Chuyên đề Xây dựng công thức tính tổng các số tự nhiên bằng đa thức

CHUYÊN ĐỀ XÂY DỰNG CÔNG THỨC TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN BẰNG ĐA THỨC Gỉa sử f(x) là một đa thức có bậc n . Xét đẳng thức (1). Khi đó là đa thức bậc và khi thay x lần lượt bằng 1, 2, 3,…, n rồi cộng lại ta được tổng: Từ mục đích tính tổng n số tự nhiên nào đó tùy thuộc vào việc chọn và xác định đa thức thỏa mãn . Bước 1: Ta chọn sao cho , Bước 2: Tìm đa thức thỏa mãn , Bước 3: . B. NỘI DUNG Bài 1: Tính tổng Lời giải. Đặt . Khi đó việc tính tổng S là tổng của . Do đó ta xét bài toán: tìm đa thức và biết Mặt khác, nên là đa thức bậc hai suy ra Từ (1), , Nên , Vậy, Bài 2: Tính tổng Tương tự ta chọn và xét bài toán : Tìm đa thức biết Suy ra, Nên, Như vậy, Bài 3: Tính tổng Từ tổng trên ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc ba biết Giả sử . Khi đó từ (1) ta có: Vậy, , Do đó, Bài 4:Tính tổng Ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc bốn biết: Giả sử Khi đó từ (1) có: Giải ra ta được: , Nên , Do đó, Bài 5: Tính Ta chọn và xét bài toán: Tìm đa thức bậc ba biết: Giả sử . Khi đó từ (1) ta có: Nên, , Do đó, Tóm lại, ta có một số công thức tính tổng các số tự nhiên rất bổ ích là: 1. 2. 3. 4. 5. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính Bài 2: Tính Bài 3: Tính Bài 3: Tính: Chuyªn ®Ò 1: d·y c¸c sè nguyªn – ph©n sè viÕt theo quy luËt = = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = = (1). D·y 1: Sö dông c«ng thøc tæng qu¸t - - - Chøng minh - - - @*Bµi 1.1: TÝnh a) b) c) d) *Bµi 1.2: TÝnh: a) b) c) *Bµi 1.3: T×m sè tù nhiªn x, tho¶ m·n: a) b) c) *Bµi 1.4: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 ta ®Òu cã: a) b) *Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi ta cã: *Bµi 1.6: Cho chøng minh: *Bµi 1.7: Cho d·y sè : a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y b) Gäi S lµ tæng cña 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. TÝnh S. *Bµi 1.8: Cho . Chøng minh *Bµi 1.9: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.10: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.11: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.12: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.13: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.14: Cho . Chøng minh: *Bµi 1.15: Cho . T×m phÇn nguyªn cña B. *Bµi 1.16: Cho . Chøng minh C > 48 *Bµi 1.17: Cho . Chøng minh *Bµi1.18: Cho . Chøng minh 97 < N < 98. Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè: Chøng minh: *Bµi 1.19: TÝnh *Bµi 1.20: Cho . Chøng minh *Bµi 1.21: Cho . Chøng minh B < 3 *Bµi 1.22: Cho . Chøng minh *Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > 1 ta cã: *Bµi 1.24: TÝnh *Bµi 1.25: TÝnh Bµi 1.26: TÝnh: Bµi 1. 27: TÝnh: Bµi 1.28: Cho So s¸nh S víi v Hướng dẫn: Áp dụng vào bài toán với m Î {2; 2 , …., 2 } và k Î { 2005, 2005 , …} ta có: ……………….. (2). D·y 2: D·y luü thõa víi n tù nhiªn. Bµi 2.1: TÝnh : Bµi 2.2: TÝnh: Bµi 2.3: TÝnh: Bµi 2.4: TÝnh: Bµi 2.5: Cho . Chøng minh Bµi 2.6: Cho . Chøng minh B < 100. Bµi 2.7: Cho . Chøng minh: Bµi 2.8: Cho . Chøng minh: D < 1. Bµi 2.9: Cho . Chøng minh: Bµi 2.10: Cho víi n N*. Chøng minh: Bµi 2.11: Cho . Chøng minh: Bµi 2.12: Cho . Chøng minh: Bµi 2.13: Cho . Chøng minh: I < 7 Bµi 2.14: Cho . Chøng minh: Bµi 2.15: Cho . Chøng minh: L < 4,5. (3). D·y 3: D·y d¹ng tÝch c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt: Bµi 3.1: TÝnh: . Bµi 3.2: Cho d·y sè: a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. b) TÝnh tÝch cña 98 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. Bµi 3.3: TÝnh: . Bµi 3.4: Cho . Chøng minh: Bµi 3.5: Cho . Chøng minh: Bµi 3.6: TÝnh: Bµi 3.7: TÝnh: . Bµi 3.8: TÝnh: . Bµi 3.9: TÝnh: . Bµi 3.10: TÝnh: Bµi 3.11: Cho . So s¸nh K víi Bµi 3.12: So s¸nh víi Bµi 3.13: So s¸nh víi Bµi 3.14: TÝnh: Bµi 3.15: TÝnh . Bµi 3.16: TÝnh: Bµi 3.17: TÝnh: Bµi 3.18: So s¸nh: vµ Bµi 3.19: Cho . Chøng minh V < 2. Bµi 3.20: Cho . Chøng minh: Bµi 3.21: Cho . Chøng minh: Bµi 3.22: TÝnh: Bµi 3.23: TÝnh: Bµi 3.24: TÝnh: , víi n N, Bµi 3.25: Cho vµ víi n N*. TÝnh Bµi 3.26: Cho vµ TÝnh: G + H. Bµi 3.27: Cho víi n N. Chøng minh: Bµi 3.28: Cho d·y sè: a) T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y. b) Gäi A lµ tÝch cña 11 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y. Chøng minh lµ sè tù nhiªn. c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña Bµi 3.29: Cho vµ víi n N a) Chøng minh : lµ sè tù nhiªn b) T×m n ®Ó M lµ sè nguyªn tè. Bµi 3.30: Cho víi n N a) Chøng minh : 5A – 2B lµ sè tù nhiªn. b) Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n kh¸c 0 th× 5A – 2B chia hÕt cho 45. Bµi 3.31: Cho .( víi n N ) Chøng minh: A < 3. (4). TÝnh hîp lÝ c¸c biÓu thøc cã néi dung phøc t¹p: Bµi 4.1: TÝnh: Bµi 4.2: TÝnh: Bµi 4.3: TÝnh: Bµi 4.4: TÝnh: Bµi 4.5: TÝnh: Bµi 4.6: TÝnh Bµi 4.7: TÝnh Bµi 4.8: TÝnh Bµi 4.9: TÝnh Bµi 4.10: TÝnh Bµi 4.11: TÝnh Bµi 4.12: TÝnh Bµi 4.13: TÝnh Bµi 4.14: TÝnh Bµi 4.15: TÝnh Bµi 4.16: TÝnh