Chuyên đề Ý tưởng hình học giải tích và các phương pháp giải đặc sắc

Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 1 A B H a K a H A d Ý TƯỞNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC SẮC --------------------------------------------- Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm -(1;2), ( 2;3)A B . Viết phương trình đường thẳng D đi qua B và cách A một khoảng lớn nhất. Hướng dẫn giải: Gọi đường thẳng D bất kỳ qua B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng D . Xét tam giác vuông AHB: ( ) ( )D = £ Þ D = max ; ;d A AH AB d A AB . Lúc đó đường thẳng D cần tìm là đường thẳng đi qua A và vuông góc AB. Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai điểm (2;5;3), ( 1;2;0)A B - . Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua B và cách A một khoảng lớn nhất. Hướng dẫn giải: Gọi ( )a là mp bất kỳ qua B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp ( )a . Tương tự, xét tam giác vuông AHB: ( ) ( ) max ;( ) ;( )d A AH AB d A ABa a= £ Þ = Lúc đó, mặt phẳng cần tìm là mp đi qua B và vuông góc với AB. Bài tập 1: (Khối A- 2008) HÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm (2;5;3) vµA 1 2: 2 1 2 x y z d - - = = . a) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A trªn ®­êng th¼ng d. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) chøa d sao cho kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn ( ) lµ lín nhÊt. a a Hướng dẫn giải: ( ) ( ) max a) Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn ®­êng th¼ng d. b) Gäi mp( ) bÊt kú chøa d, H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn mp( ). XÐt AHK, vu«ng t¹i H: d A,( ) d A,( ) Lóc ®ã, mp cÇn t×m l AH AK AK a a a a D = £ Þ = µ mp chøa d vµ vu«ng gãc víi AK. Bài tập 2: Cho 2 điểm (1; 2), (0;3)A B- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua ( 2;1)P - và cách đều 2 điểm A, B. Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi ( ) ( )2 2; 0n a b a bD = + > là 1 vectơ pháp của đường thẳng D . : ( 2) ( 1) 0 2 0a x b y ax by a bD + + - = Û + + - = . Theo giả thiết: ( ) ( ); ; ........Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 theo , .d A d B a bD = D Û D H B A Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2 P A B D I DC A B a C D a I A B Cách 2: Dùng tính chất hình học đơn giản. TH1: §­êng th¼ng ®i qua P vµ song song víi AB.D TH2: §­êng th¼ng ®i qua P vµ qua trung ®iÓm I cña AB.D Bài tập 2: (Khối B- 2009) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho tø diÖn ABCD cã c¸c ®Ønh (1;2;1),A ( 2;1;3), B - (2; 1;1) vµ (0;3;1). ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua A, B sao cho kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (P) b»ng kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn (P). C D- Hướng dẫn giải: Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2Gäi ; ; 0 lµ 1 vect¬ ph¸p cña mp( ). Ta cã: 3; 1;2 . Do mp( ) ®i qua A, B nªn: . 0 3 2 0 3 2 ;3 2 ; . Mp( ): ( 1) (3 2 )( 2) ( 1) 0 n a b c a b c AB AB n a b c b a c n a a c c a x a c y c z a a a a a a = + + > = - - = Û - - + = Û = - Þ = - - + - - + - =     (3 2 ) 3 5 0. Theo gi¶ thiÕt: ( ;( )) ( ;( )) ..............Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp theo , . akx a c y cz c a d C d D a ca a Û + - + + - = = Û Cách 2: Dùng tính chất hình học đơn giản. ( )TH1: MÆt ph¼ng ®i qua A, B vµ song song víi CD. Suy ra, mp( ) cã 1 vect¬ ph¸p lµ ;n AB CDa a a é ù= ë û   ( )TH2: MÆt ph¼ng ®i qua A, B vµ qua trung ®iÓm I cña CD.a Nhận xét: Rỏ ràng nếu sử dụng cách 1 thì tiến trình giải dài dòng và phức tạp. Giải bài toán theo cách 2 khoa học, sắc sảo và phát triển tư duy cao hơn. Bài tập 2: (DỰ BỊ D- 2006) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz, cho (1;2;0), (0;4;0), (0;0;3). a. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua O vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(P) chøa OA, sao cho kho¶ng A B C c¸ch tõ B ®Õn (P) b»ng kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (P). DP BA Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 3 Bài tập 3: (Khối B- 2008) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz, cho 3 ®iÓm (0;1;2), (2; 2;1), ( 2;0;1).A B C- - a. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua 3 ®iÓm A, B, C. b. T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc mp (P): 2 2 3 0 sao cho x y z MA MB MC+ + - = = = Hướng dẫn giải: Cách 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 22 Gäi ( ; ; ) lµ ®iÓm cÇn t×m. Lóc ®ã: ;1 ;2 1 2 2 ; 2 ;1 2 2 1 2 ; ;1 2 1 mp( ) Theo gi¶ thiÕt: M x y z MA x y z MA x y z MB x y z MB x y z MC x y z MC x y z M P MA MB = - - - Þ = + - + - = - - - - Þ = - + + + - = - - - - Þ = + + + - Î =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 3 0 1 2 2 2 1 ; ; 1 2 2 1 MC x y z x y z x y z x y z x y z x y z ì í =î ì + + - = ïïÛ + - + - = - + + + - Þí ï + - + - = + + + -ïî Cách 2: Dùng tính chất hình học. §iÓm M tho¶ m·n: suy ra M n»m trªn trôc ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC. Ta cã: (2; 3; 1), ( 2; 1; 1) . 0. VËy ABC vu«ng t¹i A. M ®­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm I Lóc ®ã: MA MB MC AB AC AB AC = = D = - - = - - - Þ = D Î     cña BC vµ mp(ABC) M mp(P) ^ì í Îî Nhận xét: Theo tư duy cách giải 2, ta thấy phù hợp với ý đồ của người ra đề vì câu a, yêu cầu thí sinh viết phương trình mp(ABC). LƯU Ý: NHÓM KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM “THUỘC” Đặt vấn đề: ( ) ( ) ( ) 1 1) Cho ®­êng th¼ng : 2 t R . §iÓm M : M 1 ; 2 ; 3 3 vµ N : N 1 ; 2 ; 3 . NghÜa lµ to¹ ®é 1 Èn (cÇn 1 pt ®Ó t×m ra Èn) 2) Cho mÆt ph¼ng ( ): 0. §iÓm M mp( ): M x t y t t t t z t k k k Ax By Cz D xa a = +ì ïD = Î ÎD + -í ï = -î ÎD + - + + + = Î ( ); ; víi: 0 M M M M M M y z Ax By Cz D+ + + = Lưu ý: KÕt qu¶ 3 ®iÓm A, B, C ph©n biÖt th¼ng hµng. , , th¼ng hµng 0 : A B C k AB kACÛ $ ¹ =   Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4 Bài tập 4: (Khối B- 2006) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho ®iÓm (0;1;2) vµ hai ®­êng th¼ng:A 1 2 1 2 1 1 1 : , : 1 2 2 1 1 2 T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm M thuéc , N thuéc sao cho ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng. x t x y z d d y t z t d d = +ì - + ï= = = - -í- ï = +î Hướng dẫn giải: ( ) ( ) ( ) 1 2Gäi (2 ;1 ; 1 ) vµ (1 ; 1 2 ;2 ) . Ta cã: = 2 ; ; 3 , 1 ; 2 2 ; Ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng cïng ph­¬ng 0 : 2 1 M k k k d N t t t d AM k k k AN t t t AM AN m AM mAN k m t + - - Î + - - + Î - - = + - - Û Û $ ¹ = = + Û       ( ) ( ) ( ) (1) 2 2 1 (2) 2 3 (3) Tõ (1) vµ (2) 0 vµ 1. ThÊy 2 gi¸ trÞ nµy tho¶ (3). VËy (0;1; 1) vµ (0;1;1) k k m t t m k m t k t M N ì ï ï = - - Þ + = -í ï ï- - =î Þ = = - - Nhận xét: Cách làm ở trên tuy cồng kềnh, dài dòng nhưng phù hợp với mục tiêu chương trình SGK mới. V ì công cụ , , th¼ng hµnh ; 0 A M N AM ANé ùÛ =ë û    chỉ áp dụng đối với bộ SGK nâng cao. Bài tập 4: (DÖÏ BÒ 1 B- 2005) Cho hai ñöôøng thaúng 1 : 1 1 2 x y zd = = vaø 2 1 2 : 1 x t d y t z t = - -ì ï =í ï = +î ( t laø tham so á ) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuo äc d1 vaø N thuo äc d2 sao cho ñöôøng thaúng MN song song vôùi maët phaúng (P): 0x y z- + = vaø ño ä daøi ño ïan 2MN = . Hướng dẫn giải: ( )1 2 Gäi M d , N d To¹ ®é mçi ®iÓm phô thuéc 1 Èn Theo gi¶ thiÕt: . 0MN// mp(P) M, N (Hai ph­¬ng tr×nh 2 Èn) 2MN 2 PMN n MN Î Î ì =ìï ïÛ Þí í ==ïî ïî    Bài tập 4: (DÖÏ BÒ 1 D- 2007) Cho mp(P): 2 2 1 0x y z- + - = và 2 đt 1 1 3 : 2 3 2 x y z d - - = = - và 2 5 5 : 6 4 5 x y z d - + = = - Tìm các điểm 1 2, M d N dÎ Î sao cho // mp( )MN P và cách (P) một khoảng bằng 2. Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 5 Q d' Dd P A'B' A B d'' d D d' P Hướng dẫn giải: ( ) ( ) ( ) 1 2 Gäi M d , N d To¹ ®é mçi ®iÓm phô thuéc 1 Èn Theo gi¶ thiÕt: MN// mp(P) . 0 M, N (Hai ph­¬ng tr×nh 2 Èn) d M,(P) 2 d M,(P) 2 PMN n Î Î ìì =ï ïÛ Þí í= =ï ïî î   Bài tập 4: (DÖÏ BÒ 1 A- 2006) Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho mÆt ph¼ng ( ): 3 2 4 0 vµ hai ®iÓm (4;0;0), (0;4;0). Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB. a. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AB víi mÆt ph¼ng ( x y z A B a + - + = ). b. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm K sao cho KI vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng ( ), ®ång thêi K c¸ch ®Òu gèc to¹ ®é O vµ mÆt ph¼ng ( ). a a a Hướng dẫn giải: B­íc 1: LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua I vµ vu«ng gãc víi mp( ). (D¹ng tham sè) B­íc 2: Gäi K (To¹ ®é 1 Èn). Theo gi¶ thiÕt: ( ;( ))OK d K a K aD ÎD = Þ Nhận xét: Nếu tư duy theo “ truyền thống” thì cần 3 phương trình để giải, như vậy tương đối cồng kềnh. Dạng bài tập: HÌNH CHIẾU CỦA ĐƯỜNG THẲNG LÊN MẶT PHẲNG. Phương pháp: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương tr ình hình chiếu theo phương D của đường thẳng d lên mp(P). Cách 1: (Giao tuyến của hai mặt phẳng) [ ]( ) B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp(Q) chøa d vµ song song víi . Mp(Q) cã 1 vect¬ ph¸p lµ ; B­íc 2: §­êng th¼ng d' cÇn t×m lµ giao tuyÕn cña mp(P) vµ mp(Q). Q dn a aD D =   Cách 2: (Dùng tính chất đơn giản- Áp dụng định nghĩa) B­íc 1: Chän 2 ®iÓm A, B (Cã to¹ ®é x¸c ®Þnh) trªn d. B­íc 2: X¸c ®Þnh ¶nh A', B' cña A, B qua phÐp chiÕu theo ph­¬ng . Cô thÓ: A' lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng d'' qua A, song song víi vµ mp(P). D D Nhận xét: Viết phương trình hình chiếu theo cách 2 tỏ ra thuận lợi và dể dàng hơn. Đặc biệt là trong trường hợp phương chiếu không vuông góc với mặt phẳng chiếu. Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6 K H d 1d 2 d' P d D M Bài tập 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng 1 2: 3 2 3 x yd z- += = - lên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy), mp(Oyz), mp(Oxz) và ( ) : 7 0x y za + + - = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 NhËn xÐt: §iÓm M ; ; chiÕu vu«ng gãc lªn mp Oxy: M ; ;0 §iÓm M ; ; chiÕu vu«ng gãc lªn mp Oxz: M ;0; §iÓm M ; ; chiÕu vu«ng gãc lªn mp Oyz: M 0; ; M M M M M M M M M M M M M M M x y z x y x y z x z x y z y z Bài tập 4: (HVBCVT-2000) Viết phương trình hình chiếu của 2D theo phương 1D lên mp ( )a , với: Mp ( ) : 3 0x y za + + + = , 1 2 3 1 1 7 3 9: , : 7 2 3 1 2 1 - - - - - - D = = D = = - - x y z x y z Hướng dẫn giải: Sử dụng nội dung cách 2. B­íc 1: Chän 2 ®iÓm A, B (Cã to¹ ®é x¸c ®Þnh) trªn d. B­íc 2: X¸c ®Þnh ¶nh A', B' cña A, B qua phÐp chiÕu theo ph­¬ng . Cô thÓ: A' lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng d'' qua A, song song víi vµ mp(P). D D Lúc đó, phương trình hình chiếu 2D là phương trình A’B’. Bài tập 4: (DÖÏ BÒ 1 KHOÁI D- 2007) Cho đường thẳng d: 3 2 1 2 1 1 x y z- + + = = - và mặt phẳng (P): 2 0x y z+ + + = 1. Tìm giao điểm M của d và mp(P). 2. Viết phương trình đường thẳng D nằm trong (P) sao cho D ^ d và khoảng cách từ M đến D bằng 42 . Hướng dẫn giải: ( ) [ ] B­íc 1: X¸c ®Þnh h×nh chiÕu vu«ng gãc d' cña d lªn mp(P). B­íc 2: Chän K d': 42 Cã 2 ®iÓm M tho¶ ycbt B­íc 3: Tõ ®iÓm M dùng ®­êng th¼ng , cã vtcph­¬ng: ;d P MK a a nD Î = D =   Dạng toán: Phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Tìm đoạn vuông góc chung HK. Bước 1: Gọi 1 2; .H d K dÎ Î (Toạ độ của mỗi điểm chỉ phụ thuộc 1 ẩn) Bước 2: Do 1 . 0HK d HK a^ Þ =   (1) 2 . 0HK d HK b^ Þ =   (2) Giải hệ (1) và (2) tìm được toạ độ , H K . Suy ra phương trình đường vuông góc chung và độ dài đoạn vuông góc chung là .HK Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 7 D2 D1 R I A B Nhận xét: Ngoài phương pháp trên, chúng ta có thể giải quyết bài toán trên bằng nhiều phương pháp khác. Nhưng phương pháp trên là tiện lợi nhất và khoa học nhất, giúp chúng ta giải quyết được nhiều công việc cùng lúc. Bài tập 4: Cho 2 đường thẳng: 1 2 1 3 2 3 4: , : 4 2 ( ) 2 3 5 4 = - +ì - - + ï= = = - Îí- ï = -î x t x y zd d y t t R z t . a) Chứng minh 1d và 2d chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa 1d và 2d . c) Viết phương trình đường vuông góc chung giữa 1d và 2d . NhËn xÐt: Cã nhiÒu ph­¬ng ph¸p ®Ó x¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung, nh­ng chóng t«i khuyªn b¹n nªn sö dông ph­¬ng ph¸p sö dông kh¸i niÖm "thuéc" bëi nh÷ng tèi ­u sau: a- TÝnh ®­îc ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung (Kho¶ng c¸ch 2 ®th¼ng chÐo nhau) b- ViÕt ®­îc ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung. c- X¸c ®Þnh ®­îc to¹ ®é cña ®o¹n vu«ng gãc chung, phôc vô rÊt nhiÒu c¸c yªu cÇu kh¸c. Bài tập 4: (DỰ BỊ B-2006) Cho hai ñöôøng thaúng 1 1 : 1 2 x t y t z = +ì ïD = - -í ï =î vaø 2 3 1: 1 2 1 x y z- - D = = - ( t laø tham so á ) Xác định điểm A trên 1D và điểm B trên 2D sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Thực chất khoảng cách nhỏ nhất ở đây là độ dài đoạn vuông góc chung. Bài tập 4: (Toán học và tuổi trẻ) 1 2 1 2 1 2 2 4 8 6 10 Cho hai ®­êng th¼ng : vµ : 1 1 2 2 1 1 a) Chøng minh r»ng: vµ chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) tiÕp xóc vµ vµ cã b¸n kÝnh nhá nhÊt. x y z x y z- + + - - D = = D = = - - D D D D Hướng dẫn giải: ( ) 1 2Ph©n tÝch: vµ lµ c¸c tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S) vu«ng gãc víi b¸n kÝnh t¹i c¸c tiÕp ®iÓm Nh­ vËy: MÆt cÇu (S) tho¶ ycbt lµ mÆt cÇu cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc c D D 1 2hung cña vµ D D Bài tập 4: (Dự bị 1- B 2008) 1 2 1 2 1 3 5 Cho ®­êng th¼ng d : vµ 2 ®iÓm (5;4;3), (6;7;2) 2 9 1 a) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d qua A, B. Chøng minh r»ng: d vµ d chÐo nhau. b) T×m ®iÓm C thuéc d sao cho tam gi¸c x y z A B - + = = ABC cã diÖn tÝch nhá nhÊt. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 8 C0 H C B A d1 d2 Hướng dẫn giải: D D= Þ Û Û 1 2 ABC ABC 1 2 Gäi C lµ ®iÓm trªn d vµ H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn d . 1 Lóc ®ã: S . S min min 2 lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña d vµ d . CH AB CH CH ------------------- CÁC BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ----------------- Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua ( )2; 1;1A - và vuông góc với hai đường thẳng: 1 2: 1 ( ) : 1 2 ( ) 2 0 x t x t y t t R y t t R z t z = =ì ì ï ïD = - - Î D = - Îí í ï ï= =î î Hướng dẫn giải:Gọi da  là 1 vtcpp của d . Đường thẳng 1D có 1 vtcp là ( )1 1; 1;2a = -  Đường thẳng 2D có 1 vtcp là ( )2 1; 2;0a = -  Ta có: [ ] ( )11 1 2 2 2 ; 4;2; 1d d d a ad a a a d a a ^^ D ìì Û Þ = = -í í^ D ^î î        chän Vậy đường thẳng d có phương trình: 2 4 1 2 1 x t y t z t = +ì ï = - +í ï = -î Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng đ i qua ( )3; 1;3A - và cắt cả 2 đường thẳng: 1 3 4 6 ( ) : ( ) : 3 2 ( ) 2 3 5 2 x t x y z a b y t t R z t = - +ì + - ï= = = - - Îí- ï = -î Hướng dẫn giải: Cách 1: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng Qua ( ) : ( ) A P a P ì í Ìî Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng Qua ( ) : ( ) A Q b Q ì í Ìî Bước3: Biện luận theo vị trí (P), (Q). Đường thẳng D là giao tuyến (P) và (Q) Q P b a A Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 9 P BA b a d b a D P A d b a Q P D D a b N M Cách 2 : Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) như trên . Bước 2: Xác định giao điểm B của b và (P) Bước 3: Đường thẳng ABD º . Cách 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M, N) ( ) ( ) Gäi (2 ; 4 3 ;6 5 ) ( ) vµ ( 1 3 ; 3 2 ;2 ) ( ). Ta cã: = 2 3; 3 3 ;3 5 , 4 3 ; 2 2 ; 1 Ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng cïng ph­¬ng 0 : .................... M k k k a N t t t b AM k k k AN t t t AM AN m AM mAN - - - Î - + - - - Î - - - - = - + - - - - Û Û $ ¹ =       .................... Tõ ®©y, gi¶i ra M, N. Lóc ®ã ®­êng th¼ng cÇn t×m lµ ®­êng th¼ng MN. ( )ycbt Bài tập 5: Viết phương trình đường thẳng ( )d song song với đường thẳng (D) và cắt cả hai đường thẳng ( )a , ( )b có phương trình : 4 5 1 5 1 2 2 ( ) : ( ) : ( ) : 7 9 3 1 1 1 4 3 x t x y z x y z a b y t z t = - +ì - - + + - ïD = = = = = - +í- ï =î Hướng dẫn giải: Cách 1: B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp (P) chøa (a) vµ song song . B­íc 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp (Q) chøa (b) vµ song song . B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ giao tuyÕn cña mp(P) vµ mp(Q). KiÓm tra: d D D cã c¾t (a) vµ (b) kh«ng? Cách 2: B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp (P) chøa (a) vµ song song . B­íc 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm A cña (b) vµ mp (P). B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ ®­êng th¼ng qua A vµ song song . KiÓm tra d cã c¾t D D (a) kh«ng? Cách 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M, N) Ph©n tÝch: NÕu t×m ra 2 g®iÓm M, N th× ®th¼ng d lµ MN. Gäi ( ), ( ) (To¹ ®é mçi ®iÓm phô thuéc 1 Èn) Theo gi¶ thiÕt: // // cïng ph­¬ng víi vtcp cña M a N b d MN MN aD Î Î D Û D Û D Û $   0 : ......Gi¶i ra M, N.k MN maD¹ = Þ   Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 10 P ba d d2 d1 d1 d2 d A a P N M d1 d2 d P d1d2 A ab d Bài tập 6: (Khối A- 2007) 1 2 1 2 ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp (P), ®ång thêi c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng 1 2 1 2 d , d víi: d : , d : 1 , ( ) : 7 4 0 2 1 1 3 x t x y z y t P x y z z = - +ì - + ï= = = + + - =í- ï =î Hướng dẫn giải: Cách 1: 1 2 B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P). B­íc 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P). B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ giao tuyÕn cña mp( ) vµ mp( ) KiÓm a b a b tra sù c¾t nhau. (Mèi quan hÖ gi÷a vect¬ chØ ph­¬ng) Cách 2: 1 2 B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa d vµ vu«ng gãc víi (P). B­íc 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm A cña d vµ mp( ) B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m ®i qua A vµ vu«ng gãc víi mp(P) KiÓm tra sù c¾t nhau. ( a a Mèi quan hÖ gi÷a vect¬ chØ ph­¬ng) Cách 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M, N) Î Î ^ Û ^ Û Û = Þ     1 2 Ph©n tÝch: NÕu t×m ra 2 g®iÓm M, N th× ®th¼ng d lµ MN. Gäi , (To¹ ®é mçi ®iÓm phô thuéc 1 Èn) Theo gi¶ thiÕt: mp( ) mp( ) cïng ph­¬ng víi vtph¸p cña mp( ) ......G P P M d N d d P MN P MN n P MN kn i¶i ra M, N. Bài tập 7: (Khối D 2006 ) 1 2 1 2 ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d qua (1;2;3), vu«ng gãc víi d vµ c¾t d , víi: 2 2 3 1 1 1 d : , d : . 2 1 1 1 2 1 A x y z x y z- + - - - + = = = = - - Hướng dẫn giải: Để ý rằng 2A dÏ Cách 1: 1 2 B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa A vµ vu«ng gãc víi d . B­íc 2: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa A vµ chøa d B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ giao tuyÕn cña mp( ) vµ mp( ) KiÓm tra sù c¾t n a b a b hau. (Mèi quan hÖ gi÷a vect¬ chØ ph­¬ng) Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 11 B d1 d2 A ad DBA d1 d2 P Cách 2: 1 2 B­íc 1: ViÕt ph­¬ng tr×nh mp( ) chøa A vµ vu«ng gãc víi d . B­íc 2: X¸c ®Þnh g®iÓm B gi÷a d vµ mp( ) B­íc 3: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ ®­êng th¼ng AB. a a Cách 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra giao điểm M của d và d2) 2 2 1 1 1 1 Ph©n tÝch: NÕu t×m ra to¹ ®é giao ®iÓm M cña d vµ d th× AM lµ ®­êng th¼ng cÇn t×m. Gäi M d (To¹ ®é 1 Èn). Theo gi¶ thiÕt, d d AM d . 0 ......T×m ra M. Trong ®ã lµ vect¬ chØ AM a a Î ^ Û ^ Û = Û   ( )1 ph­¬ng cña d Bài tập 8: (DỰ BỊ D-2006) Cho mặt phẳng (P): 4 3 11 26 0x y z- + - = và 2 đường thẳng: 1 2 1 2 1 2 3 1 4 3 : , : 1 2 3 1 1 2 a) Chøng minh d vµ d chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng n»m trªn mp(P), ®ång thêi c¾t d vµ d . x y z x y z d d - + - - = = = = - D Hướng dẫn giải: 1 2 B­íc 1: X¸c ®Þnh giao ®iÓm A cña d vµ mp(P). B­íc 2: X¸c ®Þnh giao ®iÓm B cña d vµ mp(P). KÕt luËn: §­êng th¼ng cÇn t×m lµ ®­êng th¼ng AB.D Bài tập 8: (Khối B_2006) Trong không gian Oxyz cho điểm ( ); ;A - -4 2 4 và: d: . x t y t z t = - +ì ï = -í ï = - +î 3 2 1 1 4 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, cắt và vuông góc với dường thẳng d. Hướng dẫn giải: Gọi ( )3 2 ;1 ; 1 4H t t t d- + - - + Î . Ta có ( )1 2 ;3 ; 5 4AH t t t= + - - +  . Đường thẳng d có 1 vtcp là ( )2; 1;4a = - . H là hình chiếu của A lên d ( ) ( ) ( ). 0 2 1 2 3 4 5 4 0AH a AH a t t tÛ ^ Û = Û + - - + - + =   ( )21 21 0 1 1;0;3t t HÛ - = Û = Þ - Rõ ràng đường thẳng ∆ cần tìm là đường thẳng AH. Đường thẳng AH đi qua A và có 1 vtcp là ( )3;2; 1AH = -  nên AH có phương trình: 4 3 : 2 2 4 x t y t z t = - +ì ïD = - +í ï = -î Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 12 Bài tập 9: Cho mặt phẳng (a ): 2 3 4 0x y z- + - = và đường thẳng 1 3: 2 4 x y z+ +D = = . a) Xác định giao điểm A của đt D và mp ( )a . b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm trong mp ( )a và vuông góc với D . Hướng dẫn giải: a) Giải hệ phương trình ta được tọa độ A. b) Ta xác định 1 vtcp của đường thẳng d . Gọi da  là 1 vtcpp của d . Đường thẳng D có 1 vtcp là ( )2;4;1aD =  Mặt phẳng ( )a có 1 vtp là ( )2; 1;3Pn = -  Ta có: ( ) [ ]; ... d d P d P d a a a a n d a na D D ^ D ^ì ì Û Þ = =í íÌ ^îî        chän Bài tập 8: Trong không gian Oxyz cho điểm ( ); ;A -1 1 2 và d: x y z+ - -= =1 1 2 2 1 3 và mặt phẳng (P): 1 0x y z- - - = .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d. Hướng dẫn giải: Ta xác định 1 vtcp của đường thẳng ∆. Gọi aD  là 1 vtcpp của ∆. Đường thẳng d có 1 vtcp là ( )2;1;3da =  Mặt phẳng ( )a có 1 vtp là ( )1; 1; 1Pn = - -  Ta có: ( ) [ ]; ...// d d P P a a a a a n a na D D D D ^ ^ì ì Û Þ = =í íD ^îî        chän Bài tập 8: Trong không gian Oxyz cho điểm ( ); ;3 2 4A - và d: 2 4 1 3 2 2 x y z- + - = = - và mặt phẳng (P): 3 2 3 7 0x y z- - - = .Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, song song với (P) và cắt đường thẳng d. Hướng dẫn giải: Cách 1: Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P): Mp(Q) qua A và song song với mp(P) nên có 1 vtp là ( )3; 2; 3Q Pn n= = - -   . ( ) : 3 2 3 17 0Q x y zÞ - - - = Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q): Gọi ( ) ( )2 3 ; 4 2 ;1 2B d Q B t t t= Ç Þ + - - + . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) 63 2 3 2 4 2 3 1 2 17 0 7 B Q t t t tÎ Û + - - - - + - = Û = P A A P Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 13 Vì vậy 32 40 19; ; 7 7 7 Bæ ö-ç ÷è ø . Đường thẳng D đi qua A và có 1 vtcp là 11 54 47; ; 7 7 11 AB æ ö= -ç ÷è ø  nên có phương trình: 113 7 54: 3 7 474 7 x t y t z t ì = +ï ï ïD = -í ï ï = - +ïî Cách 2: Bước 1: Xác định điểm : // ( )mpB d AB P= ÇD . Ta có: : 2 3 4 2 1 2 x t d y t z t = +ì ï = - -í ï = +î . Gọi ( ); ;2 3 4 2 1 2B t t t d+ - - + Î Lúc đó: ( ); ;3 1 2 6 2 5AB t t t= - - - +  . Mặt phẳng (P) có 1 vtp ( )3; 2; 3Pn = - -  ( ) ( ) ( ) 6// ( ) . 3 3 1 2 2 6 3 2 5 0 7 6 0 7 mp PAB P AB n t t t t tÛ = - - - - - + = Û - = Û =   Bước 2: Đường thẳng ABD º . Vì vậy 32 40 19; ; 7 7 7 Bæ ö-ç ÷è ø . Đường thẳng D đi qua A và có 1 vtcp là 11 54 47; ; 7 7 11 AB æ ö= -ç ÷è ø  nên có phương trình: 113 7 54: 3 7 474 7 x t y t z t ì = +ï ï ïD = -í ï ï = - +ïî BQ P A BA P Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ Luyện thi Đại Hoc 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 14 P M M0 K A B MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Bài tập 9: (DỰ BỊ B- 2007) 2 2 Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm ( 3;5; 5), (5; 3;7) vµ mÆt ph¼ng (P): 0 a. T×m giao ®iÓm I cña ®­êng th¼ng AB víi mÆt ph¼ng (P). b. T×m ®iÓm M ( ) sao cho: nhá nhÊt. A B x y z P MA MB - - - + + = Î + Hướng dẫn giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 §Ó ý r»ng: A, B kh«ng thuéc mp(P). Víi ®iÓm M ( ) bÊt kú. Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB. XÐt tam gi¸c MAB, theo c«ng thøc ®é dµi ®­êng trung tuyÕn: 2 2 4 2 Suy ra: P MA MB AB AB MK MA MB MK MA MB Î + = - Û + = + + 0 nhá nhÊt nhá nhÊt : lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña K lªn mp(P) (ycbt)MK M MÛ Û º Bài tập 9: (DỰ BỊ A- 2008) 1 - 3 5 Trong kh«ng gian Oxyz, cho mp(P): 2 3 3 1 0, ®­êng th¼ng d : 2 9 1 vµ 3 ®iÓm (4;0;3), ( 1; 1;3), (3;2;6). a. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 3 ®iÓm A, B, C vµ cã t©m n»m thuéc x y z x y z A B C + + - + = = = - - mp(P). b. ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa ®­êng th¼ng d vµ c¾t mÆt cÇu (S) theo 1 ®­êng trßn cã b¸n kÝnh lín nhÊt. Hướng dẫn giải: MÆt ph¼ng (Q) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng chøa d vµ ®i qua t©m cña mÆt cÇu (S). Bài tập 9: (Khối D- 2007) 1 2 Trong kh«ng gian Oxyz, cho 2 ®iÓm (1;4;2), ( 1;2;4) vµ ®­êng th¼ng : 1 1 2 a. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cña OAB vµ vu«ng gãc víi mp(OAB) b. T×m to¹ ®é M thuéc ®­ên x y z A B - + - D = = - D 2 2g th¼ng sao cho nhá nhÊt.MA MBD + Hướng dẫn giải: ( ) 2 2 1 Ta cã: : 2 . Gäi 1 ; 2 ;2 . 2 Lóc ®ã: BiÓu thøc ®­a vÒ 1 bµi to¸n GTNN bËc hai ®¬n gi¶n. x t y t M t t t z t MA MB = -ì ïD = - + - - + ÎDí ï =î + Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI T