Chuyên đề Tìm hiểu về xung quanh vài bài toán thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH – QUẢNG NAM TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008 acac & acac CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B = . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp " ( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 ) Tìm hiểu lời giải bài toán : Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có : Từ giả thiết : 2A+ 3B = với A,B,C là 3 góc tam giác ta suy ra : c2 - ac - b2 = 0 Bài toán được phát biểu lại : " a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “ Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c2 - b2 = ac ta suy ra : c > a , c> b + Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp Þ a = n , b = n +1 , c= n +2 ( n Î N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1)2 = n.(n+2) Þ 2n + 3 = n2 + 2n Þ 3 = n2 (!) + Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp Þ b = n , a = n +1 , c= n +2 ( n Î N*) , kết hợp với c2 - b2 = ac suy ra (n+2) 2 – n2 = (n+1).(n+2) Þ 4n + 4 = n2 + 3n +2 Þ n2 -n -2 = 0 Þ n = 2 , n = -1 ( loại ) Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4 Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = . a/ Chứng minh a + b c b/ Chứng minh 10 c 9a + 6b VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < ( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.) Lời giải khác với đáp án VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#) ( Bu nhia cốp xki ) = ( bđt Cô si ) Bất đẳng thức được chứng minh . ¨ Khai thác lời giải: + Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < " + Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x ,... ) ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x < " + Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x < " BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ? Bài tuán : a,b,cÎ (0,1] -chứng minh : (đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh . Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ : (bđt Cô Si ) Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu : ³ (¨ ) Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c” Đặt S = a+b+c , 0 < S £ 3 . Bất đẳng thức (¨ ) viết lại : (©) . Vì 3-S ³ 0 , để chứng minh (©) ta chứng minh : 9 - S(3-S)2 ³ 0 với 0 <S £ 3.. Ta có : S(3-S)2 = (bất đẳng thức Cô si) Þ 9 - S(3-S)2 ³ 9 - 4 > 0 Þ.(©) được chứng minh Þ bất đẳng thức (¨ ) được chứng minh Þ bất đẳng thức ban đầu được chứng minh . Dấu '' = ''xảy ra Û1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 Û a = b = c =1 acac & acac acac & acac acac & acac