Chuyên đề :Tìm giá trị c ủa tham số m để phương trình f(x) = m có nghiệm

TRẦN ĐỨC NGỌC – 0985128747 * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 1 Chuyên đề 5: PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chuyên đề:Tìm giá trị của tham số m để phƣơng trình f(x) = m có nghiệm 1/Các bƣớc giải bài toán:Tìm giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m (1) có nghiệm Bƣớc 1: Nêu tập xác định của phương trình,giả sử x D. Bƣớc 2 : Đặt ẩn phụ t = g(x) (nếu cần)-Tìm điều kiện thích hợp đối với ẩn phụ t . Thực chất ở bước này là tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) .Chẳng hạn: t ,Với x D Bƣớc 3: -Biến đổi đưa phương trình đã cho thành phương trình ẩn t .Ta gọi là phương trình (2) - Lập luận:Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x D tương đương tìm m để phương trình (2) có nghiệm t Bƣớc 4: Tiến hành tìm m để phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn t . - Phương trình f(t) = m có nghiệm t Khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(t) Tức là : Minf(t) m Maxf(t) Với t . Nghĩa là ở bước này ta lại phải tìm gtln,gtnn của hàm số y = f(t) ứng với t * Đối với những bài toán không cần phải đặt ẩn phụ thì tất nhiên không có hai bước 2 và 3. Sau khi nêu tập xác định của phương trình,tiến hành:Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm x D. -Tìm tập giá trị của hàm số y = f(x). -Để phương trình f(x)=m có nghiệm ,điều kiện: m phải thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) . 2/Ví dụ : Bài toán 1 : (Thi chọn giáo viên giỏi Trường THPT Tân Kỳ I – năm học 2008-2009 ) Cho phương trình : + + 2 + 5 – m = 0 (1) 1)Giải phương trình với m = 17 2) Tìm giá trị thực của m để phương trình (1) có nghiệm Hƣớng dẫn : 2) .Tìm m để phương trình (1) có nghiệm : -Điều kiện - 2 x 6 - Đặt t = + Thì ta có: 2 ) t 4 (Để có kết quả này ,có thể dùng bđt côsy,có thể dùng Bđt Bunhiacopxky, có thể dùng công cụ đạo hàm để tìm gtln, gtnn của hàm số t = g(x) = + ) Nghĩa là “Kính thưa các kiểu”.Làm theo cách nào cũng được, miễn làm sao nhanh chóng đi đến kết quả . -Phương trình trở thành: f(t) = t2 + t - 3 = m (2) - Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn - 2 x 6 tương đương Tìm m để phương trình (2) có nghiệm t thỏa mãn 2 ) t 4 -Ta tìm được gtln, gtnn của hàm số y = f(t) = t2 + t – 3 ứng với 2 ) t 4 . - Hàm số y = f(t) đồng biến trên . Do đó gtnn Minf(t) = f(2 ) = 5 + 2 và gtln Maxf(t) = f(4) = 17.Suy ra: Để phương trình đã cho có nghiệm, điều kiện : 5 + 2 ) m 17 Bài toán 2 :Tìm giá trị của m để phương trình : x +1 – m. = 0 (1) có nghiệm Hƣớng dẫn : -Tập xác định của phương trình : - Viết phương trình thành : f(x) = = m (2) - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, suy ra kết quả Bài toán 3 : Tìm giá trị thực của m để phương trình : cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 (1) có nghiệm x TRẦN ĐỨC NGỌC – 0985128747 * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 2 Hƣớng dẫn : Cách giải 1 :-Đặt t = cosx , ta có x thì 1 ( Nhiều người nhầm đk của t .Hãy vẽ vòng tròn lượng giác, thì thấy ngay đk của t như trên.) -Ta có pt ẩn t : f(t) = 2t2 + 6t + 1 = 2m (2) - Phương trình (1) có nghiệm x khi và chỉ khi pt (2) có nghiệm t thỏa mãn 1 - Hàm số y = f(t) = 2t2 + 6t + 1 đồng biến với: 1 Do đó: Minf(t) = f( ) = và Maxf(t) = f(1) = 9. -Suy ra pt có nghiệm khi và chỉ khi : 9 Tức là : Cách giải 2 : Phương trình cos2x + 6cosx + 2(1 – m) = 0 -Viết thành : f(x) = cos2x + 6cosx + 2 = 2m . -Tính đạo hàm,Thấy:f‟(x) = - 2sin2x – 6sinx = -2sinx.(3 + 2cosx) = 0 khi x = 0 ( Nhớ là x ) f‟(x) 0 khi x và f‟(x) 0 khi x -Như vậy trên đoạn: x hàm số chỉ có một cực đại và không có cực tiểu Do đó : Maxf(x) = ycđ = f(0) = 9 và Minf(x) = Min = f ( ) = . ( Vì ta có f( ) = + 3 f( ) = ) -Suy ra :Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : : 9 Tức là : Chú ý : Nếu bài toán 3 có thêm câu :Giải phương trình khi m = m0 (Với m0 là giá trị đã cho ) thì phải giải cách1, không nên giải như cách giải 2 Bài toán 4:Tìm giá trị của m R để phương trình: x2 + cosx2 – (m + 1) = 0 có nghiệm x Hƣớng dẫn : -Viết phương trình thành f(x) = x2 + cosx2 – 1 = m - Tính đạo hàm: f‟(x) = 2x – 2x.sinx2 = 2x ( 1 – sinx2 ) .Thấy f‟(x) 0 , x . - Suy ra :Trên hàm số đồng biến. Do đó : Minf(x) = f(0) = 0 và Maxf(x) = f( ) = + cos – 1 = + – 1 = Suy ra : Phương trình có nghiệm x Khi và chỉ khi 0 m Chú ý: Từ việc giải bài toán :Tìm m để phương trình f(x) = m có nghiệm, x Có thể suy ra cách giải bài toán tìm giá trị của m để phương trình f(x) = m không có nghiệm x (a;b) -Phương trình f(x) = m không có nghiệm x (a;b) Khi m không thuộc tập giá trị của hàm số ứng với x (a;b) -Chẳng hạn ở bài tập 4, Thay câu hỏi thành ;Tìm m để phương trình không có nghiệm x Thì kết quả : m không thuộc ( Tức là m 0 hoặc m ) TRẦN ĐỨC NGỌC – 0985128747 * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 3 BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 1/ Xác định m để pt sau có nghiệm: m( – +2) = 2 + – (1) Hd: t = – đk: -1 x 1 thì 0 t ,ta có t2= 2 - 2 nên = Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t2 + t Hay là f(t) = = m (2) -Tìm Max ,Min của f(x) trên .Đk Min f(x) m Max f(x) 2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x (1) Hd: x - Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) = = m (2) -Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(- ) = 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 243 1 1 2 1x m x x (1) Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho được : 3( )2 + m = 2. - Đặt t = ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t2+ 2t = m (2) - Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1. Đkiện Minf(x) Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn hàm số f(t) có Max= f( và không có Min Do đó suy ra : f(1) m f( ) Tức là : - 1 m (chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1) 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2)x x m x (1) Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2)2 + 6(x-2) = . (2) -P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0 Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t2 + 2 (Do t = ) 5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2( 1)(3 ) 2 3x x x x m (1) Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành = + 3m + 3 . Đặt t = Thì 0 Ph/trình trở thành : - t2 + t = 3m + 3 f(t) = - t2 + t - 1 = m (2) -P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0 - Ta có trên :Maxf(t) = f( ) = - ; Minf(t) = f(2) = - .Do đó p/trình có nghiệm khi: - m - 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 2 24 5 4x x m x x (1) Hd: txđ: R Viết p/trình : x2 – 4x + 5 + - 5 = m .Đặt t = (*) , t 1. -Ta có p/trình : f(t) = t2 + t – 5 = m (2) - P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó suy ra : m f(1) = - 3 m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm . 7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 6 (3 )(6 )x x x x m (1) TRẦN ĐỨC NGỌC – 0985128747 * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 4 Hd: Đkiện: – 3 x Đặt t = thì 0 t ; Ta có : = . Do đó ta có pt : f(t) = t2 – t - = m (2) -Để pt (1) có nghiệm : – 3 x thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t .Tức là Minf(t) m Maxf(t) .Với 0 t . Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f( = .Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 44 13 1 0x x m x (1) Hd: -Viết pt thành = 1 – x .Đkiện : x 1 - Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x4 – 13x + m = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 Hay là f(x) = – 4x3 + 6x2 + 9x + 1 = m . (2) -Tính đạo hàm f „(x) = - 12x2 +12x +9 = 0 khi x1 = - , x2= ..(Lập bảng biến thiên) - Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : = 3 - x Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x2 + mx = x2 – 6x + 9 - x2 - 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) = = m f(x) = - x – 6 + = m ,có f „(x)= -1- 0 với Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : mxxxx 11 22 Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) = - để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 32 21 2 1x x m (1) Hd: Đkiện: – 1 x .Đặt t = thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t3 + 2t2 = m (2) -Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1 . - Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả. 12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 341 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m 13/ Xác định m để pt sau có nghiệm: + = + m (1) Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t = + thì 0 t 3 .Vì t2 = 9 + 2 = Ta có ptrình : t = + m . Hay là f(t) = - + t + = m (2) -Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t 3 -Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên .Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm . 14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9x –2(m -2)3x + m – 1=0 (1) Hd: Txđ : R . -Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m = m = .(*) Suy ra :- Đk cần : m 0 . TRẦN ĐỨC NGỌC – 0985128747 * GV TRƢỜNG THPT TÂN KỲ I – NGHỆ AN 5 -Đk đủ:Từ pt (*) có = (vì ) - Vậy m thì pt có nghiệm 15/Cho phương trình : với m là tham số. (1) - Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t2 - = m (2) - Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên thì Minf(t) m Maxf(t) . – Ta có f „(t) = 2t + 0 với mọi t thuộc Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3. -Vậy -1 thì pt có nghiệm 16/ Cho phương trình : = 0 (1) a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b)Giải phương trình với m=32 Hd: -Đặt t = 2x, t 0 Viết pt thành f(t) = t2 – 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho một giá trị x .( x = suy ra từ t = 2x ) – Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0 (Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương ) - Đón đọc kỳ tới với chủ đề :Tìm giá trị của tham số m R để Bất phương trình: f(x) m ; f(x) m ; f(x) m ; f(x) m có nghiệm x