Chuyên đề Vectơ trường THPT Nguyễn Huệ

CHUYÊN ĐỀ 1. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VECTƠ BÀI 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) b) c) BÀI 2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) b) c) BÀI 3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B. Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : . Với điểm N sao cho . CMR với I bất kì : Vơi điểm P sao cho . CMR với I bất ki : . Tổng quát tính chất trên. BÀI 4. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng . Với I bất kì ta có : . M thuộc đoạn AG và . CMR : . Với I bki . Tổng quát tính chất trên. Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng minh rằng : + + Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. BÀI 5. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O. CMR : , Với I bất kì M là điểm thoả mãn: BÀI 6. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR : a) b) c) Tìm vị trí điểm I sao cho d) Với M bất kì, CMR : BÀI 7. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm . Gọi G là điểm thoả mãn . CMR vơi bki M : . Gọi I là điểm thoả mãn . CMR với M bất kì : BÀI 8. Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho : và . CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm. d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm. BÀI 9. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. a) b) c) d) e) f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : (M nằm ngoài thì không còn đúng). BÀI 10. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. a) CMR : . b) D là trung điểm BC. CMR : CHUYÊN ĐỀ 2. BIỂU DIỄN VECTƠ BÀI 1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ , qua hai véc tơ . BÀI 2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. Tính theo hai véc tơ . Từ đó biểu diễn theo . (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính theo . CHUYÊN ĐỀ 3. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi . Lưu ý : thì BÀI 1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. Gọi E, F thoả mãn : , . CMR : A, E, F thẳng hàng. BÀI 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. BÀI 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : , , . CMR : M, N, P thẳng hàng. (). BÀI 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn , . CM : L, M, N thẳng hàng. BÀI 5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : , . CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. CMR J là trung điểm BI. Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. BÀI 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. CHUYÊN ĐỀ 4. XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ MỘT ĐIỂM THOẢ MÃNG ĐẲNG THỨC VECTƠ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định. Nếu thì P là trung điểm của AB. Nếu thị P là trọng tâm tam giác ABC. Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ? BÀI 1. (Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : . NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : . Với điểm O bất kì ta có : . BÀI 2. (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho : a) (Trung điểm AC) b) c) d) e) f) NX : Mở rộng với n điểm bất kì