Chuyên đề Toán 6 - Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ Chuyên đề dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. A. Lí thuyết: I./ Kiến thức cơ bản: Đặt : A = abcd a) A
2 ⇔ d { }8;6;4;2;0∈ b) A
5 ⇔ d ∈ { }5;0∈ II./ Kiến thức mở rộng. a) A
2; A
5 ⇔ d = 0 c) A
4 ⇔ cd
4 d) A
25 ⇔ cd
25 e) A
8 ⇔ bcd
8 g) A
125 ⇔ bcd
125 B. Bài tập. Bài 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125 5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800. Giải +) Các số chia hết cho 2 là: 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 7800. +) Các số chia hết cho 4 là : 1984; 1076; 3452; 7800. +) Các số chia hết cho 5 là: 1010; 7800; 6375.; +) Các số chia hết cho 8 là: 1984; 7800. +) Các số chia hết cho 125 là: 6375. Bài 2. Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để: a) x375 chia hết cho 5; cho 25; cho 125. b) 412xy chia hết cho 2; 4 Giải a) x375
5 ⇔ x ∈ { }5;0 x375
25 ⇔ x5
25 ⇔ x = 0 x375
125 ⇔ x375 ⇔ x75
125 ⇔ x = 0 b) +) 412xy
2 ⇔ với mọi x, y là các chữ số. +) 412xy
4 ⇔ 4y
4 ⇔ y ∈ { }8;6;4;2;0 Vậy với mọi chữ số x và y ∈ { }8;6;4;2;0 thì 412xy
4 Bài 3. Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số : a) Chia hết cho 4. b) Chia hết cho 8 c) Chia hết cho 25 d) Chia hết cho 125. Giải Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7 a) Các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng chia hết cho 4 nên các số phải tìm là : 6752; 7652; 2756; 7256; 5672; 6572; 2576; 5276. b) Các số chia hết cho 8 có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 nên các số phải tìm là Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ 6752; 2576 c) Các số chia hết cho 25 có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 25 nên các số phải tìm là : 7625 Bài 4 . Dùng 4 chữ số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ số đã cho chỉ lấy một lần sao cho a) Các số đó chia hết cho 2. b) Các số đó chia hết cho 5. c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5. Giải a) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là : 1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số) Các số này chia hết cho 2. Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 2 là : 5102; 5012; 1502; 1052 (4 số) Các số này cũng chia hết cho 2. Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 2 có 10 số . b) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 0 là : 1520; 1250; 2150; 2510; 5120; 5210.(sáu số) Các số đ−ợc tạo thành có chữ số tận cùng bằng 5 là : 1205; 2015; 2105; 1025 (4 số) Vậy các số tạo thành thoả mãn đề bài chia hết cho 5 có 10 số .. c) Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0. Vậy có 6 số thoả mãn đề bài vừa chia hết cho 2 , vừa chia hết cho 5. Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5. Giải * Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 2 là : 2; 4; ….98; 100. Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 2) : 2 + 1 = 50 (số) * Từ 1 đến 100 có các số chia chia hết cho 5 là : 5; 10; ….95; 100. Từ 1 đến 100 có số các số chia chia hết cho 2 là: (100 - 5) : 5 + 1 = 20 (số) Bài 6. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001 Giải a) Ta có 136 n { }181;180;;138;137 ∈ Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0 Do đó: . Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và 136 < n< 182 là: n { },170;160;150;140∈ b) Ta có 1995 n { }2000;1999;;1997;1996 ∈ Các số tự nhiên vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 có tận cùng là 0 Do đó: . Tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và 136 < n< 182 là: n { }2000∈ Bài 7. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích : a) (5n + 7)(4n +6) chia hết cho 2. Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ b) (8n + 1)(6n +5) không chia hết cho 2. c) (n + 3)(n +6) chia hết cho 2 Giải a) Ta có : (5n + 7)(4n +6) = (5n + 7) . 2 . (2n +3) . Vì 2
2 ⇒ (5n + 7) . 2 . (2n +3) ⇒ (5n + 7)(4n +6)
2 b) Ta có : (8n + 7)(6n +5) Vì ⇒8n + 7; 6n +5 là số lẻ nên (8n + 7)(6n +5) là số lẻ, do đó :k
2 (8n + 7)(6n +5) k
2 c) * Nếu n = 2k (k∈N) thì: (n + 3)(n +6) = (2k +3)(2k + 6) = (2k +3).2.(k+3) = 2(k + 3)(2k + 3) Vì 2
2 ⇒2(k + 3)(2k + 3) ⇒ (n + 3)(n +6)
2 * Nếu n = 2k + 1 (k∈N) thì: (n + 3)(n +6) = (2k + 1 +3)(2k + 1 + 6)
2 = (2k + 4)(2k + 7) = 2(k + 2)(2k + 7) Vì 2
2 ⇒2(k + 2)(2k + 7)
2⇒ (n + 3)(n +6)
2 Vậy ⇒ (n + 3)(n +6)
2 Bài 8. Chứng minh rằng: a) 94260 - 35137 chia hết cho 5. b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5 c) 5n - 1
4 (n ∈N) d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N) e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5. g) n2 + n + 6 không chia hết cho 5 Giải a) 94260 - 35137 = 9424. 15 - 35137 = )5()1()6(  =− Vì )5(
5 ⇒ 94260 - 35137
5 b) 995 - 984 + 973 - 962 = )0()6()3()6()9(  =−+− Vì )0(
2 và 5 nên 995 - 984 + 973 - 962
2 và 5 c) 5n - 1
4 (n ∈N) - Với n = 0 thì 5n - 1 = 50 - 1 = 1- 1 = 0 . Vì 0
4 nên 5n - 1
4 - Với n = 1 thì 5n - 1 = 51 - 1 = 5- 1 = 4 . Vì 4
4 nên 5n - 1
4 - Với n > 1 thì 5n - 1 = )5( - 1 = )4( . Vì )4(
4 nên 5n - 1
4 Vậy 5n - 1
4 (n ∈N) d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N) Ta có : 92n - 1 = (92)n - 1 = )1( - 1 = 0 vì 0
2 và 5 nên 92n - 1
2 và 5 (n ∈N) e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5. Ta có : n2 + n + 1 = n(n + 1) + 1. - Vì n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)
2 tức n(n + 1) là một số chẵn => n(n + 1) + 1 là một số lẻ Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ => n(n + 1) + 1 k
4 => n2 + n + 1 k
4 - Vì n(n+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 và 9 nên n(n + 1) + 1 không có tận cùng là 5, 0 => n(n + 1) + 1 k
5 => n2 + n + 1 k
5 g) n2 + n + 6 k
5 Ta có : n2 + n + 6 = n( n + 1) + 6 Vì n(n + 1) là 2 số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng có thể là 0; 2; 6 nên : n( n + 1) + 6 có tận cùng là 6; 8; 2 không chia hết cho 5 nên n2 + n + 6 k
5 Bài 9. Không làm tính hãy cho biết các số sau đây có chia hết cho 2 không? a) A = 20022001 - 20012000 b) B = 20012002 + 19992000. c) C = 1 + 33 + 34 + 35 Giải a) A = 20022001 - 20012000 = 2002 . 20022000 - 20012000 = 2.2001.20022000 - 20012000 Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012000 là một số lẻ. Do đó: 20012000 không chia hết cho 2 ⇒2.2001.20022000 - 20012000 K
2 2.2001.20022000
2 b) Tích các số lẻ là một số lẻ nên 20012002 , 19992000 là các số lẻ. Do đó: B = 20012002 + 19992000 là số chẵn => B
2. c) 1 , 33 , 34 , 35 là các số lẻ nên tổng C = 1 + 33 + 34 + 35 là một số chẵn. Do đó: C
2. Bài 10. Chứng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho 5. Giải B = 20002001 - 20012002 = 2000 . 20002000 - 20012002 vì 2000
5 => 2000 . 20002000
5 ⇒ 2000 . 20002000 - 20012002K
5 2001 K
5 ⇒20012002 K
5 ⇒ B K
5 Bài 11. Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002, B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002. Hỏi hiệu A - B có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không. Giải A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002 là: A = 2 + 4 + 6+ …+ 1998 + 2000 + 2002 Tổng A có tất cả: (2002 - 2) : 2 + 1 = 1001 số B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002 B = 1 + 3 + 5 + …+ 1997 + 1999 + 2001 Tổng B có tất cả: (2001 - 1) : 2 + 1 = 1001 số A - B = (2+4+6+ …+ 1998 + 2000 + 2002) - (1 + 3 + 5 + …+ 1997 + 1999 + 2001) = (2 -1 ) + (4 - 3) + (6 - 5) + …+ (2002 - 2001) Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ =    1 so 1001 1 1 1 1 +…+++ = 1001 Vì 1001 K
2 và 5 nên A - B K
2 và 5 Bài 12 .Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không. Giải Số lớn gấp 4 lần số nhỏ thì tổng của chúng bằng 5 lần số nhỏ , nên tổng của chúng chia hết cho 5. Mà 3456 không chia hết cho 5 nên không có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không. Bài 13. Cho a, b ∈ N . Hỏi ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không? Giải - Nếu a hoặc b là một số chẵn thì ab(a + b) là một số chẵn thì ab(a + b)
2 nên ab(a + b) k
9 - Nếu a và b là một số lẻ thì ab(a + b) là một số chẵn => ab(a + b)
2 nên ab(a + b) k
9 Vậy với a, b ∈ N thì ab(a + b k
9 Bài 14. Cho A = 13! - 11! a) A có chia hết cho 2 hay không? b) A có chia hết cho 5 hay không? c) A có chia hết cho 155 hay không? Giải Ta có A = 13! - 11! = 1 .2…12.13 - 1 . 2. . . 10 . 11 = )0...()0...()0...( =− a) Vì )0...(
2 nên A
2 b) Vì )0...(
5 nên A
5 c) Ta có A = 13! - 11! = 1 .2…11.12.13- 11! = 11! . 12 . 13 - 11! = 11! (12 . 13 -1) = 11! (156 - 1) = 155. Vì 155
5 nên A
5. Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không? Giải Gọi A là tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154. Ta có: A = 1 + 2 + … + 154 = 2 154).1541( + = 155 . 77 +) Vì 155 k
2 ⇒ 155 . 77 k
2 ⇒ A k
2 +) 155
5 ⇒ 155 . 77
5 ⇒A
5 Bài 16. Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1. Chứng minh A
5 Giải Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ Ta có A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1 = ( ) ( ) ( ) ( )     1tan10 1+ 1+…+1 + 1 +1 lacungcoso = )0...( Vì )0...(
5 nên A
5 Bài 17. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5. Giải Các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 là: 0; 1; 2 … 999 . Các số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5 có tận cùng là 2; 4; 6; 8. Mỗi một chục số có 4 số nh− vậy. Từ 0 đến 999 có 100 chục số. Do đó có tất cả : 4 . 100 = 400 số. Vậy trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có 400 số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5. Bài 18. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3. Giải - Các số chia hết cho 25 có tận cùng là 00; 25; 50; 75; nên các số chia cho 25 d− 3 có tận cùng là 03; 28; 53 ; 78. - Các số chia hết cho 4 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 nên số chia hết cho 4 d− 1 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 d− 1. Trong các số 00; 25; 50; 75 có số 75 chia cho 4 d− 1. Vậy số tự nhiên có tận cùng là 53 chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3. Bài 19. Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 thì d− 12. Giải - Các số chia hết cho 125 có tận cùng là 000; 125; 250; 375; 500; 625; 750; 875; nên các số chia cho 125 d− 12 có tận cùng là 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887; - Các số chia hết cho 8 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 nên số chia hết cho 8 d− 3 có 2 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 d− 3. Trong các số 012; 137; 262; 387; 512; 637; 762; 887có số 387 chia cho 8 d− 3. Vậy số tự nhiên có tận cùng là 387 chia cho 8 thì d− 3; còn chia cho 125 thì d− 12 Bài 20. Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không? Giải NX : SBT - ST = H => SBT = ST + H Số trừ gấp 3 lần hiệu thì số bị trừ gấp 4 lần hiệu do đó SBT chia hết cho 4 mà 1030 không chia hết cho 4 nên nên không có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030. Bài 21. Chứng minh rằng một số tự nhiên đ−ợc viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8. Giải Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ Nhận xét : 44 k
8; 444 k
8 Giải sử A đ−ợc ghi bởi n chữ số 4 (n >3) Ta có : A =  4 4444...44 sochun = 44…4000 + 444 = 44…4 . 1000 + 440 = 44…4 . 125 . 8 + 444 Vì 8
8 ⇒44…4 . 125 . 8
8 mà 444 k
8 ⇒44…4 . 125 . 8 + 44
8 ⇒ A
8 Vậy một số tự nhiên đ−ợc viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8. Bài 22. Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ bài tập về dấu hiệu chia hết cho 2 và 5. Bài 1. Trong các số sau, số nào chia hết cho 2, cho 4, cho 5, cho 8 , cho 125 5341; 1010; 1984; 1076; 2782; 3452; 6375; 7800. Bài 2. Thay số x, y bằng các chữ số thích hợp để: a) x375 chia hết cho 5; cho 25; cho 125. Bài 3. Với cùng cả 4 chữ số 2; 5; 6; 7, viết tất cả các số : a) Chia hết cho 4. b) Chia hết cho 8 c) Chia hết cho 25 d) Chia hết cho 125. Bài 4 . Dùng 4 chữ số 0; 1; 2; 5 có tạo thành bao nhiêu số có 4 chữ số , mỗi chữ số đã cho chỉ lấy một lần sao cho a) Các số đó chia hết cho 2. b) Các số đó chia hết cho 5. c) Các số đó chia hết cho 2 và chia hết cho 5. Bài 5.Từ 1đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, cóbao nhiêu sốchia hết cho 5. Bài 6. Tìm tập hợp các số tự nhiên n vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 và a) 136 < n< 182 b) 1995 < n < 2001 Bài 7. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích : a) (5n + 7)(4n +6) chia hết cho 2. b) (8n + 1)(6n +5) không chia hết cho 2. c) (n + 3)(n +6) chia hết cho 2 Bài 8. Chứng minh rằng: a) 94260 - 35137 chia hết cho 5. b) 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5 c) 5n - 1
4 (n ∈N) d) 92n - 1
2 và 5 (n ∈N) e) n2 + n + 1 không chia hết 4 và không chia hết cho 5. g) n2 + n + 6 không chia hết cho 5 Bài 9. Không làm tính hãy cho biết các số sau đây có chia hết cho 2 không? a) A = 20022001 - 20012000 b) B = 20012002 + 19992000. c) C = 1 + 33 + 34 + 35 Bài 10. Chứng minh B = 20002001 - 20012002 không chia hết cho 5. Bài 11. Gọi A là tổng tất cả các số chẵn không v−ợt quá 2002, B là tổng tất cả các số lẻ không v−ợt quá 2002. Hỏi hiệu A - B có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không. Bài 12 .Có hai số tự nhiên nào mà tổng bằng 3456 và số lớn gấp 4 lần số nhỏ không. Bài 13. Cho a, b ∈ N . Hỏi ab(a + b) có tận cùng bằng 9 không? Bài 14. Cho A = 13! - 11! a) A có chia hết cho 2 hay không? Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ b) A có chia hết cho 5 hay không? c) A có chia hết cho 155 hay không? Bài 15 Tổng các số tự nhiên từ 1 đến 154 có chia hết cho 2, cho 5 không? Bài 16. Cho A = 119 + 118 + 117 + … + 11 + 1. Chứng minh A
5 Bài 17. Trong các số tự nhiên nhỏ hơn 1000 có bao nhiêu số chia hết cho 2 nh−ng không chia hết cho 5. Bài 18. Tìm các số tự nhiên chia cho 4 thì d− 1; còn chia cho 25 thì d− 3. Bài 19. Tìm các số tự nhiên chia cho 8 d− 3 , chia cho 125 thì d− 12. Bài 20. Có phép trừ hai số tự nhiên nào mà số trừ gấp 3 lần hiệu và số bị trừ bằng 1030 hay không? Bài 21. Chứng minh rằng một số tự nhiên đ−ợc viết toàn bằng chữ số 4 thì không chia hết cho 8. Bài 21. Chuyên đề Toán 6 Trần Quốc Tộ