Chuyên đề về môn hình học giải tích trong không gian

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (Buổi 1) 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D'. Đặt , , . Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC' theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD' theo tỉ số n a) Hãy biểu diễn véc tơ theo và m, n b) Xác định m, n để đường thẳng MN song song với đường thẳng B'D. (ĐS: m = -3, n = -1) c) Tính độ dài đoạn thẳng MN 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD; I là trung điểm của EF, A', B', C', D' lần lượt là các điểm trên AB, BC, CD, DA sao cho a) Chứng minh rằng b) Với điểm M bất kì trong không gian, chứng minh rằng c) Chứng minh 3. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi A', B', C', D' là các điểm lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỉ số k a) Chứng minh rằng với điểm O bất kì trong không gian ta luôn luôn có b) Với giá trị nào của k thì 4 điểm A', B', C', D' đồng phẳng. (ĐS: k = -1) 4. Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P). Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. 5. Cho hình hộp lập lhương ABCDA'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB'. Chứng minh rằng MN A'C. 6. Cho hình hộp ABCDA'B'C'D'. Gọi P, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A'D', gọi P', Q, Q', R' lần lượt là giao điểm các đường chéo của các mặt ABCD, CĐ'C', A'B'C'D', ADD'A' a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng hai tam giác PQR, P'Q'R' có trọng tâm trùng nhau 7. Cho hình hộp xiên ABCDA'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm tam giác AB'C. a) Chứng minh: Gọi P, Q, R là ảnh đối xứng của điểm D' qua các điểm A, B', C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện PQRD'. 8. Cho hình hộp lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Gọi P, Q là các điểm xác định bởi a) Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của cạnh BB' b) Tính độ dài đoạn thẳng PQ. (ĐS: PQ = a) 9. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c), với a, b, c > 0. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Tính độ dài OH. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Giả sử a, b, c thay đổi nhưng thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = k2, với k > 0 cho trước. Khi nào thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất? Chứng tỏ rằng khi đó đoạn OH cũng có độ dài lớn nhất, 10. Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ, song song với giá của véc tơ và tiếp xúc với mặt cầu x2 + y2 + z2 + 2x - 6y + 4z - 15 = 0 11. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Oxyz cho điểm M(1 ; 2; 3) a) Xác định toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ. b) Xác định toạ độ của điểm N đối xứng với M qua mặt phẳng 2x - y + 3z -1 = 0. 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho 4 điểm A(1; -1; 2), B(1; 2; 0), C(3; 2; 1), D(0; 1; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (BCD) c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD