Chuyên đề Toán nâng cao ứng dụng định lí vi- ét

To¸n n©ng cao øng dông ®Þnh lÝ vi- Ðt I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 4. x1 = vµ x2 = 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và (Đáp số: hay ) 2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : ) 3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho : a) và b) và (Đáp số a) b) ) II. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : (§iều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : giải phương trình trên ta được và Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = thì b = *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. III. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph­¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và D¹ng 1. D¹ng 2. D¹ng 3. D¹ng 4. = D¹ng 5. Ta biết D¹ng 6. = D¹ng 7. = =. D¹ng 8. = = D¹ng 9. = = .. D¹ng 10. D¹ng 11. D¹ng13. 2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính 1. (34) 2. 3. 4. (46) b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. 2. (138) d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính: 1. (3) 2. (1) 3. (1) 4. e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính HD: IV. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m. Ví dụ 1: Cho phương trình : (1) có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m. (Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b­íc 1) Gi¶i: B­íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : B­íc2: Rút m từ (1) ta có : (3) Rút m từ (2) ta có : (4) B­íc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m. Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : §K:() ;Thay vào A ta c ó: Vậy A = 0 với mọi . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 1 Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình : . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m. Hướng dẫn: B1: Dễ thấy . Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có B3: Từ (1) và (2) ta có: 2 Cho phương trình : . Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) và (2) ta có: V.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với các bài toán dạng này,c¸c em làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra: (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Ví dụ 2: Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là : Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết . Suy ra Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 2. Cho phương trình : Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 3. Cho phương trình : . Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: - Từ Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: - Từ : . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. - -Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn ) VI. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 D Điều kiện chung trái dấu P < 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P < 0. cùng dấu, P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S < 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. có 2 nghiệm cùng dấu. 2. có 2 nghiệm âm. 3. có ít nhất một nghiệm không âm. VII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) Thì ta thấy : (v ì ) (v ì) Ví dụ 1: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : có giá trị nhỏ nhất. Bài giải: Theo VI-ÉT: Theo đ ề b ài : Suy ra: Ví dụ 2: Cho phương trình : Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: Vì Vậy m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: Vì Vậy Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. (Với m là ẩn, B là tham số) (**) Ta có: Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0 hay Vậy: m = 1 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất. 2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện. 3. Cho phương trình : xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn a) đạt giá trị lớn nhất b) đạt giá trị nhỏ nhất 4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất. 5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. ------------------------------------------------