Chuyên đề về Phương trình - Bất phương trình - hệ phương trình Mũ_Logarit

KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ y=ax; TXĐ D=R Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x -¥ 0 +¥ x -¥ 0 +¥ y +¥ 1 -¥ y +¥ 1 -¥ Đồ thị Hàm số lgarit y=logax, ĐK:; D=(0;+¥) Bảng biến thiên a>1 0<a<1 x 0 0 +¥ x 0 0 +¥ y +¥ 1 -¥ y +¥ 1 -¥ Đồ thị Các công thức Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nÎR ta có: anam =an+m; ;(=a-m ; a0=1; a-1=); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; ; . Công thức logarit: logab=cÛac=b (00) Với 00; aÎR ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga= logax1-logax2; ; logaxa=alogax; ;(logaax=x); logax=;(logab=) logba.logax=logbx; alogbx=xlogba. Phương trình và bất phương trình mũ-logarit Phương trình mũ-logarit Phương trình mũ: 4Đưa về cùng cơ số +0<a¹1: af(x)=ag(x) (1) Û f(x)=g(x). + 0<a¹1: af(x)=b Û. Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) Û(a-1)[f(x)-g(x)]=0 4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2), (7), Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. 4Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)Û f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c¹1. Phương trình logarit: 4Đưa về cùng cơ số: +logaf(x)=g(x)Û +logaf(x)= logag(x)Û. 4Đặt ẩn phụ. Bất phương trình mũ-logarit Bất phương trình mũ: 4 af(x)>ag(x) Û; 4 af(x)³ag(x) Û. Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) Û f(x)>g(x); af(x)³ag(x) Û f(x)³g(x). * Nếu 0ag(x) Û f(x)<g(x); af(x)³ag(x) Û f(x)£g(x). Bất phương trình logarit: 4logaf(x)>logag(x)Û; 4logaf(x)³logag(x)Û . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) Û ; + Nếu 0logag(x) Û . * * * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:. Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi D là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Đặt t = log3(x+1), ta có: Þ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kÎR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì :. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: . Hướng dẫn: , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. Ví dụ 2: Giải phương trình: . Phương trình tương đương , giả sử phương trình có nghiêm a. Khi đó: . Xét hàm số , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại sao cho: , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. Ví dụ 3: Giải phương trình:. Viết lại phương trình dưới dạng , xét hàm số là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng: . Ví dụ 4: Giải phương trình: . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác. Xét hàm số Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0. HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số . Nếu x < -1 thì suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 6: Cho . Chứng minh rằng (ĐH Khối D-2007) HD: BĐT . Xét hàm số với x > 0 Suy ra f’(x) 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ta có (Đpcm). IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình . Đặt t = Khi đó phương trình trở thành: . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có . Ví dụ 2: Giải phương trình . Đặt , phương trình tương đương . 3. Dạng 3: ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình . Đặt , phương trình tương đương . Ví dụ 2: Giải phương trình . Đặt t = x+4 phương trình tương đương Ví dụ 3: Giải phương trình . 4. Dạng 4: , với Phương pháp: Đặt rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: . Xét . Ví dụ: Giải phương trình . Đặt . Khi đó chuyển thành hệ . Xét hàm sốsuy ra x=y, Khi đó: . Xét hàm số Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình HD: Viết phương trình dưới dạng , đặt . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: a. b. c. d. e. (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=-1. f. 3.8x+4.12x-18x-2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1. g. (ĐH_Khối D 2006) ĐS: x=0, x=1. k. (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=-1, x=2. i. j. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a. b. c. d. (ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (-2;-2) e. (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2). f. (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4) g. (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4). Bài 3: Giải và biện luận phương trình: a . . b . . Bài 4: Cho phương trình (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002) a. Giải phương trình khi m=2. b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn . ĐS: a. , b. 0 £ m £ 2 Bài 5: Cho bất phương trình a. Giải bất phương trình khi m=. b. Định m để bất phương trình thỏa. Bài 6: Giải các phương trình sau: a. b. c. d. e. log2x-1(2x2+x-1)+logx+1(2x-1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4. f. (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3. g. (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23. Bài 7: Giải bất phương trình: a. (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 £ x £ 3. b. (ĐH_Khối B 2008) ĐS: -4 8. c. (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4. d. (ĐH_Khối D 2008) ĐS: . -----------------------