Chuyên đề Vec – tơ

CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/Định nghĩa: Vec tơ là đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. Ký hiệu độ dài của vec tơ là: Vec tơ – không (Ký hiệu: ) là vec tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Hai vec tơ cùng phương là hai vec tơ có giá là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Hai vec tơ bằng nhau là hai vec tơ cùng hướng và cùng độ dài. Ký hiệu và bằng nhau là 2/ Tổng của hai vec tơ: Định nghĩa: Cho và . Từ điểm A nào đó, vẽ =, rồi từ B vẽ . Khi đó: gọi là tổng của và . Ký hiệu : B C A + Phép toán tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ . Các tính chất của phép cộng vectơ: Với ba véctơ tuỳ y, ta có : Tính chất giao hoán : Tính chất kết hợp ( Tính chất của vec tơ – không: 3/ Hiệu của hai vec tơ: Véctơ đối của một vec tơ: Véctơ có cùng độ dài và ngược hướng với được gọi là véctơ đối của véctơ . Ký hiệu véctơ đối của véctơ là: - * * Véctơ đối của véctơ là véctơ Định nghĩa hiệu của hai vec tơ: Hiệu của và theo thứ tự đó là tổng của và vec tơ đối của Kí hiệu : Phép toán tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ 4/ Tích của một số với một vec tơ: Định nghĩa: Cho số k ¹và vectơ ¹ Tích của số k với vectơ là mộât vectơ . Kí hiệu là k. + Vectơ kcùng hướng với nếu k>0, ngược hướng với nếu k<0. + |k| = |k| || * Quy ước: 0. = , k = Tính chất của phép nhân một số với một vec tơ: ",; "k, hỴR, ta có: 1) k() = kk 2) (h k) = hk 3) h(k) = (hk) 4) 1. = ; (-1) = -. 5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý: (qui tắc cộng) - (qui tắc trừ) 6/ Qui tắc hình bình hành: D B C A Tứ giác ABCD là hình bình hành 7/ Các ứng dụng: I là trung điểm đoạn AB : (Với mọi điểm M) G là trọng tâm của tam giác ABC : (Với mọi điểm M) c) và () cùng phương Û k/ =k d) A, B, C phân biệt thẳng hàng Û k≠0 / =k. DẠNG : XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ BÀI TẬP: Phương pháp : Ví dụ: Cho hình vuơng ABCD cạnh a và điểm E sao cho . Gọi I là trung điểm đoạn CE Tính Chứng minh Giải: Xét tứ giác DBEC: Vì (gt) nên DBEC là hình bình hành Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC Xét tam giác vuơng DCO, ta cĩ: DO2=DC2+CI2 Vậy DE= Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a ∆BCE vuơng cân tại B. BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE Do đĩ : BI=BD Phương pháp xác định và tính độ dài của +,-: 1/ Xác định: +=, -= 2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vuơng, tam giác đều, hình vuơng, … để tính cạnh của nĩ hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp. Các ví dụ: Bài1: Chứng minh rằng: |+| £ ||+|| B A C Giải: Giả sử:= , = . + Nếu và khơng cùng phương thì A, B, C là 3 đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC Vì + = += nên |+| < ||+|| + Nếu và khơng cùng hướng, ta cĩ : |+| < ||+|| + Nếu và cùng hướng, ta cĩ: |+| = ||+|| Vậy : |+| £ ||+|| (đpcm) Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Tính : a) || b) || A B C E Giải: a) || =? * Xác định : Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc hình bình hành ta có: = *Tính ||==AE=? Vì ABEC là hình bình hành mà AB=ACnên ABEC là hình thoi Gọi I=AE BC, ta có: AE=2AI Mà AI= nên AE= a Vậy: || = a b) ĐS: || = = a Bài tập tương tự: 1/ Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ 2/ Cho hình vuơng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo. Tính : 3/ Cho hình thoi ABCD cĩ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính : DẠNG : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ Phương pháp: Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một trong các cách sau: C1: Biến đổi vế này thành vế kia C2: Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau. C3: Biến đổi đẳng thức cần CM đĩ tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là đúng. Các ví dụ: VD1: Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ . Chứng minh rằng: (1) Giải: C1: Biến đổi vế trái: C2:Biến đổi vế phải: C3: Ta cĩ : là đẳng thức đúng. Vậy (1) được chứng minh VD2: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Chứng minh rằng : Giải: Biến đổi vế trái: Bài tập tương tự: Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD, MN.CMR: a) b) c) Bài 2: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng : Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh: a/ . b/ . Bài 4: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Chứng minh rằng : a) b) c)Tam giác ABC và tam giác MNP cĩ cùng trọng tâm. Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: a/ b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh: Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác. CMR: a/ b/ với M là một điểm bất kỳ. c/ d/ e/ f/ là khơng đổi, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M. DẠNG : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO NHIỀU VEC TƠ Phương pháp: Sử dụng tính chất: Cho không cùng phương, , Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác. Ví dụ: Cho AK vàBM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vec tơ theo hai vec tơ Giải: Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có: Từ (1) và (2), ta có: (3) Mà: (4) Từ (2) và (4), ta có: (5) Từ(3) và (5), ta có: (6) Từ (5) và (6), ta có: Từ (7) và (1) ta có: Bài tập : Bài 1:Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI. Chứng minh: a) b) Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Phân tích theo và HD:Sử dụng tính chất trung điểm Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đĩ D là trung điểm cạnh AC. b/ Biểu thị vectơ theo hai vectơ và . Bài 4: Cho t/giác ABCD cĩ M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC. CMR: a/ ; b/ ; c/ . (O là t/điểm của MN) d/ . (O là trung điểm của MN) C B A Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho: a) = b) = c) = Hướng dẫn: Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của C,A,B. Bài 6: Cho tam gíac OAB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm các số m, n sao cho: a) b) c) d) ĐS: DẠNG : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp: Sử dụng các tính chất: Ba điểm A. B. C thẳng hàng và cùng phương . Nếu và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB // CD Ví dụ : Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải: Đặt ta phân tích và theo hai vec tơ = = (1) (2) Từ (1) và (2) Vậy hay Do đó: Ba điểm B, I, K thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các biểu thức : . Chứng minh : MN // AC. Giải: Ta có: Vậy cùng phương với . Theo giả thiết ta có , mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM là hình bình hành. M AC và MN // AC. Bài tập tương tự Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh AC sao cho AJ=AC. Chứng minh I, J, G thẳng hàng. Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. Chứng minh G, O, H thẳng hàng. HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O. CM: BHCA’ là hình bình hành (OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác) Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức: a) Tính và b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng. DẠNG: DỰNG MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VEC TƠ Phương pháp: Để dựng điểm M thỏa mãn một đẳng thức vec tơ, ta biến đổi đẳng thức vec tơ về dạng (Với điểm A cố định; là một vec tơ đã biết) Ví dụ: Cho tam giác ABC. Hãy dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: Giải: Dựng điểm I trên đoạn AB sao cho Vậy I là điểm cần dựng Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Dựng điểm M sao cho : Bài 2: Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho: Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý. Hãy dựng điểm D sao cho HD: Biến đổi Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt . Hãy xác định các điểm P, Q, R biết : Bài 5:Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức: HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC