng chất của vô số sóng kết hợp, chúng giao thoa với nhau, cho ta hình nhiễu xạ của toàn cách tử. Nhiễu xạ ánh sáng qua cách tử nhiễu xạ hai chiều. Cách tử nhiễu xạ hai chiều. Đó là bố cục một khe hẹp chữ nhật được lặp lại theo hai chiều vuông góc trong một mặt phẳng nào đó: theo chiều của trục Ox với hằng số cách tử bằng d1 và theo chiều của trục Oy với hằng số cách tử bằng d2 (hình ). Trong thực tế, các lỗ trên một mảnh vải được dệt từ những sợi vải có kích thước giống nhau trên máy dệt lí tưởng có thể được xem là một cách tử hai chiều. Ví dụ khác: Mặt bóc của mạng tinh thể gồm các nút mạng được sắp xếp cực kì đều đặn. Trong phần Ba ta sẽ đi sâu vào cơ chế tương tác cổ điển giữa ánh sáng và các nút mạng. Ở đây ta chỉ giới hạn hình dung rà các nút mạng tựa như các quả cầu pha lê, làm tán xạ ánh sáng tới theo mọi phương. Những tia sóng tán xạ theo cùng một phương sẽ giao thoa với nhau. Sự phân bố cường độ sáng của hình nhiễu xạ qua cách tử nhiễu xạ hai chiều. Thông thường để qua sát bức tranh nhiễu xạ ta vẫn dung một thấu kính hội tụ tiêu cự f đặt sau cách tử. Khi đó các sóng nhiễu xạ từ các điểm khác nhau trên cùng một khe truyền theo cùng một phương (song song) sẽ hội tụ tại một điểm trên mặt phẳng tiêu của thấu kính, cho ta hình nhiễu xạ do một khe gây ra (gọi tắt là hình nhiễu xạ một khe). Tương tự trường hợp cách tử một chiều, các hình nhiễu xạ một khe này chồng khít lên nhau tại mặt phẳng tiêu của thấu kính, chúng giao thoa với nhau, cho ta hình nhiễu xạ của toàn cách tử hai chiều. Để tìm sự phân bố các cực đại, ta giả thiết rằng chùm sáng tới rọi vuông góc lên mặt cách tử, đồng thời chọn hệ toa độ cho trục Oz trùng với chiều truyền của chùm tia tới. Khi đó các góc chỉ phương của tia nhiễu xạ OB tuân theo hệ thức Hình chiếu của tia OB lên các mặt phẳng tọa độ Ozx và zOy hợp với các truc Ox và Oy các góc tương ứng bằng . Các cực đại chính dọc trục Ox và Oy thỏa mãn các hệ thức tương tự trường hợp cách tử một chiều: Đối với các tia nhiễu xạ có các góc lệch nhỏ, ta có thể xem gần đúng . Khi đó, ta có Như vậy, các cực đại chính được quan sát theo những phương hoàn toàn xác định. Nếu ánh sáng làm thí nghiệm là đơn sắc thì các cực đại chính là các chấm sáng đơn sắc, có kích thước theo mỗi chiều tỷ lệ nghịch với kích thước của khe cách tử theo chiều đó, có khoảng cách tỷ lệ nghịch với chu kì cách tử theo chiều đó.. Trên hình minh họa hình nhiễu xạ cho trường hợp các tử gồm các lỗ vuông và được lặp lại với các hằng số d2 = 2d1. Cách tử nhiễu xạ ba chiều. Phương trình Vulf- Brag A B C M N Cách tử nhiễu xạ ba chiều. Nếu cách tử hai chiều được lặp lại theo chiều thứ ba với hằng số d3, thì ta có cách tử ba chiều Phương trình của các cực đại chính. Tưởng tượng, rọi một chum sáng đơn sắc vuông góc lên một cách tử ba chiều. Xem rằng các lớp cách tử hai chiều không ngăn cản ánh sáng đi sâu vào các lớp trong theo phương ban đầu (vả lại theo phương ban đầu ta có cực đại chính bậc không từ mỗi cách tử hai chiều, nó đóng vai trò chùm sáng tới đối với cách tử hai chiều tiếp theo). Xét một cực đại chính nào đó từ mỗi cách tử hai chiều hợp với phương ban đầu một góc . Hiệu quang trình giữa hai sóng theo phương đó xuất phát từ hai cách tử hai chiều liên tiếp bằng trong đó góc phải thỏa mãn điều kiện cực đại chính của cách tử hai chiều.