Chuyên đề Về ứng dụng các tích phân

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH Mã số: ................................ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CHUYEÂN ÑEÀ ÖÙNG DUÏNG TÍCH PHAÂN Người thực hiện: Tôn Nữ Thanh Thủy. Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục 1 Phương pháp dạy học bộ môn: Toán ................... R Phương pháp giáo dục 1 Lĩnh vực khác: ......................................................... 1 Có đính kèm: 1 Mô hình 1 Phần mềm 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012. BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ và tên: Tôn Nữ Thanh Thủy Ngày tháng năm sinh: 09 – 01 - 1963 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: 141/28 khu phố 2 Tân Phong Biên Hòa Đồng Nai Điện thoại: (CQ)/(NR): 0613818674 ; ĐTDĐ: 01684834384 Fax: E-mail: tonnuthanhthuy9@yahoo.com.vn Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: THPT chuyên Lương Thế Vinh TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Năm nhận bằng: 1984 Chuyên ngành đào tạo: Toán KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: giảng dạy môn toán Số năm có kinh nghiệm: 28 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1)Tích phân 2)Hệ phương trình 3)Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 4)Khảo sát hàm số . 5)Cực trị hình học . BM03-TMSKKN Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI +Tính cấp thiết của đề tài : Ôn tập, bổ sung kiến thức cho học sinh 12 chuẩn bị thi vào đại học, giải quyết vấn đề ứng dụng tích phân một cách dễ dàng. +Tính mới của đề tài : bổ sung tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục tung trong điều kiện (C): y = f(x) không rút được quy tắc ngược x theo y dễ dàng . Bài viết đã được trích đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ số 397 tháng 7 năm 2010. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi Thực trạng về mặt tích cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài. Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan với đề tài. Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tích cực đến các vấn đề liên quan với đề tài. Khó khăn Thực trạng về mặt tiêu cực của các vấn đề có liên quan đến đề tài. Các yếu tố chủ quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quan với đề tài. Các yếu tố khách quan có ảnh hưởng tiêu cực đến các vấn đề liên quan với đề tài. Số liệu thống kê Các số liệu để làm căn cứ đánh giá thực trạng các vấn đề có liên quan đến đề tài và làm căn cứ so sánh với kết quả của đề tài. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Quan điểm của các nhà khoa học về những vấn đề có liên quan đến đề tài (có cước chú tài liệu trích dẫn). Các vấn đề bức xúc (sự cần thiết, tính cấp bách, tính mới) của đề tài cần được giải quyết dựa trên các quan điểm nghiên cứu khoa học và thực tiễn của bản thân người thực hiện sáng kiến kinh nghiệm. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Các nội dung của đề tài đã được cá nhân nghiên cứu qua lý luận và thử nghiệm trong thực tiễn. Phân tích các điểm mới của cá nhân đưa ra mà chưa ai đề cập đến hoặc đã có đề cập nhưng chưa đủ, chưa đúng. Trình bày các giải pháp của mình đối với từng vấn đề, đồng thời đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể. KẾT QUẢ Trình bày những lợi ích trực tiếp thu được do áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào dạy học, giáo dục học sinh và quản lý giáo dục tại đơn vị hoặc trong toàn ngành. Các kết quả dưới dạng cải thiện điều kiện làm việc, nâng cao chất lượng công việc; góp phần giải quyết những vấn đề của thực tiễn, đóng góp vào việc phát triển giáo dục – đào tạo, phục vụ cho công tác giáo dục - đào tạo, nghiên cứu khoa học tại đơn vị hoặc trong toàn ngành. Trình bày số liệu thống kê, phân tích so sánh kết quả đạt được so với trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này. BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách. - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống. - Phạm vi đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả. KẾT LUẬN Khái quát các vấn đề được rút kết từ sáng kiến kinh nghiệm này và nêu những đề xuất với các cấp quản lý. TÀI LIỆU THAM KHẢO Ghi tên tài liệu tham khảo và tên tác giả đã được sử dụng trích dẫn trong sáng kiến kinh nghiệm. Tên tài liệu - Tác giả - Nhà xuất bản - Năm xuất bản .................................................................................... NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên) TÔN NỮ THANH THỦY SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Trường THPT Chuyên LƯƠNG THẾ VINH BM04-NXĐGSKKN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Biên Hòa., ngày27 tháng4 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 - 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Họ và tên tác giả: .Tôn nữ Thanh Thủy .......... Đơn vị (Tổ): Toán..................... Lĩnh vực: Quản lý giáo dục 1 Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán ......... 1 Phương pháp giáo dục 1 Lĩnh vực khác: ............................................ 1 Tính mới Có giải pháp hoàn toàn mới 1 Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 1 Hiệu quả Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 1 Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 1 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 1 Khả năng áp dụng - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 1 Khá 1 Đạt 1 XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên và ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu) ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY PHẦN I: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG I)Ý nghĩa hình học của tích phân : Cho y = f(x) liên tục và f(x) > 0 "xÎ[a, b]. Thế thì diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hsố y = f(x); trục Ox; đt x = a và đt x = b là :S = y=f(x) a b x y *Hệ quả :Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), Ox, đường thẳng x = a; x = b là : S = * Khử dấu GTTĐ: |f(x)| ;Ta làm 2 bước: 1)Giải pt: f(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] l x1;x2; x3;.(a£x1<x2<x3<£b) 2) Chọn 1 trong 3 cach sau: *Lập bảng xét dấu : f(x) trên [a;b] . * Đưa dấu GTTĐ|f(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2 nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này . a O c y= f(x) b y x *Dùng đồ thị II)Diện tích hình phẳng: I)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y = f(x); y = g(x) đều liên tục trên [a,b] và 2 đường thẳng x = a, x = b là : S = * Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| ;Ta làm 2 bước: 1)Giải pt: f(x)-g(x)=0;Chọn các nghiệm (Nếu có) trên [a;b] là x1;x2; x3;. (a £ x1<x2 < x3 < £ b) 2)Khử dấu GTTĐ: |f(x)-g(x)| bằng 1 trong 3 cách sau: a) Lập bảng xét dấu : f(x)-g(x) trên [a;b] . b) Đưa dấu GTTĐ|f(x)-g(x)| ra ngoài dấu Tích phân trên mỗi đoạn con tạo bởi 2 nghiệm liên tiếp xi;xi+1; vì f(x) – g(x) chỉ nhận 1 dấu trên mỗi đoạn con này . c) Khử dấu GTTĐ |f(x)-g(x)| bằng đồ thị 3) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt khép kín : A) Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : Bước 1: Giải phương trình : f(x) = g(x) ó Bước 2: Sử dụng S = B)Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : Bước 1: Giải phương trình tương giao à tìm hoành độ giao điểm Bước 2: Sử dụng S = C) Chú ý : Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng. III) BÀI TẬP MẪU: Bài 1: Tính S: Giải : + PTHĐGĐ của (P) và Ox là : 2x2 – 4x – 6 = 0 Û Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x) = 2x2 – 4x – 6 trên đoạn [– 2; 4] x -2 -1 3 4 f(x) + 0 - 0 + Þ S = (*) Cách 2 : Vẽ đồ thị suy ra (*) Cách 3: Vì trên mỗi đoạn con, f(x) chỉ nhận 1 dấu nên ta đưa dấu GTTĐ ra ngoài dấu tích phân trên 3 đoạn con : [-2; -1]; [-1; 3]; [3; 4] Þ S = Bài 2 : Tính S: Giải: (P)∩Ox: x2 – 3x + 2 = 0 ó x = 1; x = 2 (P)∩(D): x2 – 3x + 2 = x – 1 ó x2 – 4x + 3 = 0 ó x = 1; x = 3. (D)∩Oy: x = 0 Þ y = - 1 Þ (0, -1) (P) ∩Oy: x = 0 Þ y = 2 Þ (0, 2) S = S1 + S2 = = = Bài 3: Tính S: {(C): y2 + x – 5 = 0; (D): x + y – 3 = 0} Giải : ó (C) ∩(D): 5 – y2 = 3 – y ó y2 – y – 2 = 0 ó (C) Ox: y = 0 Þ x = 5. Cách 1: S = = - = = Cách 2 : S = = = = (đvdt) Bài 4: Tính S = {(P1): x2 = ay; (P2): y2 = ax} (a > 0) Giải : (P1) ∩(P2) : Û Û Û S= = Bài 5: Cho : {(P): y2 = 2x ; (C): x2 + y2 = 8}. (P) chia (C) thành 2 phần, tìm tỉ số diện tích của 2 phần đó. Giải: Nhìn vào đồ thị ta có : S2 = = Xét I =. Đặt y = 2Sint Þ dy = 2Costdt I = = = = 4= Vậy S2 = 2I - = 2p + 4 - = 2p + (đvdt) Ta có: S1 + S2 = p(2)2 = 8p Þ S1 = 8p - = 6p - (đvdt) Þ Bài 6: Tính S: {(P): y = |x2 – 4x + 3| ; (D): y = x + 3} Giải : (P) ∩ (D): Û Û (P) ∩ Ox: y = 0 Þ x2 – 4x + 3 = 0 Û x = 1 hay x = 3 x S = = + = + + (đvdt) VI)BT Tương tự : 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = Sinx trên [0, 2p] và trục Ox . 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị : y = x3 - 3x và y = x 3)(TN2001-2002) (1,0 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :y2 = 2x + 1 và y = x – 1 . V)LUYỆN TẬP : Bài 1 : (D/2002):Cho hs: y = (Cm) 1.K/S và vẽ đồ thị (C) của hsố (1) với m = -1. 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục toạ độ . 3.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = x . Bài 2:(A–2007)Tính diện tích hình phẳng g/ hạn bởi các đường : y = (e +1)x, y = (1 + ex)x Bài 6:(Cao Đẳng 08-09)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) :y = – x2 + 4x và đt d : y = x Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi (P) : y = x2 - 2x + 2, tiếp tuyến của nó tại M(3, 5) và trục tung . Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các nhánh của đường (y - x)2 = x3 và đt x = 1 Bài 5 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong x2 = 4ay; y= (a> 0) Bài 6 : Tính diện tích của 2 phần hình tròn x2 + y2 = 8 bị phân chia bởi parabol y2 = 2x . Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y = x4 - 2x3 + x2 + 3 ; trục hoành và 2 đường thẳng // với truc tung và đi qua các điểm cực tiểu của đường cong trên . Bài 8 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x ; y = x + Sin2x (0 £x £ p). Bài 9:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = Sin3x ; y = Cos3x, x = 0 (0£ x £ p/4) Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường cong y = 2 - x2 và y3 = x2 . PHẦN II: THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY A)LÝ THUYẾT: I)Thể tích của vật thể : Cắt 1 vật thể V bởi 2 mp (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mp tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x). Giả sử S(x) liên tục trên đọan [a; b]. Thể tích V của vật thể V giới hạn bởi hai mp (P) và (Q) được tính bởi công thức : II)Tính thể tích vật thể tròn xoay : 1)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị :y = f(x) liên tục trên [a; b], x’Ox, 2 đường thẳng M(x, y) x y M=(x, y) y= f(x) x y c d a b x = a; x = b.Gọi H là hình tròn xoay tạo thành khi quay H 1vòng quanh trục hòanh ÞVH = p= p 2)Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị : y = f(x) liên tục trên [a; b] ó x = g(y) liên tục trên [c, d] , y’Oy, 2 đường thẳng y = c; y = d . Gọi H/ là hình tròn xoay tạo thành khi quay H 1 vòng quanh trục tung Þ VH’ = p = p III)BÀI TẬP MẪU : Bài 1: Cho S: . Tìm Vx khi S quay quanh trục Ox và Vy khi S quay quanh trục Oy. (P) ∩Ox: 2x – x2 = 0 Û x = 0; x = 2 Þ p = (P): y = 2x – x2 Û (x – 1)2 = 1 – y Þ Cung OA : x = 1 - ; cung AB : x = 1 + Þ Vy = p = - 4 = -(đvdt) Bài 2: Cho S: . Tìm Vx khi S quay quanh trục Ox và Vy khi S quay quanh trục Oy. Giải: a)Vx khi S quay quanh trục Ox: (D1) ∩(D2): - 3x + 10 = 1 Û x = 3 (P) ∩(D2): x2 = 1 Þ x = 1 > 0 (P) ∩(D1): x2 = - 3x + 10 Þ x = 2 > 0; y = 4. Vx = = + (đvdt) b)Vy khi S quay quanh trục Oy. (P): y = x2 (x >0) Û x = ; (D1): y = -3x + 10 Û x = Vy = = = Bài 3: Cho S là hình phẳng giới hạn bởi elip (E): (0 < b < a) a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b.Tìm Vy khi S quay quanh Oy Giải: a) (E): Û Cung BA: y = ; Cung CA: y = . Do các cung BA và CA đối xứng nhau qua Ox nên : Vx = = = (đvdt) Bài 4: Cho S: {(P1): y = 4 – x2; (P2): y = x2 + 2}.Tình Vx khi S quay quanh Ox. Giải: (P1) ∩(P2): 4 – x2 = x2 + 2 Û x2 = 1 Û x = ± 1. Þ V = 2 = = 16p (đvdt). Bài 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy. Giải Phương trình (I. R): ( x – 2)2 + y2 = 1 Û (x – 2)2 = 1 – y2 Û x = 2 ± Þ Vy= 2p = Đặt y = Sint Þ dy = Costdt Þ Vy = = = 8p= 8p= 4p2 (đvdt) Bài 6: Cho S: {(P):y=2x2; (D): y = 2x +4}. Tính Vx khi S quay quanh Ox Giải : (C) ∩ (D): 2x2 = 2x + 4 Û x2 – x + 2 = 0 Þ x = - 1 Ú x = 2 Þ Vx = = (đvdt) Bài 7: Cho S: . Tính Vx khi S quanh quanh Ox. Giải : PTHĐGĐ của (C) và (P) là Û Vx = = (đvtt)IV)BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : 1)Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3 đồ thị:y = xex , x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? 2) Cho hình tròn tâm I(2, 0), R = 1 quay quanh Oy. Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo nên 3)(A/ 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị :y = | x2 – 4x + 3|, y= x + 3. 4) (B/2002):Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = và y = 5)B–2007)Hình phẳng (H) giới hạn bởi 3đường : y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. V)LUYỆN TẬP : Bài 1:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi 4 đường xy = 4, x = 1; x = 4, y = 0 quanh Ox. Bài 2 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và (P) : y = x(4 - x) quanh Ox . Bài 3 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Ox . Bài 4 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy. Bài 5 : Tính thể tích tròn xoay sinh ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi các đường y= xex; x = 0 , x = 1 quanh trục Oy . Bài 6 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, các đường x = 0, x = 2, y = ex quanh trục Oy. Bài 7:(Oxy),xét hình bị chắn phía dưới bởi(P):y= x2 , bị chắn phía trên bởi đt đi qua A(1, 4) và có hệ số góc k.Tìm k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất Bài 8: Xét hình có diện tích S chắn bởi (P):y = x2 và đthẳng có hệ số góc k, quaA(x0; y0)Miền trong của(P) thỏa:y0>x02. Tìm k để S nhỏ nhất Bài 9 : Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường: x + y = 0 ; x2 – 2x + y = 0 Bài 10 :Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y= x và y = Sin2x + x (0 £ x £ p ) Bài 11 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y2 = 2x và 27y2 = 8(x –1)3 . Bài 12 : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn: x2 + (y – b)2 < a2 (0 < a < b) Bài 13 :Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường :y = xex ; x = 1; y = 0 (0 £ x £ 1 ) Bài 14 : Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các đường : y = lnx , y = 0, x = 1, x = 2. Bài 15 : Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox, với H là hình được giới hạn bởi 4 đường:y = 0;y =;x = 0; x = p/2 Bài 16: Gọi (D) là miền được giới hạn bởi :y = - 3x +10, y = 1 và y = x2 . (x > 0). Tính thể tích vật thể tròn xoay do ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên Bài 17: Cho (H) giới hạn bởi a)Tính S của (H) b)Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh x’Ox? Quanh y’Oy? Bài 18: a)Tính S của (H) : và V của vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox Bài 19: (H) giới hạn bởi (P): y = x2 và (C): y= 1 - . Tính diện tích (H) và thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh trục hoành trục tung Bài 20:Tính thể tích của vật thể sinh ra khi quay hình phẳng(H) giới hạn bởi 3 đồ thị:y = xex , x = 1, y = 0 ; quanh trục x’Ox ? Quay quanh trục y’Oy ? THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Một số học sinh thường gặp khó khăn khi phải tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung trong điều kiện không rút được x theo y dễ dàng. Bài viết này sẽ giúp các em giải quyết vướng mắc trên. M(x, y) x y M=(x, y) y= f(x) x y c d a b I LÝ THUYẾT: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi: 1) Hình phẳng quay quanh trục hoành: Cho hình phẳng H giới hạn bởi 4 đường cơ bản : Gọi K là khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành 1vòng Þ VK = p= p 2) Hình phẳng quay quanh trục tung : Cho hình phẳng H giới hạn bởi 4 đường cơ bản : Gọi T là khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục tung 1vòng Þ VT = p = p 3)Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục tung trong điều kiện không rút được x theo y dễ dàng : + Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục và đơn điệu trên [a;b] Þ tồn tại hàm số ngược x = g(y) liên tục và đơn điệu trên [c;d] + Để tính VT = p = p ; Ta đổi biến : g(y) = x và dy = f’(x)dx; đổi cận ; Tính : VT =p = p II BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị (C): y = xex ; (D): y = x ;(d): x = 1 . a)Tính thể tích khối tròn xoay (H) tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay 1 vòng quanh trục hoành b) Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành khi cho hình phẳng (H) quay 1 vòng quanh trục Tung. Giải : a) Thể tích khối tròn xoay (H) : V(H) = = Tính I = bằng TPTP 2 lần Þ I = (e2 – 1) KL : V(H) = (3e2 – 7) (đvtt) y x e 1 b)Gọi (T) là khối tròn xoay sinh ra khi quay (H) quanh y’Oy : +Gọi (T1) là khối trụ có chiều cao h = e, bán kính đáy R = 1 Þ V(T1) = p.R2.h = pe (đvtt) +Gọi (T2) là khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh y’Oy hình phẳng (H2) giới hạn bởi : y’Oy ; (C) và (d):y = e . Trong đó : (C): y = f(x) = xex liên tục, tăng trên [0;1] ó x = g(y) liên tục tăng trên [0,e] Þ V(T2) = *Đổi biến x = g(y) với y = xex Þ dy = (ex + xex)dx * Đổi cận y =0 Þ x = 0 và y = e Þ x = 1 V(T2) = = p(4 – e) (Tích Phân Từng Phần 3 lần ) +Gọi (T3) là khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục tung hình phẳng (H3) giới hạn bởi : (D) và x’Ox và x = 1. Þ V(T3) = VHTrụ - VHnón với khối trụ có chiều cao h = 1 và đáy R = 1 Và khối nón có chiều cao h = 1 và bán kính đáy R = 1 Þ V(T3) = p.12.1 - p.12.1 = p (đvtt) KL : V(T) = V(T1) – V(T2) – V(T3) = pe – p(4 – e) – p = p(2e – ) (đvtt) 2) Tính V của khối tròn xoay H tạo thành khi quay quanh trục tung hình phẳng (H) : Giải: *PTHĐGĐ của (C) và x’Ox là : Cosx = 0 ó x = (kÎZ) *(H): Þ (H): Þ (H): Þ V(H) = p *Đổi biến : g(y)=x với y = Cosx Þ dy = -Sinxdx *Đổi cận: y = 0 => x = p/2 y = 1 => x = 0 Þ V(H) = =>V(H) = Þ (TPTP 2 lần với cách đặt u là đa thức ;phần còn lại là dv) x y e e y= e y= 0 *Vậy V(H) = p(p - 2) (đvtt) 3)Quay hình phẳng (H) : 1 vòng quanh y’Oy. Tính thể tích khối tròn xoay H) tạo thành . Giải: +Gọi (H1) là hình phẳng giới hạn bởi : (d) : x = e; y’Oy và2đt: y = e ; y = 0 . ÞGọiT là khối tròn xoay sinh ra khi cho (H1) quay 1 vòng quanh y’Oy Þ T là khối trụ tròn xoay có bán kính đáy R = e và chiều cao h = e Þ V(T) = p.e2.e = p.e3 (đvtt) +Gọi (H2) là hình phẳng giới hạn bởi4 đồ thị: (C): y = xlnx tăng liên tục trên [1,e];y’Oy;y = 0, y = e Þ (H2): +Và gọi K là hình tròn xoay tạo thành khi quay (H2) quanh trục y’Oy Þ V(K) =p. Do không rút được x theo y dễ dàng nên ta phải *Đổi biến : g(y)=x với y = xlnx Þ dy = (1.lnx + x.Þdy = (lnx + 1)dx *Đổi cận: y = 0 Þ x = 1;y = e Þ x = e V(K) = pÞV(K) = (đvtt) +KL: V(H) = V(T) – V(K) = (đvtt) III) LUYỆN TẬP: 1)(H) :Tính thể tích khốitrònxoay (K) tạo thành khi quay (H)1vòng quanh Oy(ĐS: (đvtt) ) 2)Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi a)Tính thể tích khối tròn xoay (K) tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh x’Ox(ĐS:125p (đvtt) ) b)Tính thể tích khối tròn xoay (T) tạo thành khi quay (H) 1 vòng quanh y’Oy(ĐS:(đvtt)) CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG !