Chuyên đề Về Số phức và đại số tổ hợp

Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 1 Chuyên đề SỐ PHỨCĐẠI SỐ TỔ HỢP I. SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT I. Dạng đại số (vẫn còn nhớ) II. Dạng lượng giác của số phức  cos sinz r i   (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b  R, z  0) * 2 2r a b  là môđun của z. *  là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r         1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu  cos sinz r i   ,  ' ' cos ' sin 'z r i   thì: *    . ' . ' cos ' sin 'z z r r i         *    cos ' sin '' ' z r i z r          2. Công thức Moivre: *n N thì    cos sin cos sin n nr i r n i n        3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức  cos sinz r i   (r > 0) là cos sin 2 2 r i        và cos sin 2 2 r i         B. BÀI TẬP 1. (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức 2 2 2 1 zzA  . ĐS: A=20 2. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z   . Tính giá trị của biểu thức   2 2 1 2 2 1 2 z z A z z    . ĐS: A=11/4 3. (CĐ_Khối A 2009) a. Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z. b. Giải phương trình sau trên tập số phức: iz iz iz 2 734    . ĐS: a. a=2, b=3 b. z=1+2i, z=3+i 4. Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z i   . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. ĐS:    2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i        . 5. (ĐH_Khối B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn   102  iz và 25. zz . ĐS: z=3+4i hoặc z=5 6. Tìm số phức z thỏa mãn:     1 1 1 3 1 2 z z i z i z i          . HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 2 ĐS: z=1+i. 7. Giải phương trình: 4 1 z i z i       . ĐS: z{0;1;1} 8. Giải phương trình: 2 0z z  . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 9. Giải phương trình: 2 0z z  . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, 1 3 2 2 z i  10. Giải phương trình: 2 4 3 1 0 2 z z z z     . HD: Chia hai vế phương trình cho z2. ĐS: z=1±i, 1 1 2 2 z i   . 11. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3 1, , 2 2 2 2 z z i z i       . 12. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. 13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a.  = 25i b.  = 2i 3 c.  = 3 - 2i 14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 15. (ĐH_Khối D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện   243  iz . ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 2z i z z i    . ĐS: 2 4 x y  . 17. Trong các số phức thỏa mãn 3 2 3 2 z i   . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. HD: *Gọi z=x+yi. 3 2 3 2 z i        2 2 9 2 3 4 x y    . * Vẽ hình |z|min z. ĐS: 26 3 13 78 9 13 13 26 z i     . 18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: a.   10 9 (1 i) 3 i   . b.   75cos sin 1 3 3 3 i i i         . HD: Sử dụng công thức Moivre. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 3 ĐS: a. Phần thực 1 16  , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ + (1+i)20. HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN. ĐS: phần thực 210, phần ảo: 210+1. II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. LÝ THUYẾT 1. Giai thừa: n!= n.(n1)!=n.(n1).(n2). .3.2.1, n≥0. 2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:  ! ! kn n Akn   , n≥k>0. 3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:  !! ! knk n C kn   , n≥k≥0. 4. Quy ước n!=0!=1. 5. Nhị thức Newton   nnn nn n nn n n n n n n n n bCabCbaCbaCbaCaCba   11222222110  . Công thức số hạng tổng quát: kknknk baCT   1 , 0≤k≤n. B. BÀI TẬP 1. (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2        x x , (x>0). ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 7 4 3 1        x x với x>0. ĐS: 35 3. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        5 3 1 , biết rằng  373 1 4     nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 495 4. (ĐH_Khối D 2005) Tính giá trị biểu thức  !1 3 34 1     n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1   nnnn CCCC (n là số nguyên dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 4 3 M 5. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        7 4 1 , biết rằng 122012 2 12 1 12   n nnn CCC  , (n nguyên dương và k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 210 6. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048122 3 2 1 2  n nnn CCC  . ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 7. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(12x)5+x2(1+3x)10. Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 4 ĐS: 3320 8. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n(x+2)n. Tìm n để a3n3=26n. ĐS: n=5 9. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 22 4 2 243n nn n n nC C C C     . ĐS: n=5 10. (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k n k n k n CCCn n 111 2 1 1 11              (n, k là các số nguyên dương, k≤n, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)n, biết: 3nCn 03n1Cn 1+3n2Cn 23n3Cn 3+ +(1)nCn n=2048 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 22 12. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k{1,2,,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất. ĐS: k=9 13. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 12 3 1 2 0          , ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11    n nn 14. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A1A2An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2An, tìm n. ĐS: n=8 15. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ +anx n, trong đó nN* và các hệ số a0, a1,an thỏa mãn hệ thức 4096 22 1 0  n naaa  . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,an. ĐS: a8=126720 16. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 4 6 2 2 1 n n n n n nC C C C n n        , ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 17. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho   20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12    n n n nnnn CnCCCC  , ( k nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=1002 18. (ĐH_Khối A 2004) Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC 5 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1x)]8. ĐS: 238 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n xx n n x n x n n x n n xx CCCC                                                                     3 1 32 1 13 1 2 1 12 1 032 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n=7, x=4 20. Cho số phức z=1+i. a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)n. b. Tính các tổng S1=1Cn 2+Cn 4Cn 6+ S2=Cn 1Cn 3+Cn 5 21. Chứng minh rằng C100 0–C100 2+C100 4–C100 6+ –C100 98+C100 100=–250. o0o