Chuyên đề về hình học và giải tích trong không gian

1 Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ A. Hệ trục toạ độ Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau với ba vectơ đơn vị , ,i j k 1i j k . B. 1 2 3 1 2 3; ; aa a a a a i a j a k ; M(x;y;z) OM xi y j zk C. Tọa độ của vectơ: cho ( ; ; ), ( '; '; ')u x y z v x y z 1. '; '; 'u v x x y y z z 2. '; '; 'u v x x y y z z 3. ( ; ; )ku kx ky kz 4. . ' ' 'u v xx yy zz 5. ' ' ' 0u v xx yy zz 6. 2 2 2u x y z 7. ' ' ; ' ' ; ' '; ; ' ' ' ' ' ' yz y z zx z x xy x y y z z x x y u v y z z x x y 8. ,u v cùng phương [ , ] 0u v 9. cos , . . u v u v u v . D. Tọa độ của điểm: cho A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) 1. ( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z 2. 2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z 3.G là trọng tâm tam giác ABC ta có: xG= 3 A B Cx x x ;yG= 3 A B Cy y y ; zG= 3 A B Cz z z 4. M chia AB theo tỉ số k : ; ; ; 1 1 1 A B A B A B M M M x kx y ky z kz x y z k k k Đặc biệt: M là trung điểm của AB: ; ; . 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x zy 5. ABC là một tam giác AB AC 0 khi đó S= 1 2 AB AC 6. ABCD là một tứ diện AB AC . AD 0, VABCD= 1 , 6 AB AC AD , VABCD= 1 . 3 BCDS h (h là đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A) II. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG & MẶT I. M ặ t p h ẳ n g Mặt phẳng được xác định bởi: M(x0;y0;z0), ( ; ; )n A B C . Phương trình tổng quát của mặt phẳng : Ax+By+Cz+D=0, tìm D từ Ax0+By0+Cz0+D=0 hay A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Ax+By+Cz+D=0.  một số mặt phẳng thƣờng gặp: a/ Mặt phẳng (Oxy): z=0; mặt phẳng (Oxz): y=0; mặt phẳng (Oyz): x=0. b/ Mặt phẳng đi qua ba điểm A,B,C: có ( ) [ , ]ABCn AB AC c/ n n d/ n u và ngược lại e/ d du u f/ d dn u . 1;0;0i 0;1;0j 0;0;1k O z x y 2 II . Đ ƣ ờ n g t h ẳ n g IV . Đ ƣ ờ n g c o n g Đường thẳng được xác định bởi: M(x0;y0;z0),u =(a;b;c) i.Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct ; ii.Phương trình chính tắc: 0 0 0 x x y y z z a b c iii.Đường thẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D trong đó 1 1 1 1( ; ; )n A B C , 2 2 2 2( ; ; )n A B C là hai VTPT và VTCP 1 2[ ]u n n . †Chú ý: a/ Đường thẳng Ox: 0 0 y z ; Oy: 0 0 x z ; Oz: 0 0 x y b/ (AB): AB u AB ; c/ 1 2 1 2 u u ; d/ 1 2 1 2 u n . II I. G ó c - K h /C Góc giữa hai đường thẳng *cos( , ’)=cos = . ' . ' u u u u ; Góc giữa hai mp *cos( , ’)=cos = . ' . ' n n n n ; Góc giữa đường thẳng và mp *sin( , )=sin = . . n u n u . KHOẢNG CÁCH Cho M (xM;yM;zM), :Ax+By+Cz+D=0, : M0(x0;y0;z0), u , ’ M’0(x0';y0';z0'), 'u * Khoảng cách từ M đến mặt phẳng : d(M, )= 2 2 2 M M MAx By CZ D A B C * Khoảng cách từ M đến đường thẳng : d(M, )= 1[ , ]MM u u * Khoảng cách giữa hai đường thẳng: d( , ’)= 0 0[ , ']. ' [ , '] u u M M u u III. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Mặt cầu (S) I(a;b;c),bán kính R Dạng 1: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 (S) Dạng 2: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 khi đó R= 2 2 2a b c d 1. d(I, )>R: (S)= 2. d(I, )=R: (S)=M (M gọi là tiếp điểm) *Điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): d(I, )=R (mặt phẳng là tiếp diện của mặt cầu (S) tại M khi đó n = IM ) 3. Nếu d(I, )<R thì sẽ cắt mc(S) theo đường tròn (C) có phương trình là giao của và (S). Để tìm tâm H và bán kính r của (C) ta làm như sau: a. Tìm r = 2 2- ( , )R d I b. Tìm H: +Viết phương trình đường thẳng qua I, vuông góc với +H= (toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình với ) 3 B. BÀI TẬP 1. (Khối D_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z 20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 22 : 1 1 1 yx z vặt phẳng (P):x+2y 3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng . ĐS: Chuẩn 5 1 ; ; 1 2 2 D , Nâng cao 3 1 2 1 x t d y t z t 2. (Khối D_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). a. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 4 ĐS: a. x 2 +y 2 +z 2 3x 3y 3z=0, b. H(2;2;2). 3. (Khối D_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B( 1;2;4) và đường thẳng 21 : 1 1 2 yx z . a. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất. 5 ĐS: a. 2 2 : 2 1 1 yx z d , b. M( 1;0;4). 4. (Khối D_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng 1 22 3 : 2 1 1 yx z d , 1 11 1 : 1 2 1 yx z d . a. Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1. b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. ĐS: a. A’( 1; 4;1), b. 21 3 : 1 3 5 yx z . 5. (Khối D_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 21 1 : 3 1 2 yx z d và 2 12 3 : 10 2 x t d y t z t . a. Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2. b. Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ). 6 ĐS: a. 15x+11y 17z 10=0, b. 5OABS . 6. (Khối D_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z 2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). ĐS: 2 221 1 1x y z . 7. (Khối D_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): x+3ky z+2=0, ( ): kx y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng dk Vuông góc với mặt phẳng (P):x y 2z+5=0. 7 ĐS: k=1. 8. (Khối D_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x y+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ): (2m+1)x+(1 m)y+m 1=0, ( ): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P). ĐS: 1 2 m . 8 9. (Khối B_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B( 2;1;3), C(2; 1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y+2z 5=0 và hai điểm A( 3;0;1), B(1; 1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 9 ĐS: Chuẩn (P): 2x+3z 5=0, Nâng cao 3 1 : 26 11 2 yx z . 10. (Khối B_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2; 2;1), C( 2;0;1). a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. b. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z 3=0 sao cho MA=MB=MC. 10 ĐS: a. x+2y 4z+6=0, b. M(2;3; 7). 11. (Khối B_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 2x+4y+2z 3=0 và mặt phẳng (P): 2x y+2z 14=0. a. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất. ĐS: a. y 2z=0, b. M( 1; 1; 3). 12. (Khối B_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng 11 1 1 1 : 2 1 1 yx z d , 2 1 : 1 2 2 x t d y t z t . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng. ĐS: a. (P): x+3y+5z 13=0, b. M(0;1; 1), N(0;1;1). 13. (Khối B_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; 3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4). a. Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1). b. Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. ĐS: 17 2 MN 14. (Khối B_2004) 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A( 4; 2;4) và đường thẳng 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. ĐS: 24 4 : 3 2 1 yx z 15. (Khối B_2003) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho 0;6;0AC . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. ĐS: Khoảng cách bằng 5 16. (Khối A_2009) Chuẩn Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x 2y z 4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z2 2x 4y 6z 11=0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. Nâng cao Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y+2z 1=0 và hai đường thẳng 1 1 9 : 1 1 6 yx z , 2 31 1 : 2 1 2 yx z . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. ĐS: Chuẩn H(3;0;2), r=4. Nâng cao M1(0;1; 3), 2 18 53 3 ; ; 35 35 35 M . 13 17. (Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng 1 2 : 2 1 2 x y z d . a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. b. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến ( ) lớn nhất. ĐS: a. H(3;1;4), ( ): x 4y+z 3=0. 18. (Khối A_2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 1 2 : 2 1 1 yx z d và 2 1 2 : 1 3 x t d y t z . a. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. b. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x+y 4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2. 14 ĐS: 2 1 : 7 1 4 yx z d 19. (Khối A_2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a. Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN. b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết 1 cos 6 15 ĐS: a. 1 ' , 2 2 d A C MN , (Q1): 2x y+z 1=0, (Q2): x 2y z+1=0. 20. (Khối A_2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: 1 3 3 1 2 1 x y z và mặt phẳng (P): 2x+y 2z+9=0. a. Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b. Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d. ĐS: a. I1( 3;5;7), I2(3; 7;1) 16 21. (Khối A_2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), 0;0;2 2S . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. 17 ĐS: a. 2 6 , 3 d SA BM , b. . 2S AMNV . 22. (Khối A_2002) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: 1 2 : 2 3 4 yx z và 2 1 : 2 1 2 x t y t z t a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 1 và song song với đường thẳng 2. b. Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 18 ĐS: a. 2x z=0, b. H(2;3;4) 23. (CĐ_Khối A_2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2y z+1 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuông góc với hai mặt phẳng (P1) và (P2). ĐS: (P): 4x 5y+2z 1 0 24. (CĐ_Khối A_2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d có phương trình 1 1 1 2 yx z . a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. b. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O. 19 ĐS: a. x y+2z 6=0 b. 1 2 5 5 7 1; 1;3 , ; ; 3 3 3 M M