Chuyên đề Tích các phép biến hình trong mặt phẳng

TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG CHUYÊN ĐỀ: TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền Krông Năng, tháng 04/2010 MỤC LỤC Chương 1: Mở đầu 1.1 – Lý do chọn đề tài 1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng. 1.2.1 – Phép biến hình. 1.2.2 – Phép dời hình. 1.2.3 – Phép đồng dạng. Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng. 2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến. 2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục. 2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm. 2.4 – Tích của hai phép quay. 2.5 – Tích của hai phép vị tự. 2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến. 2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục. 2.8 – Mở rộng Chương 3: Bài tập áp dụng. Tài liệu tham khảo Chương 1: MỞ ĐẦU 1.1 – Lý do chọn đề tài Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh trung học phổ thông. Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán phổ thông là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới. Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung học phổ thông người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ: Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt). Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn , từ không gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm. Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học. Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học. Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng vào việc giải toán hình học. Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều không nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực hiện liên tiếp các phép biến hình”. Chính vì vậy, với chuyên đề nhỏ này, tôi hi vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải toán. 1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng. 1.2.1 – Phép biến hình. Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là . Khi đó mỗi hình bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của và được kí hiệu . a) Định nghĩa Một song ánh từ tập điểm của lên chính nó được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng. Điểm gọi là ảnh của điểm qua phép biến hình . Ngược lại điểm gọi là tạo ảnh của điểm qua phép biến hình nói trên. Nếu là một hình nào đó của thì ta có thể xác định tập hợp . Khi đó gọi là ảnh của hình qua phép biến hình và hình được gọi là tạo ảnh của hình qua phép biến hình đó.  b) Sự xác định phép biến hình. Muốn xác định một phép biến hình ta cần nêu rõ quy tắc đó bằng các cách sau đây: _ Quy tắc được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho, ... _ Quy tắc còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ của điểm với tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ nào đó. c) Phép đồng nhất Phép biến hình , biến mỗi điểm thành chính nó được gọi là phép đồng nhất Kí hiệu: d) Điểm bất động của phép biến hình. Một điểm là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến hình nếu . e) Phép biến hình đảo ngược. Trong mặt phẳng, cho phép biến hình . Khi đó phép biến hình biến được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình . Kí hiệu: Mỗi phép biến hình có duy nhất một phép biến hình đảo ngược . Nếu thì phép biến hình gọi là phép biến hình đối hợp. f) Tích các phép biến hình Dễ dàng chứng minh được: Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình. Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp. Tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất. 1.2.2 – Phép dời hình a) Định nghĩa Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình. ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình. b) Các phép dời hình i) Phép tịnh tiến ĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng P cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho gọi là phép tịnh tiến theo vectơ Kí hiệu: , vectơ gọi là vectơ tịnh tiến. ii) Phép đối xứng trục ĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M. iii) Phép đối xứng tâm ĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm O. Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng. iv) Phép quay ĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định và góc lượng giác . Phép quay tâm O, góc quay là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho Kí hiệu: , O là tâm quay, là góc quay. Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất. - Phép quay tâm O, góc quay là phép đối xứng tâm O. 1.2.3 Phép đồng dạng a) Phép vị tự ĐỊNH NGHĨA : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Kí hiệu : , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự. Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất. - Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm. b) Phép đồng dạng ĐỊNH NGHĨA : Một phép biến hình gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho luôn có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng dạng Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. - Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/. - Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số 1/k. - Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1. k2. Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến. Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ là một phép tịnh tiến theo vectơ . Chứng minh : Trong mặt phẳng lấy điểm bất kì Giả sử: M’’ M’ M Ta có: Suy ra Vậy . * Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hoán. (Bạn đọc tự kiểm chứng). 2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục. a. Tích của hai phép đối xứng có trục song. Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là song song với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ có phương vuông góc với hai trục, có hướng từ và và có môđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó. Chứng minh: Gọi Đa và Đb là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song. Với điểm M bất kì ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm của MM’ thì và . Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì và . Vậy Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng vuông góc với a và b, đồng thời vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm M và vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vuông góc với a và b, có độ dài bằng khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ không đổi vì nó luôn vuông góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đa và Đb biến điểm M thành điểm M’’ với chính là phép tịnh tiến theo vectơ . b a Do đó: ĐbĐa= * Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này không có tính chất giao hoán. Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có trục song song. b. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau tại O là một phép quay tâm O góc quay bằng 2 lần góc giữa hai đường thẳng a và b. Chứng minh: Gọi Đa và Đb là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi M’ = Đa(M), M’’ = Đa(M’) Như vậy tích Đb Đa biến điểm M thành M’’ Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’b Ta có Do đó Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b. Góc này xác định sai khác một bội số của . Dó đó nếu thì Ngoài ra OM = OM’ = OM’’. Nếu M O thì tích ĐbĐa biến O thành O. Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một góc là một phép quay tâm O với góc . Nhận xét: i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vuông góc tại O là phép đối xứng tâm O. ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau. (Bạn đọc tự kiểm chứng) 2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm: Tích của hai phép đối xứng tâm I1, I2 (I1I2) theo thứ tự là phép tịnh tiến theo véctơ Chứng minh: Gọi Đ và Đ là hai phép đối xứng tâm I1, I2. Với điểm M bất kỳ Giả sử Đ(M) = M’ Đ(M’) = M’’ Ta có Vậy 2.4 – Tích của hai phép quay: a. Tích của hai phép quay cùng tâm. Tích của hai phép quay là một phép quay Chứng minh: Gọi là hai phép tâm O góc quay và phép quay tâm O góc quay với mỗi điểm M bất kì Giả sử Ta có Và Vậy b. Tích của hai phép quay khác tâm: Phân tích: Giả sử Qua O1,O2 lần lượt kẻ đường thẳng d1, d2 sao cho . Đặt = (ĐĐ)(ĐĐ) = Đ(ĐĐ)Đ = Đ Đ (Vì tích ĐĐ là phép đồng nhất) Nếu d1 // d2 thì f là một phép tịnh tiến Nếu d1 cắt d2 thì f là một phép quay. Tóm lại: Tích của hai phép quay hoặc là một phép quay hoặc là một phép tịnh tiến. 2.5 – Tích của hai phép vị tự. a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm. Tích của hai phép vị tự là một phép vị tự Chứng minh. Giả sử: , M bất kì Ta có Vậy Nhận xét: Nếu thì tích đó là một phép đồng nhất. b. Tích của hai phép vị tự khác tâm. Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay phép đồng nhất. Chứng minh: Giả sử có hai phép vị tự Với hai điểm bất kỳ A, B ta có với với Do đó Vậy tích là Phép vị tự nếu Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu * Cách xác định tâm vị tự O của tích Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O1O2 Giả sử ta có (1) Khi đó (vì ) Nên (2) Nhưng Do đó Theo (1) với Nên (*) Vì đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*) Vậy: Nếu thì là một phép vị tự tâm O được xác định bởi hệ thức (*), tỉ số . Nếu thì , do đó là một phép tịnh tiến nếu và là phép đồng nhất nếu . 2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến . Đặt Đd. a) Nếu Kẻ đường thẳng d1 thỏa Khi đó ĐdĐd Suy ra Đd Đd(ĐdĐd) = Đd Vậy tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến , vuông góc với trục đối xứng d là một phép đối xứng trục. b) Nếu không vuông góc với d Phân tích Trong đó Đd= Đd() = (Đd (với d1 được xác định như trường hợp a) Ta gọi tích của một phép tịnh tiến và phép đối xứng trục Đd , với là một phép đối xứng trượt. Kí hiệu: Đ. Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hoán nghĩa là: ĐdĐd 2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục. Giả sử Đd Kẻ d1, d2 thỏa: d1 cắt d2 tại O Khi đó: Đd = Đd(ĐdĐd) = (ĐdĐdĐd) = Đd Nếu thì g là phép đối xứng trục. Nếu không vuông góc với d1 thì g là phép đối xứng trượt. 2.8 – Mở rộng. a. Tích của một số chẵn các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. b. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục. c. Tích của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép quay. d. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là một phép đối xứng trục. e. Tích của hai phép đối xứng trượt có trục song song là một phép tịnh tiến. f. tích của ba phép đối xứng trục bất kì là một phép đối xứng trượt. * Tích của một phép dời hình và một phép vị tự là phép đồng dạng. Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước. Một điểm M di động trên (O; R). Gọi N là trung điểm của đoạn AM. Dựng hình bình hành ABCN. Xác định phép biến hình điểm M thành C và chứng tỏ rằng tập hợp các điểm C là một đường tròn có bán kính xác định. Giải. Ta có Vậy Mặt khác: Vậy Do đó : Vậy phép đồng dạng là tích của một phép vị tự và một phép tịnh tiến biến M thành C. Vì N chạy trên đường tròn bán kính nên C cũng chạy trên đường tròn bán kính . Bài 2 : Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. S(ABC), thay đổi. I, J, K lần lượt là đối xứng của S qua M, N, P. a) Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy tại một điểm S’. b) Tìm quỹ tích điểm S’. Giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Xét tích Suy ra I, J, K lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm S’, tỉ số . Vậy AI, BJ, CK đồng quy tại S’ b) Ta có Vậy S’ thuộc đường tròn ảnh của (ABC) qua . * Bài tập tự giải Bài 1: cho hai đường tròn (O), (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d, điểm M thay đổi trên d. từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến (O). Hai đường thẳng AN, AP lần lượt cắt (O’) tại N’, P’. Chứng minh rằng đường thẳng N’P’ luôn qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d. Bài 2: Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho. Trong đó hai đỉnh của hình vuông nằm trên một cạnh, hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác đó. Bài 3 : Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân ABP và ACQ tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác MPQ là tam giác vuông cân. Bài 4: Cho hai đường tròn cố định (O1), (O2) ngoài nhau. Đường tròn (O3) thay đổi tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại M và N. Cho biết bán kính của (O1), (O2) không bằng nhau. Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định. Bài 5: Cho hình thanh ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD = 2CD. M là điểm thay đổi trên cạnh CD. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt BC tại N. Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đường thẳng cố định. Tài liệu tham khảo: 1. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 2. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục. 3. Văn Như Cương, Trần Phương Dung, Phan Thị Minh Nguyệt, 2007, Câu hỏi trắc nghiệm khách quan và bài tập tự luận Hình học 11, NXB Giáo dục. 4. Nguyễn Mộng Hy, 2004, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Hình học 11, NXB Giáo dục. 6. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục. 7. Đỗ Thanh Sơn, 2006, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục. 8. Lê Ngô Hữu Lạc Thiện, 2007, Bài tập hình học sơ cấp 9. Lê Thị Hoài Châu, 2004, Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học phổ thông, NXB Đại học quốc gia tp Hồ Chí Minh.