Chuyên đề Ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa

Sở giáo dục - đào tạo hà tĩnh ***************************** “ứng dụng của một bài tập ở trong sách giáo khoa” ************************************************* Hà tĩnh, ngày 20 tháng 03 năm 2008 Bài toán gốc: Chứng minh rằng: n - n 6 với mọi n Z Chứng minh: Ta có: n - n = (n - 1)n(n + 1) Xét n = 3k khi đó n - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Xét n = 3k + 1 khi đó n -13 n - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Xét n = 3k + 2 khi đó n + 13 n - n = (n - 1)n(n + 1) 3 (k Z) Vậy n - n 6 với mọi n Z ứng dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: x+ y+ z= x + y + z + 2008 (1) Bài giải: Ta có: (1) (x+ y+ z) - (x + y + z) = 2008 ( x- x) + ( y- y)+ (z- z) = 2008 (2) Dể thấy vế trái của (2) chia hết cho 6 còn vế phải của (2) chia cho 6 có số dư là 4.Do đó phương trình (1) không có nghiệm nguyên (đpcm) Bài 2: Chứng tỏ rằng hệ phương trình sau không có nghiệm nguyên: Bài giải: Ta có: Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta có: ( x- x) + ( y- y)+ (z- z) = 2007 (*) Phương trình (*) có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 dư 3 do đó vô nghiệm.Vậy hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên (đpcm) Bài 3: Cho x + x + . . . + x 6 (với x, x,, x Z) Chứng minh rằng: x + x + . . . + x 6 Bài giải: Xét hiệu ( x + x + . . . + x) - (x + x + . . . + x) = (x- x) + (x - x) ++ ( x- x) 6 Mà x + x + . . . + x 6 do đó : x + x + . . . + x 6 (đpcm) Bài 4: Cho N = 2009 N viết được dưới dạng tổng của n số tự nhiên n , n , . . . , n Tìm số dư của tổng: S = n + n + . . . + n khi chia cho 6 Bài giải: Ta có N = n + n+ + n Do S - N = (n + n + . . . + n) - (n + n+ + n) 6 Nên S và N phải có cùng số dư khi chia cho 6 Mặt khác 2009 chia cho 6 có số dư là 5 do đó 2009chia cho 6 có số dư là 1 Vì vậy N = 2009= (2009)chia cho 6 có số dư là 1 Kết quả : S = n + n + . . . + n chia cho 6 có số dư là 1 Bài 5: Chứng tỏ rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên: 2 = x+ x + 1004 (5) Bài giải: Bây giờ ta sẻ sử dụng kết quả sau: x = - áp dụng ta có : 1 + 2 + + (x - 1) +x = Khi đó ta có: (5) = + 502 1 + 2 + + (x - 1) +x = 1 + 2 + + x + 502 (1- 1) + (2- 2) + + (x - 1) - (x - 1) + (x- x) = 502 (6) Dể thấy vế trái của (6) chia hết cho 6 còn vế phải chia cho 6 có số dư là 4 Do đó phương trình (6) không có nghiệm nguyên,tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên +Tất nhiên phương trình (5) sẻ còn có cách giải khác Chẳng hạn: Đặt t = x+ x (tZ) Khi đó (5) t- 2t - 2008 = 0 (7) Do phương trình (7) không có nghiệm nguyên nên phương trình (6) không có nghiệm nguyên