Chuyên đề: Thể tích khối đa diện và các bài toán liên quan

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2013: Chuyên đề: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đề 01: (THPT Quế Võ- Bắc Ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ, H là trung điểm , 2 , 5AB SA a SC a= = . Biết rằng tam giác SAB là tam giác đều, mặt phẳng ( )SAB vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD và khoảng cách từ D tới mặt phẳng ( )SHC bằng 2 2a . Hãy tính thể tích khối chóp .S ABCD theo .a Bài giải: Từ giả thiết suy ra ( )SH ABCD⊥ và 2 3 3 2 a SH a= = Ta có 2 2 2CH SC SH a= − = . Dựng ( )KD CH KD SHC⊥ ⇒ ⊥ . Do đó, tam giác HBC vuông cân tại B và .BC a= Gọi E HC A= ∩ D thế thì tam giác HAE cũng vuông cân và do đó suy ra ( )( ) 0 ; 2 2. 2 4 3 . cos 45 D AHC DE a a AD a= = = ⇒ = d ( ) 21 4 2ABCD S BC DA AB a= + ⋅ = (đ.v.d.t.). Vậy 3 . 1 4 . . 3 3 S ABC ABCD a V SH S= = D (đ.v.t.t) Đề 02: (THPT Quế Võ- Bắc Ninh) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , tâm O và góc
060BAD = ; D’O vuông góc với (ABCD), cạnh bên tạo với đáy một góc 060φ = . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp C.ADC’. Bài giải: Từ giả thiết:
0' 60D DO = Tam giác ABD đều, 3 2 2. 3 2 a AC AO a= = = và 1 ; ' 2 2 a OD BD DD a= = = . Gọi O’ là tâm của hình thoi A’B’C’D’. Ta có: ' 'a= =OO DD và ' AC⊥OO (do ( )' 'AC BDD B⊥ ), nên diện tích tam giác ACC’ là: 2 ∆ ' ' ' 1 1 1 3 '. . 3 2 2 2 2ACC ACC A a S S AC a a= = = =OO , trong đó 3AC a= Diện tích tam giác ACD là 2 ∆ 3 4ACD a S = . Kẻ OH vuông góc với CD thì 'D H CD⊥ và ∆OD'H vuông tại O. 2a 2 2a 5 K H 2a S D CB A a a E 450 K A B C D H O C D A B D' A' C' B' H Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 Do đó 4 a DH = . Suy ra 2 2 15 ' ' 4 a D H D D DH= − = . Diện tích tam giác C’CD là 2 ∆ ' ' ' 1 1 1 15 15 . ' . 2 2 2 4 8C CD CDD C a a S S CD D H a= = = = * Vậy diện tích xung quanh của hình chóp C.ADC’ là: ( ) 2 2 2 2 ∆ ' ∆ ∆ ' 3 3 15 3 6 5 2 4 8 8xq ACC ACD CDC a a a a S S S S= + + = + + = + (đ.v.d.t) * Thể tích 2 3 . ' '. ∆ 1 3 1 3 3 ' . 3 2 4 8C AC D C ACD ACD a a a V V D O S= = = ⋅ ⋅ = (đ.v.t.t) Đề 03: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Chân đường cao hạ từ đỉnh S của hình chóp trùng với trung điểm I của cạnh AB và góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy bằng 300. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SDK). Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Ta có SI ⊥ (ABCD) nên IC là hình chiếu của SC lên (ABCD) do đó góc giữa SC và (ABCD) là góc
30oSCI = (vì ∆SIC vuông tại I). Xét BIC∆ vuông tại B có: 2 2 5IC BI BC a= + = Xét SIC∆ vuông tại I có: tan 60o SI IC = ⇒ 15 .tan 60 3 o aSI IC= = Diện tích hình vuông ABCD là: ( )2 22 4ABCDS a a= = Vậy thể tích khối chóp là : 3 21 1 15 4 15. . .4 3 3 3 9SABCD ABCD a a V SI S a= = = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SDK). Gọi E = DK ∩ IC . Ta có: ∆IBC = ∆KCD ⇒

BCI KDC= . Mà

90oDKC KDC+ = (vì ∆KCD vuông tại C) Nên

90oDKC BCI+ =
90oKEC⇒ = hay DK ⊥ IC (1) Lại có DK ⊥ SI (vì SI ⊥ (ABCD)) (2) Từ (1) và (2) suy ra DK ⊥ (SIC). Trong ∆ SIE kẻ IH ⊥ SE (3) Mà DK ⊥ (SIC) nên DK ⊥ (SIE) ⇒ DK ⊥ IH (vì IH ⊂ (SIE)) (4) Từ (3) và (4) suy ra IH ⊥ (SKD) , do đó ( )( );I SKD IH=d . Ta có 5KD IC a= = . Lại có . . 2 KCDEC KD CK CD S∆= = . . 2 5 5 CK CD a EC KD ⇒ = = 3 5 5 a IE IC EC⇒ = − = H E 300 I KB A C D S 2a Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 Xét tam giác SIE vuông tại I có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 5 52 15 9 45IH SI IE a a a = + = + = 2 2 45 3 65 52 26 a a IH IH⇒ = ⇒ = . Vậy ( ) 3 65; 26 a I SKD IH= =  d . Đề 04: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, , 2 2AB a AD a= = . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a. Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABCD: Gọi H là trọng tâm tam giác BCD. Theo GT ( )SH ABCD⊥ Gọi 2 1 2 3 3 O AC BD CH CO AC a AH AC HC a= ∩ ⇒ = = = ⇒ = − = SA tạo với đáy góc 450 suy ra 045 2SAH SH AH a= ⇒ = = Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì 31 1 4 2. .2 2 .2 3 3 3ABCD V S SH a a a a= = = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD: Dựng Dx // AC ( ) ( ) ( )( )/ / ; ;AC SDx AC SD H SDx⇒ ⇒ =d d Dựng ( )HK Dx HK SDx⊥ ⇒ ⊥ Xét 2 tam giác CAD và CDP có

ACD DCP φ= = . Ta có: 2 2 sin 2 2 2 23 3 3 sin AD a φ CP a aCA a CP a aCP CP φ CD a  = = ⇒ = ⇔ =  = =  Từ đó suy ra: 2 2 2 2 1 1 1 11 2 22 8 11 a OH OH HS CP a = + = ⇔ = Kết luận: ( ) 2 22; 11 a SD AC =d . Nhóm giả thiết liên quan Thiết diện hình học. Đề 05: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, , 2AD DC a AB a= = = ; hai mặt bên(SAB), (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a= . Gọi N là trung điểm của SA, M thuộc cạnh AD sao cho 3AM MD= . Cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SAD) ta được thiết diện là tứ giác MNPQ. Tính thể tích của khối chóp A.MNPQ theo a . Bài giải: ϕ 2 2a aa P K x O H A B D C Q K x 2a S D C A B 450 O H Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD SAD ABCD ⊥ ⇒ ⊥ SA⊥mp(ABCD). Thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại M và N Tính được 3 13 5 , , , , 2 4 4 4 a a a a AN AM NP a MN MQ= = = = = . Diện tích đáy MNPQ là: 29 13 32 a S = . Độ dài đường cao của hình chóp A.MNPQ là: 3 2 13 a AH = . Kết luận: 3 . 9 64A MNPQ a V = (đ.v.t.t) Đề 06: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, 2AB a= . Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn 2IA IH= −   . Góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng 060 . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH) theo a . Bài giải: Ta có 2IA IH= − ⇒   H thuộc tia đối của tia IA và 2IA IH= 2 2BC AB a= = . Suy ra 3 , 2 2 a a IA a IH AH IA IH= = ⇒ = + = Ta có 52 2 2 0 2 . .cos 45 2 a HC AC AH AC AH HC= + − ⇒ = Vì ( ) ( )( )
0 0 15, 60 .tan 60 2 a SH ABC SC ABC SCH SH HC⊥ ⇒ = = ⇒ = = Thể tích khối chóp S.ABCD là: 3 . ∆ 1 15 . 3 6S ABC ABC a V S SH= = (đ.v.t.t) * Ta có: ( ) BI AH BI SAH BI SH ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ; 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2 K SAH SK a K SAH B SAH BI B SAH SB ⇒ = = ⇒ = = = d d d d . Đề 07: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a 3 , BD = 2a; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a 3 4 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải: Từ giả thiết 2 3; 2AC a BD a= = và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và 3;AO a BO a= = , do đó
060ABD = . H Q P a a a A B CD S 2a M N a 2 a 2 600 H I A B C S Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH AB⊥ và 3DH a= ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO = + ⇒ = Diện tích đáy 24 2. . 2 3 D SABC ABOS OA OB a∆= = = ; đường cao của hình chóp 2 a SO = . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . 1 3 . 3 3D DS ABC ABC a V S SO= = (đ.v.t.t) Đề 08: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi cạnh a , AC a= , 2 ' 3 a AA = . Hình chiếu của 'A trên đáy ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Lấy điểm I trên đoạn 'B D và điểm J trên đoạn AC sao cho IJ // 'BC . Tính theo a thể tích của khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D và khối tứ diện ' 'IBB C . Bài giải: ABC∆ đều cạnh a nên 2 3 3 a AG AM= = , 2 2 2 2 4' ' 3 3 a a A G AA AG a= − = − = 2 3 . ' ' ' ' 3 3 ' . ' .2 2. . 4 2ABCD A B C D ABCD ABC a a V A G S A G S a= = = = (đ.v.t.t) Kéo dài DJ cắt BC tại E nên / / '/ / 'IJ EB BC ⇒B là trung điểm EC ' 2 ' 3 IB JE JC DB DE AC = = = ' ' '. ' ' ' '. ' ' 2 ' 3 IBB C B IBC DBB C B DBC V V B I V V B D ⇒ = = = 3 ' ' ' ' . ' ' ' ' 2 2 1 3 3 3 6 18IBB C DBB C ABCD A B C D a V V V⇒ = = = (đ.v.t.t) Đề 08: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD =2a, SA⊥ (ABCD) và SA = 6a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Tính thể tích khối chóp H.SCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC. Bài giải: * Tính thể tích khối chóp H.SCD: Ta có : 2 . . . 2 2 . . 6 7 S HDC H SDC S HDC S BDC V SH SH SB SA V V V SB SB SB = ⇒ = = = = . . 6 6 1 2 . . . 6. 7 7 3 7S HDC S BDC BDC BDC V V SA S a S⇒ = = = I H 2a 3 S A B O D C 2a I J E G M A' D' C' N D A B C B' Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 Gọi K là hình chiếu của B trên AD Ta có: . 3 BK.AD AB.BD BK= 2 AB BD a AD = ⇒ = 21 3 . 2 4BCD a S BK BC⇒ = = . Vậy 3 . 3 2 14H SDC a V = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC: Vì ( )/ /AD SBC nên ( ) ( )( ) ( )( )d ; d ; d ;AD SC AD SBC A SBC= = h= . Dựng hình bình hành ADBE. Do AB BD⊥ nên AB AE⊥ Trong tứ diện vuông ASEB ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 9 6h SA AB AE SA AB BD a = + + = + + = 6 3 a h⇒ = . Vậy ( ) 6d ; . 3 a AD SC = Đề 09: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp ABCDS. có )(ABCDSC ⊥ , đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng 3a và
0120 .ABC = Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng )(SAB và )(ABCD bằng .450 Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BDSA, . Bài giải: * Tính thể tích khối chóp .S ABCD : Kẻ ⇒⊥ ABSK hình chiếu ABCK ⊥ . ( )
0( ),( ) 45 .SAB ABCD SKC⇒ = =

0 0 0 3120 60 .sin 60 2 a ABC CBK CK CB= ⇒ = ⇒ = = . 2 3 45tan 0 a CKSC ==⇒ (1) . 2 33 120sin. 2 0 aBCABS ABCD == (2) Từ (1) và (2) 3 . 1 3 3 . 3 4S ABCD ABCD a V SC S⇒ = = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BDSA, : Gọi .BDACO ∩= Vì SCBDACBD ⊥⊥ , nên )(SACBD ⊥ tại O. Kẻ OISAOI ⇒⊥ là đường vuông góc chung của BD là SA. Sử dụng hai tam giác đồng dạng AOI và ASC hoặc đường cao của tam giác SAC , suy ra . 10 53 52 3 aa OI == Từ đó: ( ) 3 5d ; . 10 a SA BD = Đề 10: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB a= , các mặt bên là các tam giác cân tại đỉnh S. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). Bài giải: *Gọi H là trung điểm BC, chứng minh ( )SH ABC⊥ E H a 6 S CB A D2a 450 C D O B A S a 3 K I Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 * Xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) với mặt đáy là

060= =SEH SFH . * KẻHK SB⊥ , lập luận suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằngHKA . * Lập luận và tính được AB AC a= = , 2 2 a HA = , 0 3 tan 60 2 a SH HF= = * Tam giác SHK vuông tại H có: 2 2 2 1 1 1 3 10 KH a HK HS HB = + ⇒ = * Tam giác AHK vuông tại H có: 2 202tan 33 10 a AH AKH KH a = = = 3 cos 23 AKH⇒ = . Đề 11: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a= , 3AC a= , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC). Bài giải: * Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ : Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có:
02 22 , ; ' 60 3 3 a BC a AG AI A AG= = = = 0 2 3 ' . tan 60 3 a A G AG⇒ = = Thể tích V của khối lăng trụ được tính bởi: 31 1 2 3' . . . ' . 3. 2 2 3ABC a V A G S AB AC A G a a a= = = = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BC): Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK 1 1 1 . 1 . 3 3 . 3 3 3 3 2 6 GI MG AB AC a a a CI AK AK MA BC a ⇒ = = ⇒ = = = = Dựng GH ⊥ A’I tại H (1). Do: (2) ' BC GI BC GH BC A G ⊥  ⇒ ⊥ ⊥  . Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC) Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung điểm của AB’. Từ đó ( ) ( ) ( )d '; ' d ; ' 3d ; ' 3B A BC A A BC G A BC GH     = = =      2 2 2 2 2 3 3 3. .' . 3. ' . 6 2 513 63. . ' 1751' 12 3 9 36 a a A G GI A G GI a a A I A G GI a a = = = = = + + Vậy ( ) 2 51d '; ' . 17 a B A BC  =  F E 600 600 K a H S A B C I M N K a 3 a 600 G A B C A' B' C' Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Đề 12: (THPT Nguyễn Văn Cừ- Hà Nội) Cho hình lăng trụ 1 1 1.ABC A B C có M là trung điểm cạnh AB, BC 2a,= góc ACB bằng 090 và góc ABC bằng 060 , cạnh bên 1CC tạo với mặt phẳng )(ABC một góc ,450 hình chiếu vuông góc của 1C lên mặt phẳng )(ABC là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1.ABC A B C và góc tạo bởi hai mặt phẳng )(ABC và ).( 11AACC Bài giải: *Tính thể tích khối lăng trụ 1 1 1.ABC A B C : Gọi H là trung điểm CM. Từ giả thiết
( )( ) 01 1 1( ) ; 45 .C H ABC C CH CC ABC⇒ ⊥ ⇒ = = Tam giác vuông ABC với
02 , 60 2 3BC a ABC AC a= = ⇒ = , aCHaABCMaAM =⇒=== 2 2 1 ,4 .45tan 01 aCHHC ==⇒ Suy ra: 1 1 1 2 3 . 1 . .2 3 2 3ABC A B C ABCV C H S a a a= = = (đ.v.t.t) * Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng ( )ABC và ( )1 1 :ACC A Kẻ ⇒⊥ ACHK đường xiên ( ) ( )( )
1 1 1 1; .C K AC ABC ACC A C KH⊥ ⇒ = Tam giác MCA cân tại M

030MCA MAC⇒ = =
( ) ( )( )0 1 1 1.sin 30 tan 2 ; arctan 2.2 a CH HK HC C KH ABC ACC A HK ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = Đề 13: (THPT Thanh Chương- Nghệ An) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BA = a. Tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC; biết góc giữa MN với mp(ABC) bằng 060 .Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, MN theo a. Bài giải: * Tính thể tích khối chóp S.ABC: Gọi I là trung điểm AC, do SAC∆ cân tại S nên ( )SI ABC⊥ . Gọi H là trung điểm AI suy ra MH//SI ( )MH ABC⇒ ⊥ , do đó (MN,(ABC)) =
MNH = 60 0 . Ta có: 2 2ABC a S = . Xét HCN∆ có: 3 2 ; ; 2 4 a a NC HC= = 2 2 2 2 0 52 . .cos 45 8 a NH HC NC HC NC= + − = ; 10 4 a NH = C A M H K 1C 1B 1A 2a B KH M NJ I S A B C Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 Xét MHN∆ có 0 30 30 tan 60 ; 2 4 2 MH NH a SI MH a= = = = . 3 . 1 30 . 3 12S ABC ABC V SI S a⇒ = = (đ.v.t.t) * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, MN: Goi J là trung điểm AB, K là hình chiếu vuông góc của H lên MJ tức là HK MJ⊥ (1). Ta có: ( ), / / 2JN BI BI HJ JN HJ⊥ ⇒ ⊥ / / , (3)SI MH SI JN JN MH⊥ ⇒ ⊥ Từ ( ) ( ) ( ) ( )2 , 3 4JN MHJ HK HK JN⇒ ⊥ ⊃ ⇒ ⊥ Từ ( ) ( ) ( )1 , 4 HK MNJ⇒ ⊥ . Suy ra: ( ) ( ) ( )( )d ; d ; d ;AC MN H MN H MJN HK= = = = 2 2 .MH HJ MH HJ+ = 2 2 30 2 . 304 4 1630 2 16 16 a a a a a = + Đề 14: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có
0120ABC = . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB. Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE. Bài giải: * Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF: Từ giả thiết suy ra
0' 30BC C = và BA = BC = r. 0' cot 30 3CC BC r= = Suy ra: '. EF . EF . EC '. 1 8A K C K F K A ABC V V V V= = = 3 01 1 1. .AA '. . .sin120 3 8 2 32 r BA BC= = (đ.v.t.t) * Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE: Gọi H là trung điểm của AC ta có FH // AA’ suy ra FH⊥ (ABC) và 2 r HK HB HE= = = Gọi J là trung điểm KF, trong mp (FKH) đường trung trực của FK cắt FH tại I, I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE. Ta có: 2 2 2 2FK FH KH r= + = . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE: 2 2. 3 2 33 FJ FK FK r r R FI FH FH r = = = = = . Đề 15: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Hai mặt J F EK H C B A' C' B' A Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng 060 .Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a . Bài giải: Gọi H là trung điểm của AB ( )SH AB SH ABC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Kẻ ( )AK SC SC AKB⊥ ⇒ ⊥ SC KB⇒ ⊥ ( ) ( )( ) ( ) 0SAC ; SBC KA;KB 60⇒ = =

0 0 AKB 60 AKB 120  = ⇒   = Nếu
0AKB 60= thì dễ thấy KAB∆ đều KA KB AB AC⇒ = = = (vô lí) . Vậy
0AKB 120= . ∆ΚΑΒcân tại K
0AKH 60⇒ = 0 AH a KH tan 60 2 3 ⇒ = = Trong SHC∆ vuông tại H, đường cao KH có: 2 2 2 1 1 1 KH HC HS = + . thay a KH 2 3 = và a 3 HC 2 = vào ta được a 6 SH 8 = . Vậy 2 3 S.ABC ABC 1 1 a 6 a 3 a 2 V .SH.S . . 3 3 8 4 32∆ = = = (đ.v.t.t). Đề 16: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho khối chóp S.ABC có , , SA a SB b SC c= = = ,
0AS 60B = ,
090BSC = ,
0120CSA = . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải: Trên các tia SB, SC lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho: ' ' .SB SC SA a= = = Tam giác SAB’ đều cạnh a nên 'AB a= . Tam giác SBC’ vuông cân tại S nên ' ' 2B C a= . Tam giác SC’A cân tại S có
0' 120C SA = ' 3C A a⇒ = . Suy ra: 2 2 2' ' ' ' ' 'AB B C C A AB C+ = ⇔ ∆ vuông tại B’ ⇒ 2 ' ' 2 2AB C a S∆ = . Hạ SH ⊥mp(AB’C’) ' 'HA HB HC⇒ = = . ⇒ H là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ ⇒ H là trung điểm của 0' .sin 30 2 a C A SH SA⇒ = = . Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: 2 31 2 2 ' . . 3 2 2 12 a a a V = = (đ.v.t.t) Ta có: ' . ' '. . ' SC SC SB SB V V CABS ABCS = . Từ đây, ta tính được: VS.ABC = 12 2abc (đ.v.t.t) Đề 17: (THPT Nguyễn Huệ- Đaklak) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền 2AB = . Mặt phẳng (A A’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , ' 3AA = . Góc
'A AB là góc nhọn và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài giải: 600 K H S A B C a H 120060 0 B' C' S C A B Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Gọi K, M là hình chiếu của A’ trên AB và AC. Ta có: ( ) ( ) ( )⊥ ⇒ ⊥' 'AA B ABC A K ABC . Ta có: 'A M AC KM AC ⊥  ⊥ và
= 0' 60A MK , Đặt ='A K x , ta có = − = −2 2 2' ' 3AK A A A K x , Ta có:
= = − 2 2 sin 3 . 2 MK AK KAM x Mặt khác: = =0' cot 60 3 x MK A K . Vậy ta có: − = ⇔ =2 2 3 3 . 2 3 5 x x x . Suy ra: Λ= = =. ' ' ' 1 3 5 . ' . . ' 2 10 ABC A B C ABC V S A K AC BC A K (đ.v.t.t) ------------------------------------------------------------- CHÚNG TÔI SẼ TIẾP TỤC CẬP NHẬT TRONG CÁC TÀI LIỆU SAU. Rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và các bạn học sinh! Xin trân trọng cảm ơn! Huế, ngày 02 tháng 07 năm 2013 3 K M A' C' B' C B A 2 600