Chuyên đề tổ hợp và xác suất tổ hợp và nhị thức newton

Võ Thanh Bình: 0917.121.304 CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT TỔ HỢP VÀ NHỊ THỨC NEWTON I) TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A/ TẬP HỢP - Ở THPT ta sử dụng khái niệm tập hợp theo nghĩa trực quan, gồm có những đối tượng nhóm lại theo một tính chất nào đó. Mỗi đối tượng trong tập hợp được gọi là một phần tử. Nếu tập hợp không có phần tử nào, gọi là tập rỗng được kí hiệu là  . - Số tập con không tính tập rỗng là: 2 1n  với n là số phần tử của tập hợp đó. - Mỗi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B và ngược lại ta nói tập A và B bằng nhau. Kí hiệu A B . - Bản thân tập A và  đều là tập con của A. nếu một tập nào khác A và  thì gọi là tập con thật sự của A. Nếu tập B có các phần tử thuộc tập A thì ta nói tập B là con của tập A. Kí hiệu B A hoặc A B . - Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập hợp. Kí hiệu B A . - Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp. Kí hiệu B A . - Hiệu A trừ B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Kí hiệu \A B . Nếu B A và \A B được gọi là phần bù của B trong A. kí hiệu B . - Kí hiệu A là số phần tử của A. - Nếu A B A B A B      - Nếu A B A B A B A B        Ứng dụng: 1) Một lớp học sinh giỏi có: 22 học sinh gỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn, 7 học sinh giỏi cả 2 môn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn. Giải: Gọi A tập hợp học sinh giỏi Toán 22A  . B là tập hợp học sinh giỏi Văn 13B   học sinh giỏi cả hai môn là: 7A B  . Vậy số học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn là: 22 13 7 28A B A B A B         (hs). 2) Trong một bài kiểm tra toán có hai bài toán. Trong cả lớp có 30 em làm được bài thứ nhất và 20 em là được bài thứ hai. Chỉ có 10 em làm được cả hai bài toán trên. Hỏi trong lớp đó có bao nhiêu học sinh. Giải: Đặt A={số học sinh làm được bài thứ nhất} | | 30A  B= {số học sinh làm được bài thứ hai} | | 20B  Khi đó: A B  {số học sinh làm được cả hai bài toán} | | 10A B   Số học sinh trong lớp chính là số phần tử của tập A B . Áp dụng (*) ta có được | | | | | | | | 30 20 10 40A B A B A B         Vậy lớp có 40 học sinh. B/ QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Võ Thanh Bình: 0917.121.304 1/ Quy tắc cộng: giả sử một công việc có thể tiến hành theo hai phương án A hoặc B. Phương án A: có m cách thực hiện. Phương án B: có n cách thực hiện. Vậy: S m n  . ( hiểu: nếu ta chọn phương án A thì ta không chọn B hoặc ngược lại, ta gọi là trường hợp lấy này thì bỏ kia nên ta dụng quy tắc cộng). 2/ Quy tắc nhân: giả sử một công việc có thể tiến hành theo hai giai đoạn A và B. Phương án A: có m cách thực hiện. Phương án B: có n cách thực hiện. Vậy: .S m n . ( hiểu: để thực hiện công việc ta phải thực hiện liên tiếp các giai đoạn. nên ta dùng quy tắc nhân). Ví dụ 1: Ta có 8 cuốn sách khác nhau, trong đó có 3 sách Toán, 3 sách Lý và 2 sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: a) một cuốn sách. b) Hai cuốn sách. c) Hai cuốn sách khác môn. d) Hai cuốn sách cùng môn. Giải: a) để thực hiện chọn một cuốn sách bất kỳ ta có 3 cách chọn cho một cuốn sách Toán, hoặc 3 cách chọn cho một cuốn sách Lý hoặc 2 cách chọn cho một cuốn sách Hóa. Vậy số cách chọn một cuốn sách là : 3 3 2 8S     cách. b) để thực hiện chọn hai cuốn sách ta thực hiện hai giai đoạn. giai đoạn đầu ta chọn 1 cuốn trong 8 cuốn nghĩa là có 8 cách chọn. giai đoạn sau ta chọn 1 cuốn trong 7 cuốn ( trừ đi cuốn đầu ta đã chọn rồi). vậy số cách chọn hai cuốn là: 8.7 56S   cách. c) chọn 2 cuốn khác môn ta có 3 trường hợp TH1: Toán và Lý : 1 3.3 9S   cách. TH2: Toán và Hóa: 2 3.2 6S   cách. TH3: Lý và Hóa: 3 3.2 6S   cách. Vậy : 9 9 6 24S     cách. d) chọn 2 cuốn cùng môn ta có 3 trường hợp TH1: chọn 2 sách Toán: 1 3.2 6S   cách. TH2: chọn 2 sách Lý: 1 3.2 6S   cách. TH3: chọn 2 sách Hóa: 1 2.1 2S   cách. Vậy : 6 6 2 14S     cách. Ví dụ 2: từ thành phố A đến thành phố C sẽ qua thành phố B. có 4 con đường đi từ A đến B, 3 con đường đi từ B đến C. Hỏi có bao nhiêu cách đi tứ A đến C rồi về A. biết: a) đi tùy ý. b) Đi và về trên hai con đường khác nhau. Giải: a) Giai đoạn 1: đi từ A đến B có 4 cách. Giai đoạn 2: Từ B đến C có 3 cách đi. Giai đoạn 3: Đi từ C về B có 3 cách. Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Giai đoạn 4: đi từ B về A có 4 cách. Vậy : 4.3.3.4 144S   cách. b) Giai đoạn 1: đi từ A đến B có 4 cách. Giai đoạn 2: Từ B đến C có 3 cách đi. Giai đoạn 3: Đi từ C về B có 2 cách. ( vì trừ đi con đường đã đi ở giai đoạn 2). Giai đoạn 4: đi từ B về A có 3 cách. ( vì trừ đi con đường đã đi ở giai đoạn 1). Vậy : 4.3.2.3 72S   cách. Ví dụ 3: có 2 công ty du lịch A và B. công ty A có 5 xe khách, công ty B có 7 xe khách. Một người đi du lịch muốn khi đi thì xe của công ty này, khi về thì xe của công ty kia. Hỏi có bao nhiêu cách đi như thế? Giải: Có 2 trường hợp. Th1: đi xe của công ty A, về xe của công ty B: 1 5.7 35S   cách. Th2: đi xe của công ty B, về xe của công ty A 2 7.5 35S   cách. Vậy: 1 2 70S S S   cách. Ví dụ 3: cho tập hợp {1,2,3, 4,5,6}A  . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ tập hợp A. Giải: gọi số cần tìm có dạng: abc (các chữ số không nhất thiết phải khác nhau) Gđ 1: Chọn {1,2,3, 4,5,6}a  nên có 6 cách chọn a. Tương tự Gđ 2: chọn b cũng có 6 cách và Gđ 3: chọn c có 6 cách. Vậy 36.6.6 6 216S    số. Ví dụ 4: cho tập hợp {1,2,3, 4,5,6}A  . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau (đồng nghĩa các chữ số đều khác nhau) lập từ tập hợp A. Giải: gọi số cần tìm có dạng: abc (cách chữ số khác nhau). Chọn a có 6 cách, chọn b cũng có 5 cách (trừ đi một chữ số đã được chọn ở a) và chọn c có 4 cách (trừ đi một chữ số đã được chọn ở a và ở b). Vậy 6.5.4 120S   số. Ví dụ 5: cho tập hợp {1,2,3, 4,5,6}A  . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên M gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ tập hợp A biết: a) chọn tùy ý. b) M là số chẳn. c) M là số lẽ. d) M chia hết cho 5. e) M có chữ số tận cùng là 4. f) M có chữ số đầu là 21. g) M lớn hơn 3000. h) M  2000,4000 . i) M nhỏ hơn 3256. Giải: gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau). a) giải tương tự VD4. ta có 6.5.4.3 360S   số. b) M là số chẳn nên {2,4,6}d  d có 3 cách chọn. tiếp tục thực hiện chọn a có 5 cách, chọn b có 4 cách, chọn c có 3 cách. Vậy 3.5.4.3 180S   số. c) Tương tự giải giống như trên với M lẻ. Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Cách khác: ( sử dụng phần bù của tập hợp hay còn gọi là phương pháp lựa thóc). M là số có 4 chữ số khác nhau: 1 6.5.4.3 360S   số. M là số có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn: 2 3.5.4.3 180S   số. Vậy giá trị cần tìm là: 1 2 180S S S   số. Nhận xét: giả sử C A B  . Ta cần tìm B. nhưng vì lý do nào đó ta đã có C và A nên tìm B C A  . d) M chia hết cho 5 nên {5}d  d có 1 cách chọn. tiếp tục thực hiện chọn a có 5 cách, chọn b có 4 cách, chọn c có 3 cách. Vậy 1.5.4.3 60S   số. e) Theo giả thuyết M có dạng: 4abc (cách chữ số khác nhau). Có 5 cách chọn a, 4 cách chọn b và 3 cách chọn c. Vậy 5.4.3 60S   số. f) Theo giả thuyết M có dạng: 21cd (cách chữ số khác nhau). Có 4 cách chọn c và 3 cách chọn d. Vậy 4.3 12S   số. g) theo giả thuyết 3000abcd  do đó: {3, 4,5,6}a  a có 4 cách chọn. tiếp tục có 5 cách chọn b, 4 cách chọn c và 3 cách chọn d. Vậy 4.5.4.3 240S   số. h) theo giả thuyết 2000 4000abcd  do đó: {2,3}a  a có 2 cách chọn. tiếp tục có 5 cách chọn b, 4 cách chọn c và 3 cách chọn d. Vậy 2.5.4.3 120S   số. i) theo giả thuyết 3256abcd  Th1: 3, 2, 6a b c   thì d có 3 cách chọn ( trừ a,b,c). 1 3S  (số) Th2: 3, {3,4,5,6}a b b   có 4 cách chọn, thì c có 4 cách chọn (trừ a,b) và d có 3 cách chọn ( trừ a,b,c). 2 4.4.3 48S   (số). Th3: {4,5,6}a a  có 3 cách chọn, lúc đó b có 5 cách chọn (trừ a), thì c có 4 cách chọn (trừ a,b) và d có 3 cách chọn ( trừ a,b,c). 3 3.5.4.3 180S   (số). Vậy 1 2 3 3 48 180 231S S S S       (số). Ví dụ 6: cho tập hợp {0,1,2,3,4,5,6}A  . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên M gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Giải: gọi số cần tìm có dạng: abcd (cách chữ số khác nhau). Cách 1: do 5abcd  Th1: 0d  a có 6 cách chọn ( trừ d). b có 5 cách chọn ( trừ d,a) c có 4 cách chọn ( trừ d,a,b). 1 6.5.4 120S   (số). Th2: 5d  a có 5 cách chọn ( trừ d, 0). b có 5 cách chọn ( trừ d,a) c có 4 cách chọn ( trừ d,a,b). Vậy 2 5.5.4 100S   (số). Vậy: 1 2 120 100 220S S S     (số). Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 7: có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn? Giải: Giả sử số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a Gọi {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A  Theo giả thuyết 1 2 3 4 5 6 7 2a a a a a a a       nên với mỗi số 1 2 3 4 5 6a a a a a a ta chỉ có 5 số có tổng là số chẳn.( 5 số còn lại có tổng là số lẻ). 1 \ {0}a B  có 9 cách chọn a. 2 3 4 5 6, , , ,a a a a a B  có 10 cách chọn một chữ số. Vậy: 55.9.10 4500000S   (số). C/ GIAI THỪA Cho {1,2,3, 4,..., }A n Số các hoán vị của các phần tử trong tập hợp A bằng n! (đọc là giai thừa của n). Ta có: ! 1.2.3.....n n với n N . Thí dụ 5! 1.2.3.4.5 120  . Người ta qui ước 0! 1 . Ngoài ra ta còn có công thức lùi của giai thứa: ! .( 1).( 2)...( )!n n n n n k    thí dụ 8! 8.7.6! 56 6! 6!   Ví dụ 1: Tính: 7 !4! 8 ! 9! 10! 3!5! 2!7 ! A        Giải: Ta có: 7 !4 ! 7 !.1.2.3.4 1 10! 10.9.8.7 ! 30    8 ! 8.7.6.5! 56 3!5! 1.2.3.5!    9! 9.8.7 ! 36 2!7 ! 1.2.7 !    Vậy  1 256 36 30 3 A    Ví dụ 2: giải phương trình ! ( 1)! 1 ( 1)! 6 x x x    Giải: Đk: 1 * x x N    . PT đã cho tương đương: .( 1)! ( 1)! 1 ( 1). .( 1)! 6 x x x x x x       ( 1)! 1 1 ( 1). .( 1)! 6 x x x x x         21 21 5 6 0 3( 1). 6 x x x x xx x            . Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 3: giải bất phương trình ( 4)! 15 !( 2)! ( 1)! n n n n    (*) Giải: Đk: 1 * n n N    . (*) ( 4)( 3)( 2)! 15 ( 1)!( 2)! ( 1)! n n n n n n n       2( 4)( 3) 15 8 12 0 2 6n n n n n n           Do * {3, 4,5}n N n   . D/ HOÁN VỊ 1/ Hoán vị không lặp: - cho tập hợp A gồm n phần tử. sắp xếp n phần tử này thành một dãy (không kín) thì ta gọi nó là hoán vị của tập hợp A. kí hiệu: !nP n (*). Chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp toán học. Với 1n  ta có 1{ }A a thì có một cách sắp xếp các phần tử A thành một dãy. Mặt khác 11! 1 1!P    định lí đúng với 1n  Giả sử định lí cũng đúng với 1n k  . Tức là !kP k . Xét tập A gồm ( 1)k  phần tử, tức là: 1 2 3 1{ , , ,..., , }k kA a a a a a  . Vì tập A có ( 1)k  phần tử nên sẽ có ( 1)k  cách chọn phần tử đầu tiên, ứng với cách chọn phần tử đầu tiên ta có k cách chọn cho phần tử kế Theo giả thiết quy nạp, có !k cách sắp xếp k phần tử này. Do đó : ( 1). ! ( 1)!k k k   cách sắp xếp ( 1)k  phần tử của tập A. tức là định lí đúng với 1n k  Vậy: !nP n (đpcm). - cho tập hợp A gồm n phần tử. sắp xếp n phần tử này thành một mạch khép kín thì ta gọi nó là hoán vị của tập hợp A. kí hiệu: ( 1)!nP n  vì trừ đi một phần tử luôn đặt ở vị trí cố định. Ví dụ 1: cho {1,2,3}A  . Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được lập từ tập A. Giải: Số có 3 chữ số cần tìm được lập từ 3 phần tử trong tập A nên là hoán vị 3 3! 6P   (số) Các số đó là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ví dụ 2: cho {0,1,2,3, 4}A  . Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập A và số đó là số chẳn. Giải: Cách 1: TH1: số cần tìm có dạng 0abcd . Vị trí a,b,c,d được lấy từ 4{1,2, 3,4} 4! 24P   (số). TH2: số cần tìm có dạng abcde . Do abcde chẳn nên {2,4}e e  có 2 cách chọn. ứng với cách chọn e ta chọn {1,2,3}a a  có 3 cách chọn ( trừ 0 và e) . ứng với cách chọn e,a ở Vị trí b,c,d được lấy từ 3 phần tử còn lại ( trừ đi e và a) 3 3! 6P   cách chọn b,c,d. 2 2.3.6 36S   (số) Vậy 24 36 60S    (số). Cách 2: (pp lựa thóc) Võ Thanh Bình: 0917.121.304 - chọn a tùy ý ( tức là a có thể là 0). số cần tìm có dạng abcde . Do abcde chẳn nên {0,2,4}e e  có 3 cách chọn. ứng với cách chọn e ta chọn vị trí a,b,c,d được lấy từ 4 phần tử còn lại ( trừ đi e) 4 4! 24P   cách chọn a,b,c,d. 1 3.24 72S   (số). - chọn a là 0. tức là số cần tìm có dạng 0bcde . Do 0bcde chẳn nên {2,4}e e  có 2 cách chọn. ứng với cách chọn e ta chọn vị trí b,c,d được lấy từ phần tử còn lại ( trừ đi e và 0 chọn lúc đầu) 3 3! 6P   cách chọn b,c,d. 2 2.6 12S   (số). - vậy: 1 2 72 12 60S S S     (số). Ví dụ 3: có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh vào : a) một dãy ghế 5 cái. b) Một bàn tròn. Giải: a) sắp xếp 5 học sinh vào dãy ghế 5 cái (không kín) nên ta có hoán vị 5 5! 120P   cách. b) Sắp xếp 5 học sinh vào bàn tròn (mạch kín). Chọn một học sinh ở vị trí cố định. Còn 4 học sinh ta hoán vị được 4 4 ! 24P   cách. Ví dụ 4: có 5 học sinh A, B, C, D, E. hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh đó vào một dãy 5 ghế. Biết: a) sắp xếp tùy ý. b) C không ngồi ở vị trí đầu và cuối dãy. c) A,B ngồi cạch nhau. d) A,B không ngồi cạnh nhau. Giải: a) tương tự VD3. ta có: 5 5! 120P   cách. b) Gđ 1: C không ngồi ở vị trí đầu và cuối dãy. Nên có 3 cách sắp vị trí cho C. Gđ 2: 4 vị trí còn lại được sắp xếp bởi 4 học sinh A,B,D,E nên 4 4 ! 24P   Vậy 3.24 72S   cách. c) Ta có 8 trường hợp A, B ngồi cạnh nhau. ứng với mỗi trường hợp có 3 6P  cách sắp xếp C,D,E. Vậy 8.6 48S   cách. d) - sắp xếp 5 học sinh tùy ý: 5 5! 120P   cách. - sắp xếp 5 học sinh sao cho A,B ngồi cạnh nhau: 48 cách. - Vậy sắp xếp 5 học sinh sao cho A,B không ngồi cạnh nhau: 120 48 72  cách. Ví dụ 5: Có 12 cuốn sách khác nhau, trong đó gồm 3 sách Toán, 4 sách Lý và 5 sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp lên một kệ sách đủ 12 cuốn, biết: a) sắp tùy ý. b) Cách cuốn cùng môn ở cạnh nhau. Giải: a) 12 12!P  cách. b) chúng ta có 3 môn 3 3!P  cách sắp các môn. ứng với cách xếp trên có: 3 4 5; ;P P P lần lược số cách xếp các cuốn trong môn Toán, Lý, Hóa. Vậy 3!3!4!5!S  cách. Võ Thanh Bình: 0917.121.304 2/ Hoán vị có lặp: Có k phần tử. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp k phần tử ấy vào n vị trí ( )k n . Giả sử trong đó có phần tử 1 2,k k lặp lại a lần, b lần, cách phần tử còn lại của k có mặt một lần. Vậy số cách sắp xếp đó là: ! ! ! n a b cách. ( Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp toán học). Ví dụ 1: từ “BENZEN”. Hỏi có bao nhiêu từ không cần nghĩa được lập từ 6 ký tự trên. Giải: Từ cần tìm có 6 vị trí được lập từ 6 ký tự trên. Trong đó có “E” có mặt 2 lần, từ N có mặt 2 lần, các từ khác có mặt đúng một lần. vậy 6! 2!2!  từ. Ví dụ 2: Từ {0;1;2;3;4;5}A  có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà trong đó số 2 phải có mặt 3 lần, số 4 có mặt 2 lần và các số khác có mặt đúng một lần. Giải: - chọn a tùy ý ( tức là a có thể là 0). Theo giả thiết ta có 1 9! 3!2! S  - chọn a là 0. ta có 2 8! 3!2! S  . - Vậy 1 2S S S  . E/ CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP: 1/ Chỉnh hợp: chọn k phần tử từ n phần tử ( )k n nếu có thứ tự ta gọi là chỉnh hợp chập k của n. - chỉnh hợp không lặp: các phần tử chọn ra trong k không có phần tử nào giống nhau. Thì đây là chỉnh hợp không lặp. kí hiệu ! ( )! k n n A n k   . ( Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp toán học). - Chỉnh hợp có lặp: các phần tử chọn ra trong k có thể là các phần tử giống nhau. Thì đây là chỉnh hợp lặp. kí hiệu k kA n . ( Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp toán học). Ví dụ 1: cho bốn chữ số: 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số có 2 chữ số: a) tùy ý được lấy từ 4 chữ số trên. b) Khác nhau được lấy từ 4 chữ số trên. Giải: gọi số cần tìm có dạng: ab a) vị trí a: chọn 1 phần tử trong 4 phần tử. vị trí b: chọn 1 phần tử trong 4 phần tử ( vì b có thể giống a). => đây là chỉnh hợp có lặp chập 2 của 4. Vậy 24 16 số. b) ( do a và b khác nhau nên đây là chỉnh hợp không lặp) Chọn 2 phần tử trong 4 phần tử ( có thứ tự) là chỉnh hợp chập 2 của 4. Vậy 24 4! 12 (4 2)! A   số. Ví dụ 2: có bao nhiêu cách xếp hạng nhất, nhì, ba cho 8 vận động viên thể thao trong một cuộc thi. Biết thành tích 8 vận động viên khác nhau. Giải: Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Để xếp vào các vị trí nhất nhì ba ta chọn 3 vận động viên trong 8 vận động viên (có thứ tự). => đây là chỉnh hợp chập 3 của 8. Vậy 38 8 ! (8 3)! A   cách. 2/ Tổ hợp: chọn k phần tử từ n phần tử ( )k n nếu không cần thứ tự ta gọi là tổ hợp chập k của n. - Tổ hợp không lặp: các phần tử chọn ra trong k không có phần tử nào giống nhau. Thì đây là Tổ hợp không lặp. kí hiệu ! ! !( )! k k n n A n C k k n k    . ( Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp toán học). - Tổ hợp có lặp: các phần tử chọn ra trong k có thể là các phần tử giống nhau. Thì đây là Tổ hợp lặp. kí hiệu 1' k k n k nC C   . ( chú ý: k có thể lớn hơn n). ( Ta có thể chứng minh bằng pp quy nạp toán học). Ví dụ 1: có 8 chiến sĩ công an. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 chiến sĩ đi trực tại khu A. Giải: chọn 3 chiên sĩ trong 8 chiến sĩ (không cần thứ tự) để trực tại A, đây là tổ hợp chập 3 của 8. Vậy 38 8! 3!(8 3)! C   cách. Ví dụ 2: để khuyến khích cho các em học sinh giỏi. Nhà trường thưởng mỗi em 3 dụng cụ học tập được chọn từ: thước, viết, tập, bút chì, sách. Hỏi có bao nhiêu cách trao thưởng như thế. Giải: Mỗi học sinh được chọn 3 dụng cụ từ 5 dụng cụ ( không cần thứ tự và có thể các dụng cụ giống nhau như: chọn 2 viết và 1 tập). nên đây là tổ hợp có lặp chập 3 của 5. Vậy 3 35 7'C C  cách. F/ NHỊ THỨC NEWTON 0 1 1 2 2 2 3 3 3 0 ( ) ... n n n n n n n n k n k k n n n n n n k a b C a C a b C a b C a b C b C a b             0 1 1 2 2 2 3 3 3 0 ( ) ... ( 1) ( 1) n n n n n n n n n k k n k k n n n n n n k a b C a C a b C a b C a b C b C a b               0 1 1 2 2 0 ( 1) ... n n n n n n k n k n n n n n k x x C x C x C C C x           0 1 1 2 2 0 ( 1) ... ( 1) ( 1) n n n n n n n k k n k n n n n n k x x C x C x C C C x             0 1 2 2 0 (1 ) ... n n n n k k n n n n n k x C xC x C x C C x         0 1 2 2 0 (1 ) ... ( 1) ( 1) n n n n n k k k n n n n n k x C xC x C x C C x           Công thức pascal: 1 11 k k k n n nC C C     Chú ý: 0 1nn nC C  k n k n nC C  Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Ví dụ 1: II) CÁC DẠNG BÀI TẬP QUEN THUỘC VÀ TOÁN THI ĐẠI HỌC. A/ CÁC BÀI TOÁN ĐẾM SỐ LƯỢNG. Bài 1: Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẳn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi. Giải: Gọi {0;1;2;3;4;5;6}A  . Số phải tìm có dạng abcde  a tùy ý: Do abcde chẵn nên {0;2;4;6}e  e có 4 cách chọn. ứng với mỗi cách chọn e ta chọn 4 vị trí còn lại từ tập \A e nên ta được 46A . Vậy 4 1 64.S A  a là 0: lúc này số cần tìm có dạng 0bcde Do 0bcde chẵn nên {2;4;6}e  e có 3 cách chọn. ứng với mỗi cách chọn e ta chọn 3 vị trí còn lại từ tập \ { ,0}A e nên ta được 35A . Vậy 3 2 53.S A Vậy kết quả chúng ta có là: 4 31 2 6 54. 3 1260S S S A A     số. Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm có 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên nói trên. Giải: Số cần tìm có dạng abcde và các chữ số a,b,c,d,e {5,6,7,8,9} . Vậy 5 5! 120P   số. Trong 120 số có 60 cặp, mà mỗi cặp có tổng là: 56789 98765 155554  . Vậy tổng cần tìm : 60.15554 9333240S   Bài 3: cho 5 chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số gồm có 3 chữ số khác nhau và chúng chia hết cho 3. Giải: Những nhóm có 3 chữ số chia hết cho 3 từ 5 chữ số trên là: {1,2, 3},{1, 3,5},{2,3,4},{3,4,5} Mỗi nhóm ta có 3 3! 6P   số. Vậy 4.6 24S   số. Bài 4: Võ Thanh Bình: 0917.121.304 Võ Thanh Bình: 0917.121.304