Chuyên đề toán véc tơ

Chuyªn ®Ò to¸n vÐc t¬ Dạng1:VECTƠ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng. 2. Để xác định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện * Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ. * Độ dài và hướng. 3. Hai vec tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vec tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 4. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. 5. cùng hướng B. BÀI TẬP. 1/ Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. 2/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh . 3/ Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ . Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương? 4/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng 5/ Cho hình bình hành ABCD. Dựng . Chứng minh D¹ng 2: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc vÐc t¬ A. Ph­¬ng ph¸p *C1: BiÕn ®æi mét vÕ chØ ra b»ng vÕ cßn l¹i. *C2: BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng. (§­a §T cÇn chøng minh vÒ mét §T lu«n ®óng) *C3: XuÊt ph¶t tõ mét §T lu«n ®óng biÕn ®æi ®­a vÒ §T cÇn chøng minh. *C4: T¹o dùng h×nh phô. Dùa vµo c¸c quy t¾c ®· häc: - Quy t¾c ba ®iÓm - Quy t¾c h×nh b×nh hµnh - Quy t¾c trung ®iÓm -Quy tắc trọng tâm tam giác B. Mét sè vÝ dô VD1: Cho tø gi¸c ABCD. Gäi E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD vµ O lµ trung ®iÓm cña EF. 1. CMR : + = 2; 2. CMR : + + + = ; 3. CMR : + + + = 4 (víi M tïy ý) VD2: Cho DABC. Trªn hai c¹nh AB, AC lÊy 2 ®iÓm D vµ E sao cho = 2 , = 3. Gäi M lµ trung ®iÓm DE vµ I lµ trung ®iÓm BC. CMR : 1. = + ; 2. = + . C. Bµi tËp Bµi 1: Cho 4 ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: . Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ M lµ mét ®iÓm bÊt k×. Chøng minh r»ng: 1. 2. Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. Chøng minh r»ng: . Bµi 4: Cho hai tam gi¸c ABC, A’B’C’ lÇn l­ît cã träng t©m lµ G, G’. CMR: . Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña AB vµ N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC : NC=2NA. Gäi K lµ trung ®iÓm cña MN. 1. CMR: ; 2. Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC. CMR: . Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ H lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua G. 1. Chøng minh r»ng: 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh r»ng: Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI. Gäi J lµ ®iÓm trªn ®­êng BC kÐo dµi sao cho 5JB = 2JC. 1. Chøng minh r»ng: 2. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC. Chøng minh: Bµi 8: Cho tam gi¸c ABC, gäi O, G, H lÇn l­ît lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp, träng t©m, trùc t©m tam gi¸c ABC. Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ®i qua trung ®iÓm cña 3 c¹nh tam gi¸c ABC. 1. Chøng minh r»ng: 2. Chøng minh r»ng . Tõ ®ã suy ra H, G, O th¼ng hµng. 3. Chøng minh r»ng: 4. Chøng minh r»ng: Bµi 9: Cho tø gi¸c ABCD.Chøng minh r»ng tån t¹i duy nhÊt ®iÓm G : (1) §iÓm G tho¶ m·n (1) gäi lµ träng t©m cña tø gi¸c ABCD hay còng gäi lµ träng t©m cña hÖ 4 ®iÓm Bµi 10: Cho tam gi¸c ®Òu ABC t©m O. M lµ mét ®iÓm tuú ý bªn trong tam gi¸c. ChiÕu M xuèng 3 c¹nh cña tam gi¸c thµnh D, E, F. Chøng minh r»ng: D¹ng 3: BiÓu diÔn vÐc t¬ A. Ph­¬ng ph¸p *C1: Tõ gi¶ thiÕt x¸c ®Þnh tÝnh chÊt h×nh häc, tõ ®ã khai triÓn vÐc t¬ cÇn biÓu diÔn b»ng ph­¬ng ph¸p xen ®iÓm hoÆc hiÖu. *C2: Tõ gi¶ thiÕt thiÕt lËp mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t­îng, tõ ®ã khai triÓn biÓu thøc nµy. Dùa vµo c¸c quy t¾c ®· häc: - Quy t¾c ba ®iÓm; - Quy t¾c h×nh b×nh hµnh; - Quy t¾c trung ®iÓm. -Quy tac trong tam tam giac B. Mét sè vÝ dô VD1: Cho tam gi¸c ABC, gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. H·y biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ theo hai vÐc t¬ . VD2: Cho DABC, lÊy M, N, P sao cho = 3;+3= vµ + = . H·y biÓu diÔn , theo hai vÐc t¬ vµ . C. Bµi tËp Bµi 1: Cho tam gi¸c ABC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ B’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua G. H·y biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ (M lµ trung ®iÓm cña BC) theo hai vÐc t¬ . Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI, gäi J lµ ®iÓm trªn BC kÐo dµi sao cho 5JB = 2JC. 1. BiÓu diÔn ; 2. Gäi G lµ träng t©m tam gi¸c ABC . BiÓu diÔn theo vµ . Bµi 3: Cho tam gi¸c ABC, gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC kÐo dµi sao cho IB=3IC. 1. BiÓu diÔn theo hai vÐc t¬ ; 2. Gäi J, K lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¹nh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA. H·y biÓu diÔn theo ; 3. BiÓu diÔn theo , . Bµi 4: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m O. H·y biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ (I lµ trung ®iÓm BO), (G lµ träng t©m cña tam gi¸c OCD) theo hai vÐc t¬ . Bµi 5: Cho lôc gi¸c ®Òu ABCDEF. H·y biÓu diÔn c¸c vÐc t¬ theo hai vÐc t¬ . D¹ng 4: T×m ®iÓm M tho¶ m·n mét ®¼ng thøc vÐc t¬, ®é dµi A. Ph­¬ng ph¸p - BiÕn ®æi ®¼ng thøc vÐc t¬ ®· cho vÒ d¹ng hoÆc d¹ng trong ®ã O lµ ®iÓm cè ®Þnh; lµ vÐc t¬ cè ®Þnh. B. Mét sè vÝ dô VD: Cho tam gi¸c ABC, t×m c¸c ®iÓm I, J, K lÇn l­ît tho¶ m·n c¸c ®¼ng thøc vÐct¬ sau: 1. ; 2. ; 3. . C. Bµi tËp Bµi 1: Cho hai ®iÓm A, B. X¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n: . Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña AB vµ N lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AC sao cho NC=2NA. 1. X¸c ®Þnh K sao cho ; 2. X¸c ®Þnh D sao cho . Bµi 5: Cho ABC vµ mét ®iÓm M bÊt k×. 1. Chøng minh r»ng kh«ng ®æi; 2. X¸c ®Þnh ®iÓm I tho¶ m·n ; BÀI TẬP LÀM THÊM 1/cho tam giácABC nội tiếp trong đường tròn (O) Gọi H là trực tâm tam giác ABC; B’ là điểm đx với B qua O.Hãy so sánh các vecto: 2/ Cho HBH ABCD .Hai điểm M&Nlà trung điểm BC&AD a/ Tìm tổng của 2 vecto: ; b/ C/M : 3/ Cho lục giác đều ABCDEF tâm O C/M : 4/ Cho .Các điểm M,N,P là trung điểm :AB;AC;BC a/ Tìm hiệu : b/ Phân tích theo 2 vecto : 5/Cho 6 điểm :A,B,C,D,E,F .CMR : 6/ Cho . Gọi M,N,Plà trung điểm AB;AC;BC.CMR với điểm O tùy ý ta có : 7/ Cho ngũ giác ABCDE .CMR 8/Cho có G là trọng tâm.Cho các điểm D.E.F là trung điểm BC;CA;AB.Gọi I là giao điểm của AD&EF .Đặt ;.Hãy phân tích các vecto theo vecto: 9/ Cho hbh ABCD cmr : 10/ Cho tứ giác ABCD .Xác định điểm G sao cho: 11/Cho có trung tuyến AM . Phân tích theo 2 vectơ 12/Cho .Gọi M là trung điểm AB và N thuộc AC : NA=2NC . gọi K là trung điểm MN . Phân tích theo vecto và 13/Cho .Điểm I trên cạnh AC sao cho CI=, Jlà điểm mà a/ CM b/CM B,I,J thẳng hàng c/ Hãy dựng điểm thỏa ĐK bài toán 14/Cho . a/Tìm điểm K sao cho b/Tìm M: 15/Cho .Gọi A’là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điểm đối xứng với C qua B ;C’là điểm đối xứng vớiA qua C .CMR với điểm O bất kì ta có : 16/Cho 2 hình bình hành chung đỉnh A :ABCD vàAB’C’D’.CMR : a/ b/ Hai tam giác và có cùng trọng tâm 17/Cho hinh binh hành ABCD tam O va M . a/ CMR : + + + = b/ CMR : + + + = 4 18/ Cho hinh binh hanh ABCD co tam O va M, N la trung điem BC, CD. a/ CMR : + + = b/ CMR : = ( + 2) 19/Cho hinh binh hanh ABCD co O la tam . Goi I la trung điem BC va G la trong tam a/ ChƯng minh : 2 = 2 + b/ ChƯng minh : 3 = + + CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN TRỤC VÀ TRONG MẶT PHẲNG 1 Trục tọa độ · Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị . Kí hiệu . · Toạ độ của vectơ trên trục: . · Toạ độ của điểm trên trục: . · Độ dài đại số của vectơ trên trục: . Chú ý:+ Nếu thì . + Nếu thì . + Nếu A(a), B(b) thì . + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: . 2. Hệ trục toạ độ · Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung. · Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: . · Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: . · Tính chất: Cho , : + + + +=(0;0) + + +o(0;0) +M +M + cùng phương với Û $ k Î R: .Û (nếu x ¹ 0, y ¹ 0). + . + Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: . + Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: . + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: . ( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û ). VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục tọa độ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -2 và 5. a) Tìm tọa độ của . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho . d) Tìm tọa độ điểm N sao cho . Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là -3 và 1. a) Tìm tọa độ điểm M sao cho . b) Tìm tọa độ điểm N sao cho . VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục tọa độ Viết tọa độ của các vectơ sau: a) . b) . Viết dưới dạng khi biết toạ độ của vectơ là: a) b) . Cho . Tìm toạ độ của các vectơ sau: a) . b) . Cho . a) Tìm toạ độ của vectơ . b) Tìm 2 số m, n sao cho: . c) Biểu diễn vectơ . Cho hai điểm . a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: . b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2). a) Tìm toạ độ các vectơ . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm M sao cho:. d) Tìm tọa độ điểm N sao cho:. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Cho hai đỉnh của hình vuông là: (1; 2) ; (3; 5). Tìm hai đỉnh còn lại của hình vuông. Bài 10. Cho A(2; 1); B(3; 1) ; C(-4; 0). Xác định điểm D sao cho ABCD là hình thang cân đáy AB. Bai11 Cho DABC :A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 12. Cho A(2; 3), B(-1; -1), C(6; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của DABC. c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 13. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh. b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh. Bài 14. Tam giác ABC có A(1; 3) ; B(0; 1), trực tâm . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ÔN TẬP: HÌNH HỌC CHƯƠNG I LỚP 10 ĐỀ 1: 1.Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J là trung điểm của AC và BD . CMR : 2.Cho bốn điểm A,B,C, D tuỳ ý . Chứng minh rằng : 3. Cho tam giác ABC . Gọi G là trong tâm tam giác . CMR: 4.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: . 5.Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: . ĐỀ 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: . Cho DABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) c) . Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G. a) Chứng minh: và . b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: . Cho hình bình hành ABCD, đặt . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ theo . ĐỀ3: 1.Cho ABC và một điểm M thỏa hệ thức a) CMR : = b) Gọi BN là trung tuyến của ABC và I là trung điểm của BN. CMR : i/ ii/ 2.Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS. a.)CMR: b). CMR: 3.Cho ABC. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả , .G là trọngTâm tam giác ABC a)CMR: b)Tính theo . c)CMR: IJ đi qua trọng tâm G. 4.Cho hình bình hành ABCD. a) Chứng minh rằng: . b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: . ĐỀ 4: Bài 1: Cho bốn điểm M, N, P, Q. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng : Xác định điểm G sao cho Bài2 : Cho . Tìm tọa độ của sao cho Bài 3 : Cho ba điểm A(-1;4), B(-3;-2), C(2;3). Tìm tọa độ của các vectơ Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Tìm tọa độ trung điểm I của GA Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 sao cho ba điểm B, C, E thẳng hàng ĐỀ 5: Bài 1. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, M là trung điểm của BC. a) Chứng minh b) Phân tích vecto theo Bài 2. Cho A(1; 1), B(2; –1), C(-5; 9). Tìm tọa độ đỉnh D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa độ điểm E sao cho B là điểm đối xứng của E qua A Bài 3. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. a. Chứng minh rằng : . b. Phân tích theo . Bài 4.Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi G và H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của DABC, Còn M là trung điểm của BC a. So sánh hai vec tơ . b. Chứng minh rằng : i) ii) iii) c) Ba điểm O , H , G có thẳng hàng không ? ĐỀ 6: 1 . Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. M, N, K laàn löôït laø trung ñieåm AB, AC, BC. a. Chöùng minh : . b. Bieát A( -1 ; 0), B( 3 ; 3), C(-6 ; 0). Tìm toïa ñoä ñieåm D sao cho töù giaùc ABDC laø hình bình haønh. c. Tìm toïa ñoä troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC. 2.Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: a. . b. . 3.Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho , , . a .Tính theo . b. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. 4. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b. Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. ĐỀ 7: Bài 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC. a) Chứng minh : b) Chứng minh : c) Cho điểm P định bởi: .Chứng minh ba điểm B,P,C thẳng hàng Bài 2.Trong hệ trục tọa độ (O;) .Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(-1; -1), C(6; 0). a) Tính tọa độ . b) Xác định tọa độ trung điểm I của cạnh AC và trọng tâm G của tam giác ABC c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành d) Cho , ( m là số thực).Tìm m để và cùng phương Bài 3.Cho tam giác ABC có AB=c ,BC=a ,AC=b và trọng tâm G . Chứng minh : Nếu a.+ b. + c. = thì tam giác ABC đều Bài 4.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1;3), B(2;-3),C(-2;1). a)Tìm tọa dộ điểm N nằm trên đường thẳng y= 3x biết N thuộc đường thẳng AC. b)Tìm hai số m và n thỏa hệ thức : Bài 5: Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; -1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho: a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh. b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh. ĐỀ SỐ 8 Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. CMR : Bài 2. Cho ABC, dựng các hình bình hành ACMN; BCQP; ABRS. a) CMR: b) CMR: Bài 3. Cho DABC có trọng tâm G. Gọi I, J lần lượt là 2 điểm thoả , . a) CMR: b) Tính theo c) CMR : IJ đi qua trọng tâm G. Bài 4: Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2). a) Tìm toạ độ các vectơ . b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: . d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: . ĐỀ SỐ 9 Bài 1 Cho 2 điểm A(1;2) ,B(3;–4). Tìm tọa độ điểm C biết C là điểm đối xứng với A qua B. Bài 2 Cho A(–1;2), B(3;5), C(m;2m+1). Xác định m để A,B,C thẳng hàng Bài 3Cho A(3;7), B(1;0), C(–5;7). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 4 Cho DABC. a) Xác định điểm I sao cho: . b) Xác định điểm D sao cho: . c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng. d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: . Bài 5: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh: a) b) . CHÚC CÁC EM HỌC TẬP TỐT.