Chuyên đề VIII Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Chuyên đề ViiI. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (6 tiết ) Mục tiêu. Học sinh thành thạo cách viết phương trình đường thẳng khi biết các yếu tố xác định đường thẳng; biết cách tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng, từ đó suy ra vị trí tương đối giữa các đường thẳng; có kĩ năng tính toán các đại lượng như độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc, diện tích; biết vận dụng công thức khoảng cách để giải các bài toán có liên quan; biết giải các bài toán đối xứng: tìm toạ độ điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng, viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua điểm,... Học sinh thành thạo cách viết phương trình đường tròn khi biết các yếu tố xác định đường tròn: tâm, bán kính; nhận ra được phương trình đường tròn, thành thạo xác định toạ độ tâm, bán kính; viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn trong hai trường hợp: tiếp tuyến tại điểm, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thoả mãn một điều kiện...; biết xác định giao điểm của một đường thẳng với đường tròn, cách xác định vị trí tương đối của một điểm với đường tròn. Biết dạng chính tắc của các đường conic, biết định nghĩa riêng của elip, hypebol, parabol và định nghĩa nghĩa chung của đường conic, xác định được các tính chất của conic khi biết phương trình chính tắc; viết được phương trình chính tắc của conic khi biết một số yếu tố. Phân bố giảng dạy. Tiết 1- 2 - 3: Phương trình đường thẳng. Tiết 4: Đường tròn Tiết 5 – 6: Ba đường conic. Chủ đề 1 : Các khái niệm cơ bản 1/ Toạ độ của vectơ và điểm a) Toạ độ của vectơ : Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của ta viết như sau : (x ; y) hoặc =(x ; y) Trong đó : + x : đọc là hoành độ của vectơ + y : đọc là tung độ của vectơ . b) Tính chất : Cho (x1 ; y1) và (x2 ; y2) + = (x1 x2 ; y1 y2) + k = (kx1 ; ky1) với k là một số bất kì . = Û + Hai véctơ bằng nhau : + Độ dài của Vectơ : cos( ; ) = + Góc giữa hai véctơ : 2/ Điểm * Cặp số (x ; y) gọi là toạ độ của điểm M ta viết như sau : M(x ; y) hoặc M = (x ; y) * Toạ độ của Vectơ khi biết toạ độ của hai đầu mút : Cho điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB) . Khi đó : (Toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu) 3/ Các công thức cơ bản trong hệ toạ độ Oxy */ Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm : Cho điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB) AB = || = Khi đó : */ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo một tỉ số k cho trước Cho điểm A(xA ; yA) và B(xB ; yB) . Điểm M(x ; y) chia đoạn AB theo tỉ số k khi x = ; y = Khi đó toạ độ của M tính theo công thức sau : x = ; y = */ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : (Trung bình cộng toạ độ hai đầu mút ) x = ; y = */ Toạ độ trọng tâm G(x ; y) của tam giác ABC : Chủ đề 2 : Phương trình đường thẳng I – Lý thuyết 1/ Phương trình tổng quát của đường thẳng 1.1/ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng + Véctơ gọi là VTPT của đường thẳng D nếu : + Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một VTPT và một điểm M(x0 ; y0) thuộc nó . 1.2/ Phương trình tổng quát của đường thẳng Để viết được pt tổng quát của đường thẳng D ta cần biết được hai yếu tố sau : + Một VTPT : (A ; B) + Một điểm M(x0 ; y0) thuộc D A(x – x0) + B(y – y0) = 0 Khi đó phương trình tổng quát của D là : Chú ý : Cho đường thẳng D có pttq : Ax + By + C = 0 khi đó : (A ; B) là một VTPT của D 2/ Phương trình tham số của đường thẳng 2.1/ Vectơ chỉ phương của đường thẳng + Véctơ gọi là VTPT của đường thẳng D nếu : + Một đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một VTCP và một điểm M(x0 ; y0) thuộc nó . 2.2/ Phương trình tham số của đường thẳng Để viết được pt tham số của đường thẳng D ta cần biết được hai yếu tố sau : + Một VTCP : (a ; b) + Một điểm M(x0 ; y0) thuộc D Khi đó phương trình tổng quát của D là : Chú ý : * Cho đường thẳng D có ptts : khi đó : (a ; b) là một VTCP của D và M(x0 ; y0) là một điểm thuộc D . * Mối quan hệ giữa VPPT và VTCP của một đường thẳng Giả sử : và lần lượt là VTPT và VTCP của D ị ^ . Do đó nếu biết một véctơ thì biết véctơ còn lại . Giả sử : (A ; B) ị (B ; - A) . 3/ Phương trình chính tắc của đường thẳng * Cho đường thẳng D có ptts : khi đó phương trình : gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng D . Chú ý : Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì D không có phương trình chính tắc . 4/ Mối quan hệ giữa ba loại phương trình 4.1/ Pttq ị Ptts Cho D : Ax + By + C = 0 ị Tìm VTCP (B ; - A) và một điểm M(x0 ; y0) 4.2/ Ptts ị Pttq * Cho đường thẳng D có ptts : . Khử tham số t ta được Pttq 5/ Các loại phương trình đường thẳng thường gặp 5.1/ Đường thẳng viết dưới dạng hệ số góc : y = kx + b ị hsg k ị Pttq : ax – y + b = 0 5.2/ Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) + Khi đó Vectơ là VTCP của đt . + Điểm A hoặc B thuộc đường thẳng . 5.3/ Đường thẳng D qua điểm M(x0 ; y0) cho trước và song song với một đường thẳng (d) cho trước . Khi đó ta có : . 5.4/ Đường thẳng D qua điểm M(x0 ; y0) cho trước và vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước . Khi đó ta có : . Hình vẽ minh hoạ 6/ Các bài toán hay gặp trong phần này 6.1/ Tìm toạ độ hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước . Bài toán : Cho điểm M(x0 ; y0) và đường thẳng D . Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên D . Cách giải : Bài tập ví dụ Bài 1. Lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm M(3;6)và N(5; -3). Bài 2. Cho đường thẳng d: 3x+ 4y – 10 = 0, điểm M(1; 2). Viết phương trình tham số của đường thẳng d Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng d1 đi qua M và song song với d. Viết phương trình tổng quát và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng d2 đi qua M và vuông góc với d. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d. Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua d. Tìm khoảng cách từ N(2; -1) đến d. Tìm toạ độ hai điểm A, B trên d sao cho tam giác MAB là tam giác đều. Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d: và điểm M(1; 3). Điểm M có nằm trên d hay không? Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng D đi qua M và vuông góc với d. Viết phương trình đường thẳng d' đối xứng với d qua M. Tìm diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng d và các trục toạ độ. Tính góc giữa đường thẳng d và các trục toạ độ. Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và tạo với đường thẳng d một góc 600. Bài tập về nhà: Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, trong đó A(4; -1), B(-3; 2), C(1; 6). Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Viết phương trình đường phân giác trong góc B của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính các cạnh, các góc và diện tích hình bình hành trên. Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối của hình bình hành ABCD. Bài 5. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 2). Viết phương trình các cạnh của tam giác biết rằng 9x - 3y – 4 = 0; x + y – 2 = 0 lần lượt là phương trình các đường cao kẻ từ B và C. Bài 6. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(2;1) và tạo với đường thẳng 2x + 3y + 4 = 0 một góc bằng 450. Bài 7. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu B(2 ;-1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A ; C lần lượt là 3x - 4y + 27 = 0 ; x + 2y – 5 = 0. Bài 8. Cho hình vuông có một đỉnh là A(0 ;5) và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình : 7x – y + 8=0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông đó Bài 9. Cho tam giác có M(-1;1) là trung điểm của một cạnh, còn hai cạnh kia có phương trình lần lượt là: x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. Bài 10. Cho tam giác ABC, biết A(2; -1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và góc C lần lượt là : db: x – 2y + 1 = 0 ; dc: x + y + 3 = 0. Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. Bài 11. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4; -1), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình là: 2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0. Bài 12. Trong mặt với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. (Đề thi khối A năm 2005) Bài 13. Trong mặt phẳng cho ba đường thẳng Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2. (Đề khối A - 2006) Đường tròn. Bài tập ví dụ Bài 1. Cho ba điểm A(4; 6), B(-3; 5), C(1; 7). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C. Tìm toạ độ tâm I và bán kính của đường tròn đó. Hãy xác định vị trí tương đối của các điểm sau đây với đường tròn (C): D(-2; -2), E(2; 8), F(0; 2), G(1; -3). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại hai điểm A và B. Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến đó. Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn song song với trục hoành. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng OI. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm E(2; 8). Tìm góc giữa hai tiếp tuyến đó. Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho điểm I(2; 3) và đường thẳng D: x – 3y + 1 = 0. Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với D. Cho đường thẳng d: x – 7y + 10 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng d': 2x + y = 0 và tiếp xúc với d tại A(4; 2). Bài tập về nhà Bài 3. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba đường tròn (C1), (C2), (C3) lần lượt có phương trình là: (C1): x2 + y2 – 8x – 10y + 16 = 0; (C2): x2 + y2 – 6x – 8y = 0; (C3): x2 + y2 – 2x – 12y + 12 = 0. Tìm toạ độ tâm và bán kính của mỗi đường tròn đó. Viết phương trình đường tròn đi qua tâm của ba đường tròn trên. Bài 4. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ. Ba đường conic Bài tập ví dụ Bài 1. Viết phương trình chính tắc của (E) biết: Độ dài trục lớn bằng 8, tiêu cự bằng 6. Tiêu cự bằng 4 và tâm sai e = . Một tiêu điểm là F và điểm N thuộc (E). (E) đi qua hai điểm M(1; 0) và N. Bài 2. Cho elip (E) có phương trình . Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ hai tiêu điểm F1, F2, tìm tâm sai của (E). Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của (E). Gọi K là một giao điểm của đường thẳng x – 1 = 0 và (E). Tính độ dài KF1, KF2. Viết phương trình các đường chuẩn của (E) và tính khoảng cách từ một tiêu điểm đến đường chuẩn tương ứng. Tìm toạ độ giao điểm của (E) với đường thẳng x + y – 1 = 0. M là điểm thuộc (E) sao cho tam giác MF1F2 vuông tại M. Tính diện tích tam giác MF1F2. Bài 3. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) biết: Trục thực bằng 8, tiêu cự bằng 10. Tiêu cự bằng , một tiệm cận là . Tâm sai e = và (H) đi qua điểm . Bài 4. Cho hypebol (H) có phương trình: . Tìm toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính tâm sai của (H). Viết phương trình các đường tiệm cận của (H). Cho điểm M(x; y) nằm trên (H). Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận của (H) không phụ thuộc vào vị trí của M. Tìm toạ độ các điểm N thuộc (H) sao cho MF1 = 2MF2. Viết phương trình các đường chuẩn của (H). Bài 5. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết: (P) có tiêu điểm F(1; 0). (P) có tham số tiêu p = 5. (P) nhận đường thẳng d: x = - 2 làm đường chuẩn. Bài tập về nhà Bài 6. Cho hypebol (H) có phương trình 4x2 – 9y2 = 36. Xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ tiêu điểm, tính tâm sai của (H). Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua điểm A và có chung các tiêu điểm với (H) đã cho. M là điểm thuộc (E) trên sao cho MF1 = 4MF2. Tính MF2? Tìm m để đường thẳng y = mx – 1 có điểm chung với (H). Bài 7. Cho parabol (P): y2 = 64x và đường thẳng d: 4x + 3y + 46 = 0. Xác định điểm M trên (P) sao cho khoảng cách từ M đến d là ngắn nhất. Tính khoảng cách đó. Bài 8. Cho (P) y2 = 4x. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I(3; 1) cắt (P) tại hai điểm M và N sao cho I là trung điểm của MN.