Chuyên đề Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Chuyên đề: tỉ lệ thức-tính chất của dãy tỉ số bằng nhau A. Cơ sở lí thuyết I. Tỉ lệ thức 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu thì Tính chất 2: Nếu và a, b, c, d thì ta có các tỉ lệ thức sau: , , , Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau -Tính chất: Từ suy ra: -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: suy ra: (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. Các dạng toán và phương pháp giải: Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) , và c) và d) và e) và f) Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) và c) và d) và e) f) và Bài 3: Tìm x, y biết rằng: Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng: a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) Bài 5: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 6: Tìm các số x, y, z biết : x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 7: Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 8: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Biết a+b+c.Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 9: Cho và Tìm giá trị của: Giải: ( Vì) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 10. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Giải: => ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm Dạng II: Chứng minh tỉ lệ thức Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) +) Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). a) b) c) d) e) f) g) h) i) . Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau: CMR: Ta có đẳng thức: Bài 4: Cho Chứng minh rằng: Bài 5: Cho và Chứng minh rằng: Bài 6: Chứng minh rằng nếu : thì Bài 7. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . Giải. Ta có : =; Bài 8: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không? Bài 9: Cho . CMR: Bài 10: Chứng minh rằng nếu: thì Bài 11: CMR nếu .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : Bài 12: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và Chứng minh rằng: Bài 13: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: và Chứng minh rằng: Bài 14: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. Bài 15: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . Bài 16: Cho dãy tỉ số : ; CMR: . Bài 17: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0. B. Các dạng toán và phương pháp giải: Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt , suy ra: , Theo giả thiết: Do đó: KL: Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: Do đó: KL: Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết mà Do đó: KL: Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và Giải: Từ giả thiết: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (*) Ta có: Do đó: KL: Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt ( sau đó giải như cách 1 của VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: mà Suy ra: , KL: Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt , suy ra , Theo giả thiết: + Với ta có: + Với ta có: KL: hoặc Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x Nhân cả hai vế của với x ta được: + Với ta có + Với ta có KL: hoặc Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) , và c) và d) và e) và f) Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) và b) và c) và d) và e) f) và Bài 3: Tìm x, y biết rằng: Bài 4: Cho và Tìm giá trị của: Giải: ( Vì) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 4: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Dạng II: Chứng minh tỉ lệ thức Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị. Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. Một số kiến thức cần chú ý: +) +) Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: (PP1) Ta có: (1) (2) Từ giả thiết: (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm) Cách 2: (PP2) Đặt , suy ra Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) Cách 3: (PP3) Từ giả thiết: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: (đpcm) Hỏi: Đảo lại có đúng không ? Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: Giải: Cách 1: Từ giả thiết: (1) Ta có: (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: (đpcm) Cách 2: Đặt , suy ra Ta có: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) Cách 3: Từ giả thiết: (đpcm) Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa). 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Bài 2: Cho . Chứng minh rằng: Bài 3: Cho Chứng minh rằng: Bài 4: Cho và Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng nếu : thì Bài 6: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không? Bài 7: Cho . CMR: Bài 8: Chứng minh rằng nếu: thì Bài 9: CMR nếu trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : Bài 10: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và Chứng minh rằng: Bài 11: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: và Chứng minh rằng: Bài 12: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.  C. bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng theo từng dạng bài, loại bài là hết sức cần thiết. Điều đó giúp các em học sinh có thể đi sâu hơn, phân tích đánh giá đầy đủ hơn đến từng nội dung kiến thức. Vì vậy mỗi giáo viên phải coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết nhằm làm cho kết quả học tập của các em cao hơn. Trong quá trình giảng dạy không những giáo viên phải tự nghiên cứu, phân tích tổng hợp kiến thức mà cần phải chú trọng việc dạy cho học sinh biết cách phân dạng các bài tập, tổng hợp kiến thức. * ý kiến đề xuất: - Khi vận dụng đề tài, với mỗi khối lớp giáo viên có thể lựa chọn phạm vi kiến thức và lượng bài tập sao cho phù hợp với năng lực của mỗi đối tượng học sinh. - Vì đề tài áp dụng chủ yếu cho học sinh khá giỏi nên khi áp dụng giáo viên hãy áp dụng phương pháp gợi mở (nếu cần) và có thể yêu cầu học sinh khai thác bài toán ở nhiều khía cạnh khác nhau: Tương tự hoá, tổng quát hoá bài toán, vận dụng bài toán sang bài toán khác, tìm tính chung và tính riêng cho từng bài, từng dạng bài. Nhưng bên cạnh đó có thể chọn những bài toán cơ bản và cần thiết để dạy cho các đối tượng học sinh trung bình.  Phần III : Kết luận Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau khi dạy học sinh giải các bài toán về “Dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức” trong những năm vừa qua. Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sau khi áp dụng chuyên đề trên thì: - Các em đã biết phân dạng và nhận biết được các dạng bài toán về “Dãy tỉ số bằng nhau, tỉ lệ thức” một cách đúng đắn và chính xác. - Thông qua đánh giá trong khi ôn tập và kết quả các kì thi thì đa số các em đã nắm được phương pháp giải và giải tốt dạng toán này. - Tuy nhiên với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy cũng như thời gian còn nhiều hạn chế, nên không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy cô giáo đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chuyên đề được đầy đủ hơn nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh nói chung và chất lượng học toán nói riêng. Xin chân thành cám ơn!